Theorem elmapfn 8859

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8843	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6719	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   Fn wfn 6539  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822

This theorem is referenced by:  mapxpen  9143  fsuppmapnn0fiublem  13955  fsuppmapnn0fiub  13956  fsuppmapnn0fiub0  13958  suppssfz  13959  fsuppmapnn0ub  13960  frlmbas  21310  frlmsslsp  21351  eqmat  21926  matplusgcell  21935  matsubgcell  21936  matvscacell  21938  cramerlem1  22189  tmdgsum  23599  fmptco1f1o  31857  islinds5  32480  ellspds  32481  lbsdiflsp0  32711  matmpo  32783  1smat1  32784  actfunsnf1o  33616  actfunsnrndisj  33617  reprinfz1  33634  unccur  36471  matunitlindflem1  36484  matunitlindflem2  36485  poimirlem4  36492  poimirlem5  36493  poimirlem6  36494  poimirlem7  36495  poimirlem10  36498  poimirlem11  36499  poimirlem12  36500  poimirlem16  36504  poimirlem19  36507  poimirlem29  36517  poimirlem30  36518  poimirlem31  36519  broucube  36522  fsuppind  41162  ofoafo  42106  ofoaass  42110  ofoacom  42111  rfovcnvf1od  42755  dssmapnvod  42771  dssmapntrcls  42879  k0004lem3  42900  unirnmap  43907  unirnmapsn  43913  ssmapsn  43915  dvnprodlem1  44662  dvnprodlem3  44664  rrxsnicc  45016  ioorrnopnlem  45020  ovnsubaddlem1  45286  hoiqssbllem1  45338  iccpartrn  46098  iccpartf  46099  iccpartnel  46106  mndpsuppss  47047  mndpfsupp  47052  dflinc2  47091  lincsum  47110  lincresunit2  47159  2arymaptfo  47340  rrx2pnecoorneor  47401  rrx2linest  47428