Theorem latabs1 18699

Description: Lattice absorption law. From definition of lattice in [Kalmbach] p. 14. (chabs1 32175 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latabs1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latabs1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latabs1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latabs1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)

Proof of Theorem latabs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latabs1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		latabs1.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latmle1 18688	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
5	1, 3	latmcl 18664	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
6		latabs1.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	1, 2, 6	latleeqj2 18676	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋))
8	7	3com23 1144	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋))
9	5, 8	syld3an3 1437	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋))
10	4, 9	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  lecple 17479  joincjn 18535  meetcmee 18536  Latclat 18655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-proset 18518  df-poset 18537  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-lat 18656

This theorem is used by:  latdisdlem  18720  cvrexchlem  40742