MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccss 13329
Description: Condition for a closed interval to be a subset of another closed interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccss (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem iccss
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexr 11198 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 11198 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
31, 2anim12i 613 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
4 df-icc 13268 . . 3 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
5 xrletr 13074 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐶𝐶𝑤) → 𝐴𝑤))
6 xrletr 13074 . . 3 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝐷𝐷𝐵) → 𝑤𝐵))
74, 4, 5, 6ixxss12 13281 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
83, 7sylan 580 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  wss 3909   class class class wbr 5104  (class class class)co 7354  cr 11047  *cxr 11185  cle 11187  [,]cicc 13264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-icc 13268
This theorem is referenced by:  xrhmeo  24305  lebnumii  24325  pcoval1  24372  pcoval2  24375  ivthicc  24818  dyaddisjlem  24955  volsup2  24965  volcn  24966  mbfi1fseqlem5  25080  dvcvx  25380  dvfsumle  25381  dvfsumabs  25383  harmonicbnd3  26353  ppisval  26449  chtwordi  26501  ppiwordi  26507  chpub  26564  cvmliftlem2  33771  fourierdlem76  44393  fourierdlem103  44420  fourierdlem104  44421  fourierdlem107  44424  fourierdlem112  44429  salexct3  44553  salgensscntex  44555  icccldii  46921  sepfsepc  46930
  Copyright terms: Public domain W3C validator