Theorem elmapfn 8854

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8838	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6708	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   Fn wfn 6528  (class class class)co 7401   ↑_m cmap 8815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-map 8817

This theorem is referenced by:  mapxpen  9138  fsuppmapnn0fiublem  13951  fsuppmapnn0fiub  13952  fsuppmapnn0fiub0  13954  suppssfz  13955  fsuppmapnn0ub  13956  frlmbas  21610  frlmsslsp  21651  eqmat  22236  matplusgcell  22245  matsubgcell  22246  matvscacell  22248  cramerlem1  22499  tmdgsum  23909  fmptco1f1o  32281  islinds5  32911  ellspds  32912  lbsdiflsp0  33156  matmpo  33238  1smat1  33239  actfunsnf1o  34071  actfunsnrndisj  34072  reprinfz1  34089  unccur  36927  matunitlindflem1  36940  matunitlindflem2  36941  poimirlem4  36948  poimirlem5  36949  poimirlem6  36950  poimirlem7  36951  poimirlem10  36954  poimirlem11  36955  poimirlem12  36956  poimirlem16  36960  poimirlem19  36963  poimirlem29  36973  poimirlem30  36974  poimirlem31  36975  broucube  36978  fsuppind  41617  ofoafo  42561  ofoaass  42565  ofoacom  42566  rfovcnvf1od  43210  dssmapnvod  43226  dssmapntrcls  43334  k0004lem3  43355  unirnmap  44358  unirnmapsn  44364  ssmapsn  44366  dvnprodlem1  45113  dvnprodlem3  45115  rrxsnicc  45467  ioorrnopnlem  45471  ovnsubaddlem1  45737  hoiqssbllem1  45789  iccpartrn  46549  iccpartf  46550  iccpartnel  46557  mndpsuppss  47202  mndpfsupp  47207  dflinc2  47245  lincsum  47264  lincresunit2  47313  2arymaptfo  47494  rrx2pnecoorneor  47555  rrx2linest  47582