Theorem elmapfn 8802

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8786	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6663	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   Fn wfn 6487  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-map 8765

This theorem is referenced by:  mapxpen  9071  fsuppmapnn0fiublem  13913  fsuppmapnn0fiub  13914  fsuppmapnn0fiub0  13916  suppssfz  13917  fsuppmapnn0ub  13918  mndpsuppss  18690  mndpfsupp  18692  frlmbas  21710  frlmsslsp  21751  eqmat  22368  matplusgcell  22377  matsubgcell  22378  matvscacell  22380  cramerlem1  22631  tmdgsum  24039  fmptco1f1o  32711  islinds5  33448  ellspds  33449  1arithidomlem2  33617  1arithidom  33618  lbsdiflsp0  33783  matmpo  33960  1smat1  33961  actfunsnf1o  34761  actfunsnrndisj  34762  reprinfz1  34779  unccur  37804  matunitlindflem1  37817  matunitlindflem2  37818  poimirlem4  37825  poimirlem5  37826  poimirlem6  37827  poimirlem7  37828  poimirlem10  37831  poimirlem11  37832  poimirlem12  37833  poimirlem16  37837  poimirlem19  37840  poimirlem29  37850  poimirlem30  37851  poimirlem31  37852  broucube  37855  fsuppind  42833  ofoafo  43598  ofoaass  43602  ofoacom  43603  rfovcnvf1od  44245  dssmapnvod  44261  dssmapntrcls  44369  k0004lem3  44390  unirnmap  45452  unirnmapsn  45458  ssmapsn  45460  dvnprodlem1  46190  dvnprodlem3  46192  rrxsnicc  46544  ioorrnopnlem  46548  ovnsubaddlem1  46814  hoiqssbllem1  46866  iccpartrn  47676  iccpartf  47677  iccpartnel  47684  dflinc2  48656  lincsum  48675  lincresunit2  48724  2arymaptfo  48900  rrx2pnecoorneor  48961  rrx2linest  48988