Theorem elmapfn 8904

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8888	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6738	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   Fn wfn 6558  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867

This theorem is referenced by:  mapxpen  9182  fsuppmapnn0fiublem  14028  fsuppmapnn0fiub  14029  fsuppmapnn0fiub0  14031  suppssfz  14032  fsuppmapnn0ub  14033  mndpsuppss  18791  mndpfsupp  18793  frlmbas  21793  frlmsslsp  21834  eqmat  22446  matplusgcell  22455  matsubgcell  22456  matvscacell  22458  cramerlem1  22709  tmdgsum  24119  fmptco1f1o  32650  islinds5  33375  ellspds  33376  1arithidomlem2  33544  1arithidom  33545  lbsdiflsp0  33654  matmpo  33764  1smat1  33765  actfunsnf1o  34598  actfunsnrndisj  34599  reprinfz1  34616  unccur  37590  matunitlindflem1  37603  matunitlindflem2  37604  poimirlem4  37611  poimirlem5  37612  poimirlem6  37613  poimirlem7  37614  poimirlem10  37617  poimirlem11  37618  poimirlem12  37619  poimirlem16  37623  poimirlem19  37626  poimirlem29  37636  poimirlem30  37637  poimirlem31  37638  broucube  37641  fsuppind  42577  ofoafo  43346  ofoaass  43350  ofoacom  43351  rfovcnvf1od  43994  dssmapnvod  44010  dssmapntrcls  44118  k0004lem3  44139  unirnmap  45151  unirnmapsn  45157  ssmapsn  45159  dvnprodlem1  45902  dvnprodlem3  45904  rrxsnicc  46256  ioorrnopnlem  46260  ovnsubaddlem1  46526  hoiqssbllem1  46578  iccpartrn  47355  iccpartf  47356  iccpartnel  47363  dflinc2  48256  lincsum  48275  lincresunit2  48324  2arymaptfo  48504  rrx2pnecoorneor  48565  rrx2linest  48592