Theorem latabs1 18661

Description: Lattice absorption law. From definition of lattice in [Kalmbach] p. 14. (chabs1 32130 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latabs1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latabs1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latabs1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latabs1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)

Proof of Theorem latabs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latabs1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		latabs1.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latmle1 18650	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
5	1, 3	latmcl 18626	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
6		latabs1.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	1, 2, 6	latleeqj2 18638	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋))
8	7	3com23 1144	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋))
9	5, 8	syld3an3 1436	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋))
10	4, 9	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Basecbs 17399  lecple 17447  joincjn 18497  meetcmee 18498  Latclat 18617

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-proset 18480  df-poset 18499  df-lub 18530  df-glb 18531  df-join 18532  df-meet 18533  df-lat 18618

This theorem is used by:  latdisdlem  18682  cvrexchlem  40616