Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  k0004lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem k0004lem3 44162
Description: When the value of a mapping on a singleton is known, the mapping is a completely known singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
k0004lem3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹𝐴) = 𝐶) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))

Proof of Theorem k0004lem3
StepHypRef Expression
1 sneq 4636 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) = 𝐶 → {(𝐹𝐴)} = {𝐶})
2 eqimss 4042 . . . . . 6 ({(𝐹𝐴)} = {𝐶} → {(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶})
31, 2syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝐴) = 𝐶 → {(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶})
4 fvex 6919 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ∈ V
54snsssn 4841 . . . . 5 ({(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶} → (𝐹𝐴) = 𝐶)
63, 5impbii 209 . . . 4 ((𝐹𝐴) = 𝐶 ↔ {(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶})
7 elmapfn 8905 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) → 𝐹 Fn {𝐴})
8 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → 𝐴𝑈)
9 snidg 4660 . . . . . . 7 (𝐴𝑈𝐴 ∈ {𝐴})
108, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → 𝐴 ∈ {𝐴})
11 fnsnfv 6988 . . . . . 6 ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
127, 10, 11syl2an2 686 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
1312sseq1d 4015 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → ({(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶} ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}))
146, 13bitrid 283 . . 3 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → ((𝐹𝐴) = 𝐶 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}))
1514pm5.32da 579 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹𝐴) = 𝐶) ↔ (𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶})))
16 snex 5436 . . 3 {𝐴} ∈ V
17 simp2 1138 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → 𝐵𝑉)
18 simp3 1139 . . . 4 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
1918snssd 4809 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
20 k0004lem2 44161 . . 3 (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵𝑉 ∧ {𝐶} ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}) ↔ 𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴})))
2116, 17, 19, 20mp3an2i 1468 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}) ↔ 𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴})))
22 snex 5436 . . . 4 {𝐶} ∈ V
2322, 16elmap 8911 . . 3 (𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴}) ↔ 𝐹:{𝐴}⟶{𝐶})
24 fsng 7157 . . . 4 ((𝐴𝑈𝐶𝐵) → (𝐹:{𝐴}⟶{𝐶} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
25243adant2 1132 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → (𝐹:{𝐴}⟶{𝐶} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
2623, 25bitrid 283 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → (𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴}) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
2715, 21, 263bitrd 305 1 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹𝐴) = 𝐶) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  {csn 4626  cop 4632  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-map 8868
This theorem is referenced by:  k0004val0  44167
  Copyright terms: Public domain W3C validator