Theorem k0004lem3 44111

Description: When the value of a mapping on a singleton is known, the mapping is a completely known singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
k0004lem3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐶) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))

Proof of Theorem k0004lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4658	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 → {(𝐹‘𝐴)} = {𝐶})
2		eqimss 4067	. . . . . 6 ⊢ ({(𝐹‘𝐴)} = {𝐶} → {(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶})
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 → {(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶})
4		fvex 6933	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
5	4	snsssn 4866	. . . . 5 ⊢ ({(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶} → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)
6	3, 5	impbii 209	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 ↔ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶})
7		elmapfn 8923	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) → 𝐹 Fn {𝐴})
8		simpl1 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → 𝐴 ∈ 𝑈)
9		snidg 4682	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ {𝐴})
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → 𝐴 ∈ {𝐴})
11		fnsnfv 7001	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
12	7, 10, 11	syl2an2 685	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
13	12	sseq1d 4040	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → ({(𝐹‘𝐴)} ⊆ {𝐶} ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}))
14	6, 13	bitrid 283	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴})) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐶 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}))
15	14	pm5.32da 578	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐶) ↔ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶})))
16		snex 5451	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
17		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑉)
18		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
19	18	snssd 4834	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
20		k0004lem2 44110	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ {𝐶} ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}) ↔ 𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴})))
21	16, 17, 19, 20	mp3an2i 1466	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}) ↔ 𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴})))
22		snex 5451	. . . 4 ⊢ {𝐶} ∈ V
23	22, 16	elmap 8929	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴}) ↔ 𝐹:{𝐴}⟶{𝐶})
24		fsng 7171	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹:{𝐴}⟶{𝐶} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
25	24	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹:{𝐴}⟶{𝐶} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
26	23, 25	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴}) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
27	15, 21, 26	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑m {𝐴}) ∧ (𝐹‘𝐴) = 𝐶) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ⟨cop 4654   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-map 8886

This theorem is referenced by:  k0004val0  44116