Theorem icossico 13367

Description: Condition for a closed-below, open-above interval to be a subset of a closed-below, open-above interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
icossico	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → (𝐶[,)𝐷) ⊆ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem icossico

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13302	. 2 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		xrletr 13107	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑤) → 𝐴 ≤ 𝑤))
3		xrltletr 13106	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵) → 𝑤 < 𝐵))
4	1, 1, 2, 3	ixxss12 13316	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → (𝐶[,)𝐷) ⊆ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177   ≤ cle 11178  [,)cico 13298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-ico 13302

This theorem is referenced by:  icossico2d  13372  metustto  24543  cfilucfil  24549  hsphoidmvle2  47035  hsphoidmvle  47036  hoidmv1lelem1  47041  hoidmv1lelem2  47042  hoidmv1lelem3  47043  hoidifhspdmvle  47070  vonioolem2  47131  vonicclem2  47134  iccpartiun  47916  iccpartdisj  47919