Theorem elmapfn 8812

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8796	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6669	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   Fn wfn 6493  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-map 8775

This theorem is referenced by:  mapxpen  9081  fsuppmapnn0fiublem  13952  fsuppmapnn0fiub  13953  fsuppmapnn0fiub0  13955  suppssfz  13956  fsuppmapnn0ub  13957  mndpsuppss  18733  mndpfsupp  18735  frlmbas  21735  frlmsslsp  21776  eqmat  22389  matplusgcell  22398  matsubgcell  22399  matvscacell  22401  cramerlem1  22652  tmdgsum  24060  fmptco1f1o  32706  islinds5  33427  ellspds  33428  1arithidomlem2  33596  1arithidom  33597  lbsdiflsp0  33770  matmpo  33947  1smat1  33948  actfunsnf1o  34748  actfunsnrndisj  34749  reprinfz1  34766  unccur  37924  matunitlindflem1  37937  matunitlindflem2  37938  poimirlem4  37945  poimirlem5  37946  poimirlem6  37947  poimirlem7  37948  poimirlem10  37951  poimirlem11  37952  poimirlem12  37953  poimirlem16  37957  poimirlem19  37960  poimirlem29  37970  poimirlem30  37971  poimirlem31  37972  broucube  37975  fsuppind  43023  ofoafo  43784  ofoaass  43788  ofoacom  43789  rfovcnvf1od  44431  dssmapnvod  44447  dssmapntrcls  44555  k0004lem3  44576  unirnmap  45637  unirnmapsn  45643  ssmapsn  45645  dvnprodlem1  46374  dvnprodlem3  46376  rrxsnicc  46728  ioorrnopnlem  46732  ovnsubaddlem1  46998  hoiqssbllem1  47050  iccpartrn  47890  iccpartf  47891  iccpartnel  47898  dflinc2  48886  lincsum  48905  lincresunit2  48954  2arymaptfo  49130  rrx2pnecoorneor  49191  rrx2linest  49218