Theorem elmapfn 8871

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8855	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6713	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   Fn wfn 6538  (class class class)co 7423   ↑_m cmap 8833

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-map 8835

This theorem is used by:  mapxpen  9141  fsuppmapnn0fiublem  14046  fsuppmapnn0fiub  14047  fsuppmapnn0fiub0  14049  suppssfz  14050  fsuppmapnn0ub  14051  mndpsuppss  18854  mndpfsupp  18856  frlmbas  21942  frlmsslsp  21983  eqmat  22618  matplusgcell  22627  matsubgcell  22628  matvscacell  22630  cramerlem1  22881  tmdgsum  24289  fmptco1f1o  33015  islinds5  33713  ellspds  33714  1arithidomlem2  33857  1arithidom  33858  selvply1rhmlemb  33940  lbsdiflsp0  34047  matmpo  34224  1smat1  34225  actfunsnf1o  35023  actfunsnrndisj  35024  reprinfz1  35041  unccur  38295  matunitlindflem1  38308  matunitlindflem2  38309  poimirlem4  38316  poimirlem5  38317  poimirlem6  38318  poimirlem7  38319  poimirlem10  38322  poimirlem11  38323  poimirlem12  38324  poimirlem16  38328  poimirlem19  38331  poimirlem29  38341  poimirlem30  38342  poimirlem31  38343  broucube  38346  fsuppind  43363  ofoafo  44124  ofoaass  44128  ofoacom  44129  rfovcnvf1od  44771  dssmapnvod  44787  dssmapntrcls  44895  k0004lem3  44916  unirnmap  45965  unirnmapsn  45971  ssmapsn  45973  dvnprodlem1  46701  dvnprodlem3  46703  rrxsnicc  47055  ioorrnopnlem  47059  ovnsubaddlem1  47325  hoiqssbllem1  47377  iccpartrn  48220  iccpartf  48221  iccpartnel  48228  dflinc2  49231  lincsum  49250  lincresunit2  49299  2arymaptfo  49475  rrx2pnecoorneor  49536  rrx2linest  49563  crosspalti  50689