Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  k0004lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem k0004lem3 42326
Description: When the value of a mapping on a singleton is known, the mapping is a completely known singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
k0004lem3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹𝐴) = 𝐶) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))

Proof of Theorem k0004lem3
StepHypRef Expression
1 sneq 4595 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) = 𝐶 → {(𝐹𝐴)} = {𝐶})
2 eqimss 3999 . . . . . 6 ({(𝐹𝐴)} = {𝐶} → {(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶})
31, 2syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝐴) = 𝐶 → {(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶})
4 fvex 6853 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ∈ V
54snsssn 4798 . . . . 5 ({(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶} → (𝐹𝐴) = 𝐶)
63, 5impbii 208 . . . 4 ((𝐹𝐴) = 𝐶 ↔ {(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶})
7 elmapfn 8762 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) → 𝐹 Fn {𝐴})
8 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → 𝐴𝑈)
9 snidg 4619 . . . . . . 7 (𝐴𝑈𝐴 ∈ {𝐴})
108, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → 𝐴 ∈ {𝐴})
11 fnsnfv 6918 . . . . . 6 ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
127, 10, 11syl2an2 685 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
1312sseq1d 3974 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → ({(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶} ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}))
146, 13bitrid 283 . . 3 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → ((𝐹𝐴) = 𝐶 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}))
1514pm5.32da 580 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹𝐴) = 𝐶) ↔ (𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶})))
16 snex 5387 . . 3 {𝐴} ∈ V
17 simp2 1138 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → 𝐵𝑉)
18 simp3 1139 . . . 4 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
1918snssd 4768 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
20 k0004lem2 42325 . . 3 (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵𝑉 ∧ {𝐶} ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}) ↔ 𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴})))
2116, 17, 19, 20mp3an2i 1467 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}) ↔ 𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴})))
22 snex 5387 . . . 4 {𝐶} ∈ V
2322, 16elmap 8768 . . 3 (𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴}) ↔ 𝐹:{𝐴}⟶{𝐶})
24 fsng 7080 . . . 4 ((𝐴𝑈𝐶𝐵) → (𝐹:{𝐴}⟶{𝐶} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
25243adant2 1132 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → (𝐹:{𝐴}⟶{𝐶} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
2623, 25bitrid 283 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → (𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴}) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
2715, 21, 263bitrd 305 1 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹𝐴) = 𝐶) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  wss 3909  {csn 4585  cop 4591  cima 5635   Fn wfn 6489  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7352  m cmap 8724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-map 8726
This theorem is referenced by:  k0004val0  42331
  Copyright terms: Public domain W3C validator