MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icossioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icossioo 12830
Description: Condition for a closed interval to be a subset of an open interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
icossioo (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶[,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem icossioo
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 12742 . 2 (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)})
2 df-ico 12744 . 2 [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑥𝑥 < 𝑏)})
3 xrltletr 12550 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐶𝐶𝑤) → 𝐴 < 𝑤))
4 xrltletr 12550 . 2 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐷𝐷𝐵) → 𝑤 < 𝐵))
51, 2, 3, 4ixxss12 12758 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶[,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  wss 3920   class class class wbr 5053  (class class class)co 7150  *cxr 10673   < clt 10674  cle 10675  (,)cioo 12738  [,)cico 12740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-ioo 12742  df-ico 12744
This theorem is referenced by:  esumcvgsum  31407  dya2icoseg  31595  signsply0  31881  ovolval5lem2  43219  iunhoiioo  43242  vonioolem2  43247
  Copyright terms: Public domain W3C validator