MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icossioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icossioo 13154
Description: Condition for a closed interval to be a subset of an open interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
icossioo (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶[,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem icossioo
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 13065 . 2 (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)})
2 df-ico 13067 . 2 [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑥𝑥 < 𝑏)})
3 xrltletr 12873 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐶𝐶𝑤) → 𝐴 < 𝑤))
4 xrltletr 12873 . 2 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐷𝐷𝐵) → 𝑤 < 𝐵))
51, 2, 3, 4ixxss12 13081 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶[,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2109  wss 3891   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  *cxr 10992   < clt 10993  cle 10994  (,)cioo 13061  [,)cico 13063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-ioo 13065  df-ico 13067
This theorem is referenced by:  esumcvgsum  32035  dya2icoseg  32223  signsply0  32509  ovolval5lem2  44145  iunhoiioo  44168  vonioolem2  44173
  Copyright terms: Public domain W3C validator