Theorem elmapfn 8792

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8776	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6653	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   Fn wfn 6477  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-map 8755

This theorem is referenced by:  mapxpen  9060  fsuppmapnn0fiublem  13897  fsuppmapnn0fiub  13898  fsuppmapnn0fiub0  13900  suppssfz  13901  fsuppmapnn0ub  13902  mndpsuppss  18639  mndpfsupp  18641  frlmbas  21662  frlmsslsp  21703  eqmat  22309  matplusgcell  22318  matsubgcell  22319  matvscacell  22321  cramerlem1  22572  tmdgsum  23980  fmptco1f1o  32584  islinds5  33313  ellspds  33314  1arithidomlem2  33482  1arithidom  33483  lbsdiflsp0  33609  matmpo  33786  1smat1  33787  actfunsnf1o  34588  actfunsnrndisj  34589  reprinfz1  34606  unccur  37603  matunitlindflem1  37616  matunitlindflem2  37617  poimirlem4  37624  poimirlem5  37625  poimirlem6  37626  poimirlem7  37627  poimirlem10  37630  poimirlem11  37631  poimirlem12  37632  poimirlem16  37636  poimirlem19  37639  poimirlem29  37649  poimirlem30  37650  poimirlem31  37651  broucube  37654  fsuppind  42583  ofoafo  43349  ofoaass  43353  ofoacom  43354  rfovcnvf1od  43997  dssmapnvod  44013  dssmapntrcls  44121  k0004lem3  44142  unirnmap  45206  unirnmapsn  45212  ssmapsn  45214  dvnprodlem1  45947  dvnprodlem3  45949  rrxsnicc  46301  ioorrnopnlem  46305  ovnsubaddlem1  46571  hoiqssbllem1  46623  iccpartrn  47434  iccpartf  47435  iccpartnel  47442  dflinc2  48415  lincsum  48434  lincresunit2  48483  2arymaptfo  48659  rrx2pnecoorneor  48720  rrx2linest  48747