Theorem k0004lem3 44139

Description: When the value of a mapping on a singleton is known, the mapping is a completely known singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
k0004lem3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐶) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))

Proof of Theorem k0004lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4641	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 → {(𝐹‘𝐴)} = {𝐶})
2		eqimss 4054	. . . . . 6 ⊢ ({(𝐹‘𝐴)} = {𝐶} → {(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶})
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 → {(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶})
4		fvex 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
5	4	snsssn 4846	. . . . 5 ⊢ ({(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶} → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
6	3, 5	impbii 209	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶})
7		elmapfn 8904	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) → 𝐹 Fn {𝐴})
8		simpl1 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → 𝐴 ∈ 𝑈)
9		snidg 4665	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ {𝐴})
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → 𝐴 ∈ {𝐴})
11		fnsnfv 6988	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
12	7, 10, 11	syl2an2 686	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
13	12	sseq1d 4027	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → ({(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶} ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}))
14	6, 13	bitrid 283	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}))
15	14	pm5.32da 579	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐶) ↔ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶})))
16		snex 5442	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
17		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑉)
18		simp3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
19	18	snssd 4814	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
20		k0004lem2 44138	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ {𝐶} ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}) ↔ 𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴})))
21	16, 17, 19, 20	mp3an2i 1465	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}) ↔ 𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴})))
22		snex 5442	. . . 4 ⊢ {𝐶} ∈ V
23	22, 16	elmap 8910	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴}) ↔ 𝐹:{𝐴}⟶{𝐶})
24		fsng 7157	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹:{𝐴}⟶{𝐶} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
25	24	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹:{𝐴}⟶{𝐶} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
26	23, 25	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴}) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
27	15, 21, 26	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐶) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ⟨cop 4637   “ cima 5692   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867

This theorem is referenced by:  k0004val0  44144