Theorem elmapfn 8163

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8162	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6292	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   Fn wfn 6130  (class class class)co 6922   ↑_𝑚 cmap 8140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-map 8142

This theorem is referenced by:  mapxpen  8414  fsuppmapnn0fiublem  13108  fsuppmapnn0fiub  13109  fsuppmapnn0fiub0  13111  suppssfz  13112  fsuppmapnn0ub  13113  frlmbas  20498  frlmsslsp  20539  eqmat  20634  matplusgcell  20643  matsubgcell  20644  matvscacell  20646  cramerlem1  20900  tmdgsum  22307  fmptco1f1o  30013  islinds5  30428  ellspds  30429  lbsdiflsp0  30454  matmpt2  30481  1smat1  30482  actfunsnf1o  31298  actfunsnrndisj  31299  reprinfz1  31316  unccur  34011  matunitlindflem1  34025  matunitlindflem2  34026  poimirlem4  34033  poimirlem5  34034  poimirlem6  34035  poimirlem7  34036  poimirlem10  34039  poimirlem11  34040  poimirlem12  34041  poimirlem16  34045  poimirlem19  34048  poimirlem29  34058  poimirlem30  34059  poimirlem31  34060  broucube  34063  rfovcnvf1od  39246  dssmapnvod  39262  dssmapntrcls  39374  k0004lem3  39395  unirnmap  40313  unirnmapsn  40319  ssmapsn  40321  dvnprodlem1  41081  dvnprodlem3  41083  rrxsnicc  41436  ioorrnopnlem  41440  ovnsubaddlem1  41703  hoiqssbllem1  41755  iccpartrn  42390  iccpartf  42391  iccpartnel  42398  mndpsuppss  43159  mndpfsupp  43164  dflinc2  43206  lincsum  43225  lincresunit2  43274  rrx2pnecoorneor  43443  rrx2linest  43470