Theorem elmapfn 8855

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8839	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2	1	ffnd 6715	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   Fn wfn 6535  (class class class)co 7404   ↑_m cmap 8816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-map 8818

This theorem is referenced by:  mapxpen  9139  fsuppmapnn0fiublem  13951  fsuppmapnn0fiub  13952  fsuppmapnn0fiub0  13954  suppssfz  13955  fsuppmapnn0ub  13956  frlmbas  21294  frlmsslsp  21335  eqmat  21908  matplusgcell  21917  matsubgcell  21918  matvscacell  21920  cramerlem1  22171  tmdgsum  23581  fmptco1f1o  31835  islinds5  32449  ellspds  32450  lbsdiflsp0  32656  matmpo  32721  1smat1  32722  actfunsnf1o  33554  actfunsnrndisj  33555  reprinfz1  33572  unccur  36409  matunitlindflem1  36422  matunitlindflem2  36423  poimirlem4  36430  poimirlem5  36431  poimirlem6  36432  poimirlem7  36433  poimirlem10  36436  poimirlem11  36437  poimirlem12  36438  poimirlem16  36442  poimirlem19  36445  poimirlem29  36455  poimirlem30  36456  poimirlem31  36457  broucube  36460  fsuppind  41112  ofoafo  42039  ofoaass  42043  ofoacom  42044  rfovcnvf1od  42688  dssmapnvod  42704  dssmapntrcls  42812  k0004lem3  42833  unirnmap  43840  unirnmapsn  43846  ssmapsn  43848  dvnprodlem1  44597  dvnprodlem3  44599  rrxsnicc  44951  ioorrnopnlem  44955  ovnsubaddlem1  45221  hoiqssbllem1  45273  iccpartrn  46033  iccpartf  46034  iccpartnel  46041  mndpsuppss  46949  mndpfsupp  46954  dflinc2  46993  lincsum  47012  lincresunit2  47061  2arymaptfo  47242  rrx2pnecoorneor  47303  rrx2linest  47330