Theorem elmapfn 8611

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8595	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6585	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   Fn wfn 6413  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-map 8575

This theorem is referenced by:  mapxpen  8879  fsuppmapnn0fiublem  13638  fsuppmapnn0fiub  13639  fsuppmapnn0fiub0  13641  suppssfz  13642  fsuppmapnn0ub  13643  frlmbas  20872  frlmsslsp  20913  eqmat  21481  matplusgcell  21490  matsubgcell  21491  matvscacell  21493  cramerlem1  21744  tmdgsum  23154  fmptco1f1o  30869  islinds5  31465  ellspds  31466  lbsdiflsp0  31609  matmpo  31655  1smat1  31656  actfunsnf1o  32484  actfunsnrndisj  32485  reprinfz1  32502  unccur  35687  matunitlindflem1  35700  matunitlindflem2  35701  poimirlem4  35708  poimirlem5  35709  poimirlem6  35710  poimirlem7  35711  poimirlem10  35714  poimirlem11  35715  poimirlem12  35716  poimirlem16  35720  poimirlem19  35723  poimirlem29  35733  poimirlem30  35734  poimirlem31  35735  broucube  35738  fsuppind  40202  rfovcnvf1od  41501  dssmapnvod  41517  dssmapntrcls  41627  k0004lem3  41648  unirnmap  42637  unirnmapsn  42643  ssmapsn  42645  dvnprodlem1  43377  dvnprodlem3  43379  rrxsnicc  43731  ioorrnopnlem  43735  ovnsubaddlem1  43998  hoiqssbllem1  44050  iccpartrn  44770  iccpartf  44771  iccpartnel  44778  mndpsuppss  45595  mndpfsupp  45600  dflinc2  45639  lincsum  45658  lincresunit2  45707  2arymaptfo  45888  rrx2pnecoorneor  45949  rrx2linest  45976