Theorem elmapfn 8891

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8873	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6711	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   Fn wfn 6534  (class class class)co 7421   ↑_m cmap 8851

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-map 8853

This theorem is used by:  mapxpen  9166  fsuppmapnn0fiublem  14137  fsuppmapnn0fiub  14138  fsuppmapnn0fiub0  14140  suppssfz  14141  fsuppmapnn0ub  14142  s3rex  15107  mndpsuppss  18965  mndpfsupp  18967  frlmbas  22067  frlmsslsp  22108  eqmat  22745  matplusgcell  22754  matsubgcell  22755  matvscacell  22757  matunitlindflem1  23000  matunitlindflem2  23001  cramerlem1  23011  tmdgsum  24420  fmptco1f1o  33275  islinds5  33970  ellspds  33971  1arithidomlem2  34115  1arithidom  34116  selvply1rhmlemb  34198  lbsdiflsp0  34305  matmpo  34482  1smat1  34483  actfunsnf1o  35280  actfunsnrndisj  35281  reprinfz1  35298  unccur  38620  poimirlem4  38636  poimirlem5  38637  poimirlem6  38638  poimirlem7  38639  poimirlem10  38642  poimirlem11  38643  poimirlem12  38644  poimirlem16  38648  poimirlem19  38651  poimirlem29  38661  poimirlem30  38662  poimirlem31  38663  broucube  38666  fsuppind  43712  ofoafo  44452  ofoaass  44456  ofoacom  44457  rfovcnvf1od  45098  dssmapnvod  45114  dssmapntrcls  45222  k0004lem3  45243  unirnmap  46315  unirnmapsn  46321  ssmapsn  46323  dvnprodlem1  47050  dvnprodlem3  47052  rrxsnicc  47404  ioorrnopnlem  47408  ovnsubaddlem1  47674  hoiqssbllem1  47726  tmachlem-agreeprod  48041  iccpartrn  48606  iccpartf  48607  iccpartnel  48614  dflinc2  49616  lincsum  49635  lincresunit2  49684  2arymaptfo  49860  rrx2pnecoorneor  49922  rrx2linest  49948  crosspaltd  51135