Theorem elmapfn 8870

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8852	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6707	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   Fn wfn 6532  (class class class)co 7417   ↑_m cmap 8830

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-map 8832

This theorem is used by:  mapxpen  9145  fsuppmapnn0fiublem  14058  fsuppmapnn0fiub  14059  fsuppmapnn0fiub0  14061  suppssfz  14062  fsuppmapnn0ub  14063  s3rex  15025  mndpsuppss  18878  mndpfsupp  18880  frlmbas  21974  frlmsslsp  22015  eqmat  22652  matplusgcell  22661  matsubgcell  22662  matvscacell  22664  matunitlindflem1  22907  matunitlindflem2  22908  cramerlem1  22918  tmdgsum  24327  fmptco1f1o  33114  islinds5  33810  ellspds  33811  1arithidomlem2  33954  1arithidom  33955  selvply1rhmlemb  34037  lbsdiflsp0  34144  matmpo  34321  1smat1  34322  actfunsnf1o  35120  actfunsnrndisj  35121  reprinfz1  35138  unccur  38365  poimirlem4  38381  poimirlem5  38382  poimirlem6  38383  poimirlem7  38384  poimirlem10  38387  poimirlem11  38388  poimirlem12  38389  poimirlem16  38393  poimirlem19  38396  poimirlem29  38406  poimirlem30  38407  poimirlem31  38408  broucube  38411  fsuppind  43444  ofoafo  44205  ofoaass  44209  ofoacom  44210  rfovcnvf1od  44852  dssmapnvod  44868  dssmapntrcls  44976  k0004lem3  44997  unirnmap  46046  unirnmapsn  46052  ssmapsn  46054  dvnprodlem1  46782  dvnprodlem3  46784  rrxsnicc  47136  ioorrnopnlem  47140  ovnsubaddlem1  47406  hoiqssbllem1  47458  tmachlem-agreeprod  47773  iccpartrn  48338  iccpartf  48339  iccpartnel  48346  dflinc2  49348  lincsum  49367  lincresunit2  49416  2arymaptfo  49592  rrx2pnecoorneor  49653  rrx2linest  49680  crosspaltd  50807