Theorem elmapfn 8905

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8889	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6737	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   Fn wfn 6556  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-map 8868

This theorem is referenced by:  mapxpen  9183  fsuppmapnn0fiublem  14031  fsuppmapnn0fiub  14032  fsuppmapnn0fiub0  14034  suppssfz  14035  fsuppmapnn0ub  14036  mndpsuppss  18778  mndpfsupp  18780  frlmbas  21775  frlmsslsp  21816  eqmat  22430  matplusgcell  22439  matsubgcell  22440  matvscacell  22442  cramerlem1  22693  tmdgsum  24103  fmptco1f1o  32643  islinds5  33395  ellspds  33396  1arithidomlem2  33564  1arithidom  33565  lbsdiflsp0  33677  matmpo  33802  1smat1  33803  actfunsnf1o  34619  actfunsnrndisj  34620  reprinfz1  34637  unccur  37610  matunitlindflem1  37623  matunitlindflem2  37624  poimirlem4  37631  poimirlem5  37632  poimirlem6  37633  poimirlem7  37634  poimirlem10  37637  poimirlem11  37638  poimirlem12  37639  poimirlem16  37643  poimirlem19  37646  poimirlem29  37656  poimirlem30  37657  poimirlem31  37658  broucube  37661  fsuppind  42600  ofoafo  43369  ofoaass  43373  ofoacom  43374  rfovcnvf1od  44017  dssmapnvod  44033  dssmapntrcls  44141  k0004lem3  44162  unirnmap  45213  unirnmapsn  45219  ssmapsn  45221  dvnprodlem1  45961  dvnprodlem3  45963  rrxsnicc  46315  ioorrnopnlem  46319  ovnsubaddlem1  46585  hoiqssbllem1  46637  iccpartrn  47417  iccpartf  47418  iccpartnel  47425  dflinc2  48327  lincsum  48346  lincresunit2  48395  2arymaptfo  48575  rrx2pnecoorneor  48636  rrx2linest  48663