Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  k0004lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem k0004lem3 41305
Description: When the value of a mapping on a singleton is known, the mapping is a completely known singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
k0004lem3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹𝐴) = 𝐶) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))

Proof of Theorem k0004lem3
StepHypRef Expression
1 sneq 4526 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) = 𝐶 → {(𝐹𝐴)} = {𝐶})
2 eqimss 3933 . . . . . 6 ({(𝐹𝐴)} = {𝐶} → {(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶})
31, 2syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝐴) = 𝐶 → {(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶})
4 fvex 6687 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ∈ V
54snsssn 4727 . . . . 5 ({(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶} → (𝐹𝐴) = 𝐶)
63, 5impbii 212 . . . 4 ((𝐹𝐴) = 𝐶 ↔ {(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶})
7 elmapfn 8475 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) → 𝐹 Fn {𝐴})
8 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → 𝐴𝑈)
9 snidg 4550 . . . . . . 7 (𝐴𝑈𝐴 ∈ {𝐴})
108, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → 𝐴 ∈ {𝐴})
11 fnsnfv 6747 . . . . . 6 ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
127, 10, 11syl2an2 686 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
1312sseq1d 3908 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → ({(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶} ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}))
146, 13syl5bb 286 . . 3 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → ((𝐹𝐴) = 𝐶 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}))
1514pm5.32da 582 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹𝐴) = 𝐶) ↔ (𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶})))
16 snex 5298 . . 3 {𝐴} ∈ V
17 simp2 1138 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → 𝐵𝑉)
18 simp3 1139 . . . 4 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
1918snssd 4697 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
20 k0004lem2 41304 . . 3 (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵𝑉 ∧ {𝐶} ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}) ↔ 𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴})))
2116, 17, 19, 20mp3an2i 1467 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}) ↔ 𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴})))
22 snex 5298 . . . 4 {𝐶} ∈ V
2322, 16elmap 8481 . . 3 (𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴}) ↔ 𝐹:{𝐴}⟶{𝐶})
24 fsng 6909 . . . 4 ((𝐴𝑈𝐶𝐵) → (𝐹:{𝐴}⟶{𝐶} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
25243adant2 1132 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → (𝐹:{𝐴}⟶{𝐶} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
2623, 25syl5bb 286 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → (𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴}) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
2715, 21, 263bitrd 308 1 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹𝐴) = 𝐶) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398  wss 3843  {csn 4516  cop 4522  cima 5528   Fn wfn 6334  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  m cmap 8437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-map 8439
This theorem is referenced by:  k0004val0  41310
  Copyright terms: Public domain W3C validator