Theorem k0004lem3 44801

Description: When the value of a mapping on a singleton is known, the mapping is a completely known singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
k0004lem3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐶) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))

Proof of Theorem k0004lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4604	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 → {(𝐹‘𝐴)} = {𝐶})
2		eqimss 4003	. . . . . 6 ⊢ ({(𝐹‘𝐴)} = {𝐶} → {(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶})
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 → {(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶})
4		fvex 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
5	4	snsssn 4810	. . . . 5 ⊢ ({(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶} → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
6	3, 5	impbii 212	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶})
7		elmapfn 8862	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) → 𝐹 Fn {𝐴})
8		simpl1 1208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → 𝐴 ∈ 𝑈)
9		snidg 4631	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ {𝐴})
10	8, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → 𝐴 ∈ {𝐴})
11		fnsnfv 6961	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
12	7, 10, 11	syl2an2 698	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
13	12	sseq1d 3976	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → ({(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶} ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}))
14	6, 13	bitrid 286	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}))
15	14	pm5.32da 589	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐶) ↔ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶})))
16		snex 5411	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
17		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑉)
18		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
19	18	snssd 4757	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
20		k0004lem2 44800	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ {𝐶} ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}) ↔ 𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴})))
21	16, 17, 19, 20	mp3an2i 1492	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}) ↔ 𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴})))
22		snex 5411	. . . 4 ⊢ {𝐶} ∈ V
23	22, 16	elmap 8869	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴}) ↔ 𝐹:{𝐴}⟶{𝐶})
24		fsng 7134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹:{𝐴}⟶{𝐶} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
25	24	3adant2 1147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹:{𝐴}⟶{𝐶} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
26	23, 25	bitrid 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴}) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
27	15, 21, 26	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐶) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  {csn 4594  ⟨cop 4600   “ cima 5665   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-map 8826

This theorem is referenced by:  k0004val0  44806