Theorem elmapfn 8412

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8411	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6488	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   Fn wfn 6319  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-map 8391

This theorem is referenced by:  mapxpen  8667  fsuppmapnn0fiublem  13353  fsuppmapnn0fiub  13354  fsuppmapnn0fiub0  13356  suppssfz  13357  fsuppmapnn0ub  13358  frlmbas  20444  frlmsslsp  20485  eqmat  21029  matplusgcell  21038  matsubgcell  21039  matvscacell  21041  cramerlem1  21292  tmdgsum  22700  fmptco1f1o  30392  islinds5  30983  ellspds  30984  lbsdiflsp0  31110  matmpo  31156  1smat1  31157  actfunsnf1o  31985  actfunsnrndisj  31986  reprinfz1  32003  unccur  35040  matunitlindflem1  35053  matunitlindflem2  35054  poimirlem4  35061  poimirlem5  35062  poimirlem6  35063  poimirlem7  35064  poimirlem10  35067  poimirlem11  35068  poimirlem12  35069  poimirlem16  35073  poimirlem19  35076  poimirlem29  35086  poimirlem30  35087  poimirlem31  35088  broucube  35091  fsuppind  39456  rfovcnvf1od  40705  dssmapnvod  40721  dssmapntrcls  40831  k0004lem3  40852  unirnmap  41837  unirnmapsn  41843  ssmapsn  41845  dvnprodlem1  42588  dvnprodlem3  42590  rrxsnicc  42942  ioorrnopnlem  42946  ovnsubaddlem1  43209  hoiqssbllem1  43261  iccpartrn  43947  iccpartf  43948  iccpartnel  43955  mndpsuppss  44773  mndpfsupp  44778  dflinc2  44819  lincsum  44838  lincresunit2  44887  2arymaptfo  45068  rrx2pnecoorneor  45129  rrx2linest  45156