Theorem k0004lem3 44162

Description: When the value of a mapping on a singleton is known, the mapping is a completely known singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
k0004lem3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐶) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))

Proof of Theorem k0004lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4636	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 → {(𝐹‘𝐴)} = {𝐶})
2		eqimss 4042	. . . . . 6 ⊢ ({(𝐹‘𝐴)} = {𝐶} → {(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶})
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 → {(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶})
4		fvex 6919	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
5	4	snsssn 4841	. . . . 5 ⊢ ({(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶} → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
6	3, 5	impbii 209	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶})
7		elmapfn 8905	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) → 𝐹 Fn {𝐴})
8		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → 𝐴 ∈ 𝑈)
9		snidg 4660	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ {𝐴})
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → 𝐴 ∈ {𝐴})
11		fnsnfv 6988	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
12	7, 10, 11	syl2an2 686	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
13	12	sseq1d 4015	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → ({(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶} ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}))
14	6, 13	bitrid 283	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}))
15	14	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐶) ↔ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶})))
16		snex 5436	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
17		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑉)
18		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
19	18	snssd 4809	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
20		k0004lem2 44161	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ {𝐶} ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}) ↔ 𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴})))
21	16, 17, 19, 20	mp3an2i 1468	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}) ↔ 𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴})))
22		snex 5436	. . . 4 ⊢ {𝐶} ∈ V
23	22, 16	elmap 8911	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴}) ↔ 𝐹:{𝐴}⟶{𝐶})
24		fsng 7157	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹:{𝐴}⟶{𝐶} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
25	24	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹:{𝐴}⟶{𝐶} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
26	23, 25	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴}) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
27	15, 21, 26	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐶) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ⟨cop 4632   “ cima 5688   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-map 8868

This theorem is referenced by:  k0004val0  44167