Theorem elmapfn 8863

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8847	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6708	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   Fn wfn 6533  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-map 8827

This theorem is referenced by:  mapxpen  9132  fsuppmapnn0fiublem  14028  fsuppmapnn0fiub  14029  fsuppmapnn0fiub0  14031  suppssfz  14032  fsuppmapnn0ub  14033  mndpsuppss  18824  mndpfsupp  18826  frlmbas  21886  frlmsslsp  21927  eqmat  22562  matplusgcell  22571  matsubgcell  22572  matvscacell  22574  cramerlem1  22825  tmdgsum  24233  fmptco1f1o  32959  islinds5  33663  ellspds  33664  1arithidomlem2  33807  1arithidom  33808  selvply1rhmlemb  33890  lbsdiflsp0  33997  matmpo  34174  1smat1  34175  actfunsnf1o  34972  actfunsnrndisj  34973  reprinfz1  34990  unccur  38235  matunitlindflem1  38248  matunitlindflem2  38249  poimirlem4  38256  poimirlem5  38257  poimirlem6  38258  poimirlem7  38259  poimirlem10  38262  poimirlem11  38263  poimirlem12  38264  poimirlem16  38268  poimirlem19  38271  poimirlem29  38281  poimirlem30  38282  poimirlem31  38283  broucube  38286  fsuppind  43305  ofoafo  44066  ofoaass  44070  ofoacom  44071  rfovcnvf1od  44713  dssmapnvod  44729  dssmapntrcls  44837  k0004lem3  44858  unirnmap  45907  unirnmapsn  45913  ssmapsn  45915  dvnprodlem1  46643  dvnprodlem3  46645  rrxsnicc  46997  ioorrnopnlem  47001  ovnsubaddlem1  47267  hoiqssbllem1  47319  iccpartrn  48162  iccpartf  48163  iccpartnel  48170  dflinc2  49173  lincsum  49192  lincresunit2  49241  2arymaptfo  49417  rrx2pnecoorneor  49478  rrx2linest  49505