MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latabs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latabs1 18191
Description: Lattice absorption law. From definition of lattice in [Kalmbach] p. 14. (chabs1 29875 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latabs1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latabs1.j = (join‘𝐾)
latabs1.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latabs1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)

Proof of Theorem latabs1
StepHypRef Expression
1 latabs1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2738 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 latabs1.m . . 3 = (meet‘𝐾)
41, 2, 3latmle1 18180 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
51, 3latmcl 18156 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
6 latabs1.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
71, 2, 6latleeqj2 18168 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋))
873com23 1125 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋))
95, 8syld3an3 1408 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋))
104, 9mpbid 231 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5076  cfv 6435  (class class class)co 7277  Basecbs 16910  lecple 16967  joincjn 18027  meetcmee 18028  Latclat 18147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-proset 18011  df-poset 18029  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-lat 18148
This theorem is referenced by:  latdisdlem  18212  cvrexchlem  37430
  Copyright terms: Public domain W3C validator