MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latleeqj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latleeqj2 18498
Description: "Less than or equal to" in terms of join. (chlejb2 31533 analog.) (Contributed by NM, 14-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l = (le‘𝐾)
latlej.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latleeqj2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑌 𝑋) = 𝑌))

Proof of Theorem latleeqj2
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latlej.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 latlej.j . . 3 = (join‘𝐾)
41, 2, 3latleeqj1 18497 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑌))
51, 3latjcom 18493 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
65eqeq1d 2738 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) = 𝑌 ↔ (𝑌 𝑋) = 𝑌))
74, 6bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑌 𝑋) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  lecple 17305  joincjn 18358  Latclat 18477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-proset 18341  df-poset 18360  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-lat 18478
This theorem is referenced by:  latabs1  18521  cvrat4  39446  islpln2a  39551  2atmat  39564  lvolnle3at  39585  islvol2aN  39595  dalem39  39714  cdleme11  40273  cdleme30a  40381
  Copyright terms: Public domain W3C validator