Theorem latabs1 18108

Description: Lattice absorption law. From definition of lattice in [Kalmbach] p. 14. (chabs1 29779 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latabs1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latabs1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latabs1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latabs1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)

Proof of Theorem latabs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latabs1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		latabs1.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latmle1 18097	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
5	1, 3	latmcl 18073	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
6		latabs1.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	1, 2, 6	latleeqj2 18085	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋))
8	7	3com23 1124	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋))
9	5, 8	syld3an3 1407	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋))
10	4, 9	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  lecple 16895  joincjn 17944  meetcmee 17945  Latclat 18064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-proset 17928  df-poset 17946  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-lat 18065

This theorem is referenced by:  latdisdlem  18129  cvrexchlem  37360