Theorem elmapfn 8797

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8781	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6659	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   Fn wfn 6483  (class class class)co 7354   ↑_m cmap 8758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-fv 6496  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-map 8760

This theorem is referenced by:  mapxpen  9065  fsuppmapnn0fiublem  13901  fsuppmapnn0fiub  13902  fsuppmapnn0fiub0  13904  suppssfz  13905  fsuppmapnn0ub  13906  mndpsuppss  18677  mndpfsupp  18679  frlmbas  21696  frlmsslsp  21737  eqmat  22342  matplusgcell  22351  matsubgcell  22352  matvscacell  22354  cramerlem1  22605  tmdgsum  24013  fmptco1f1o  32619  islinds5  33341  ellspds  33342  1arithidomlem2  33510  1arithidom  33511  lbsdiflsp0  33662  matmpo  33839  1smat1  33840  actfunsnf1o  34640  actfunsnrndisj  34641  reprinfz1  34658  unccur  37666  matunitlindflem1  37679  matunitlindflem2  37680  poimirlem4  37687  poimirlem5  37688  poimirlem6  37689  poimirlem7  37690  poimirlem10  37693  poimirlem11  37694  poimirlem12  37695  poimirlem16  37699  poimirlem19  37702  poimirlem29  37712  poimirlem30  37713  poimirlem31  37714  broucube  37717  fsuppind  42711  ofoafo  43476  ofoaass  43480  ofoacom  43481  rfovcnvf1od  44124  dssmapnvod  44140  dssmapntrcls  44248  k0004lem3  44269  unirnmap  45332  unirnmapsn  45338  ssmapsn  45340  dvnprodlem1  46071  dvnprodlem3  46073  rrxsnicc  46425  ioorrnopnlem  46429  ovnsubaddlem1  46695  hoiqssbllem1  46747  iccpartrn  47557  iccpartf  47558  iccpartnel  47565  dflinc2  48538  lincsum  48557  lincresunit2  48606  2arymaptfo  48782  rrx2pnecoorneor  48843  rrx2linest  48870