Theorem elmapfn 8799

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8783	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6657	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   Fn wfn 6481  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-map 8762

This theorem is referenced by:  mapxpen  9067  fsuppmapnn0fiublem  13915  fsuppmapnn0fiub  13916  fsuppmapnn0fiub0  13918  suppssfz  13919  fsuppmapnn0ub  13920  mndpsuppss  18657  mndpfsupp  18659  frlmbas  21680  frlmsslsp  21721  eqmat  22327  matplusgcell  22336  matsubgcell  22337  matvscacell  22339  cramerlem1  22590  tmdgsum  23998  fmptco1f1o  32590  islinds5  33317  ellspds  33318  1arithidomlem2  33486  1arithidom  33487  lbsdiflsp0  33601  matmpo  33772  1smat1  33773  actfunsnf1o  34574  actfunsnrndisj  34575  reprinfz1  34592  unccur  37585  matunitlindflem1  37598  matunitlindflem2  37599  poimirlem4  37606  poimirlem5  37607  poimirlem6  37608  poimirlem7  37609  poimirlem10  37612  poimirlem11  37613  poimirlem12  37614  poimirlem16  37618  poimirlem19  37621  poimirlem29  37631  poimirlem30  37632  poimirlem31  37633  broucube  37636  fsuppind  42566  ofoafo  43332  ofoaass  43336  ofoacom  43337  rfovcnvf1od  43980  dssmapnvod  43996  dssmapntrcls  44104  k0004lem3  44125  unirnmap  45189  unirnmapsn  45195  ssmapsn  45197  dvnprodlem1  45931  dvnprodlem3  45933  rrxsnicc  46285  ioorrnopnlem  46289  ovnsubaddlem1  46555  hoiqssbllem1  46607  iccpartrn  47418  iccpartf  47419  iccpartnel  47426  dflinc2  48399  lincsum  48418  lincresunit2  48467  2arymaptfo  48643  rrx2pnecoorneor  48704  rrx2linest  48731