Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  k0004lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem k0004lem3 43203
Description: When the value of a mapping on a singleton is known, the mapping is a completely known singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
k0004lem3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹𝐴) = 𝐶) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))

Proof of Theorem k0004lem3
StepHypRef Expression
1 sneq 4638 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) = 𝐶 → {(𝐹𝐴)} = {𝐶})
2 eqimss 4040 . . . . . 6 ({(𝐹𝐴)} = {𝐶} → {(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶})
31, 2syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝐴) = 𝐶 → {(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶})
4 fvex 6904 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ∈ V
54snsssn 4842 . . . . 5 ({(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶} → (𝐹𝐴) = 𝐶)
63, 5impbii 208 . . . 4 ((𝐹𝐴) = 𝐶 ↔ {(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶})
7 elmapfn 8863 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) → 𝐹 Fn {𝐴})
8 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → 𝐴𝑈)
9 snidg 4662 . . . . . . 7 (𝐴𝑈𝐴 ∈ {𝐴})
108, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → 𝐴 ∈ {𝐴})
11 fnsnfv 6970 . . . . . 6 ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
127, 10, 11syl2an2 683 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
1312sseq1d 4013 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → ({(𝐹𝐴)} ⊆ {𝐶} ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}))
146, 13bitrid 283 . . 3 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) ∧ 𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴})) → ((𝐹𝐴) = 𝐶 ↔ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}))
1514pm5.32da 578 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹𝐴) = 𝐶) ↔ (𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶})))
16 snex 5431 . . 3 {𝐴} ∈ V
17 simp2 1136 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → 𝐵𝑉)
18 simp3 1137 . . . 4 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
1918snssd 4812 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
20 k0004lem2 43202 . . 3 (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵𝑉 ∧ {𝐶} ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}) ↔ 𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴})))
2116, 17, 19, 20mp3an2i 1465 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹 “ {𝐴}) ⊆ {𝐶}) ↔ 𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴})))
22 snex 5431 . . . 4 {𝐶} ∈ V
2322, 16elmap 8869 . . 3 (𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴}) ↔ 𝐹:{𝐴}⟶{𝐶})
24 fsng 7137 . . . 4 ((𝐴𝑈𝐶𝐵) → (𝐹:{𝐴}⟶{𝐶} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
25243adant2 1130 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → (𝐹:{𝐴}⟶{𝐶} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
2623, 25bitrid 283 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → (𝐹 ∈ ({𝐶} ↑m {𝐴}) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
2715, 21, 263bitrd 305 1 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵m {𝐴}) ∧ (𝐹𝐴) = 𝐶) ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  wss 3948  {csn 4628  cop 4634  cima 5679   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  m cmap 8824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-map 8826
This theorem is referenced by:  k0004val0  43208
  Copyright terms: Public domain W3C validator