Theorem elmapfn 8789

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8773	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6652	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   Fn wfn 6476  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8752

This theorem is referenced by:  mapxpen  9056  fsuppmapnn0fiublem  13897  fsuppmapnn0fiub  13898  fsuppmapnn0fiub0  13900  suppssfz  13901  fsuppmapnn0ub  13902  mndpsuppss  18673  mndpfsupp  18675  frlmbas  21693  frlmsslsp  21734  eqmat  22340  matplusgcell  22349  matsubgcell  22350  matvscacell  22352  cramerlem1  22603  tmdgsum  24011  fmptco1f1o  32613  islinds5  33330  ellspds  33331  1arithidomlem2  33499  1arithidom  33500  lbsdiflsp0  33637  matmpo  33814  1smat1  33815  actfunsnf1o  34615  actfunsnrndisj  34616  reprinfz1  34633  unccur  37649  matunitlindflem1  37662  matunitlindflem2  37663  poimirlem4  37670  poimirlem5  37671  poimirlem6  37672  poimirlem7  37673  poimirlem10  37676  poimirlem11  37677  poimirlem12  37678  poimirlem16  37682  poimirlem19  37685  poimirlem29  37695  poimirlem30  37696  poimirlem31  37697  broucube  37700  fsuppind  42629  ofoafo  43395  ofoaass  43399  ofoacom  43400  rfovcnvf1od  44043  dssmapnvod  44059  dssmapntrcls  44167  k0004lem3  44188  unirnmap  45251  unirnmapsn  45257  ssmapsn  45259  dvnprodlem1  45990  dvnprodlem3  45992  rrxsnicc  46344  ioorrnopnlem  46348  ovnsubaddlem1  46614  hoiqssbllem1  46666  iccpartrn  47467  iccpartf  47468  iccpartnel  47475  dflinc2  48448  lincsum  48467  lincresunit2  48516  2arymaptfo  48692  rrx2pnecoorneor  48753  rrx2linest  48780