Theorem elmapfn 8918

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8900	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6735	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   Fn wfn 6556  (class class class)co 7446   ↑_m cmap 8878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-map 8880

This theorem is used by:  mapxpen  9193  fsuppmapnn0fiublem  14163  fsuppmapnn0fiub  14164  fsuppmapnn0fiub0  14166  suppssfz  14167  fsuppmapnn0ub  14168  s3rex  15133  mndpsuppss  18991  mndpfsupp  18993  frlmbas  22094  frlmsslsp  22135  eqmat  22772  matplusgcell  22781  matsubgcell  22782  matvscacell  22784  matunitlindflem1  23027  matunitlindflem2  23028  cramerlem1  23038  tmdgsum  24447  fmptco1f1o  33302  islinds5  34007  ellspds  34008  1arithidomlem2  34152  1arithidom  34153  selvply1rhmlemb  34234  lbsdiflsp0  34341  matmpo  34518  1smat1  34519  actfunsnf1o  35316  actfunsnrndisj  35317  reprinfz1  35334  unccur  38731  poimirlem4  38747  poimirlem5  38748  poimirlem6  38749  poimirlem7  38750  poimirlem10  38753  poimirlem11  38754  poimirlem12  38755  poimirlem16  38759  poimirlem19  38762  poimirlem29  38772  poimirlem30  38773  poimirlem31  38774  broucube  38777  fsuppind  43822  ofoafo  44561  ofoaass  44565  ofoacom  44566  rfovcnvf1od  45207  dssmapnvod  45223  dssmapntrcls  45331  k0004lem3  45352  unirnmap  46436  unirnmapsn  46442  ssmapsn  46444  dvnprodlem1  47171  dvnprodlem3  47173  rrxsnicc  47525  ioorrnopnlem  47529  ovnsubaddlem1  47795  hoiqssbllem1  47847  tmachlem-agreeprod  48162  iccpartrn  48727  iccpartf  48728  iccpartnel  48735  dflinc2  49737  lincsum  49756  lincresunit2  49805  2arymaptfo  49981  rrx2pnecoorneor  50043  rrx2linest  50069  crosspaltd  51278