MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latabs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latabs1 18541
Description: Lattice absorption law. From definition of lattice in [Kalmbach] p. 14. (chabs1 31883 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latabs1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latabs1.j = (join‘𝐾)
latabs1.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latabs1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)

Proof of Theorem latabs1
StepHypRef Expression
1 latabs1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2766 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 latabs1.m . . 3 = (meet‘𝐾)
41, 2, 3latmle1 18530 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
51, 3latmcl 18506 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
6 latabs1.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
71, 2, 6latleeqj2 18518 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋))
873com23 1144 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋))
95, 8syld3an3 1436 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋))
104, 9mpbid 235 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)
Colors of variables:    wff setvar class
This proof depends on syntax axioms:  wi 4  wb 209  w3a 1103   = wceq 1570  wcel 2146   class class class wbr 5112  cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17279  lecple 17327  joincjn 18377  meetcmee 18378  Latclat 18497
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738
This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-id 5559  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18360  df-poset 18379  df-lub 18410  df-glb 18411  df-join 18412  df-meet 18413  df-lat 18498
This theorem is used by:  latdisdlem  18562  cvrexchlem  40225
  Copyright terms: Public domain W3C validator