Theorem iccssioo 13147

Description: Condition for a closed interval to be a subset of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iccssioo	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐷 < 𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem iccssioo

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 13082	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 13085	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltletr 12890	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑤) → 𝐴 < 𝑤))
4		xrlelttr 12889	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 𝐷 ∧ 𝐷 < 𝐵) → 𝑤 < 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxss12 13098	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐷 < 𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5079  (class class class)co 7271  ℝ^*cxr 11009   < clt 11010   ≤ cle 11011  (,)cioo 13078  [,]cicc 13081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-ioo 13082  df-icc 13085

This theorem is referenced by:  iccssioo2  13151  opnreen  23992  lebnumii  24127  opnmbllem  24763  lhop1lem  25175  dvfsumlem2  25189  itgsubstlem  25210  logccv  25816  fct2relem  32573  iccioo01  35494  opnmbllem0  35809  iooiinicc  43051  dvbdfbdioolem1  43440