Theorem latleeqj2 17379

Description: "Less than or equal to" in terms of join. (chlejb2 28897 analog.) (Contributed by NM, 14-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latleeqj2	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑌 ∨ 𝑋) = 𝑌))

Proof of Theorem latleeqj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4	1, 2, 3	latleeqj1 17378	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) = 𝑌))
5	1, 3	latjcom 17374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
6	5	eqeq1d 2801	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) = 𝑌 ↔ (𝑌 ∨ 𝑋) = 𝑌))
7	4, 6	bitrd 271	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑌 ∨ 𝑋) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  lecple 16274  joincjn 17259  Latclat 17360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-proset 17243  df-poset 17261  df-lub 17289  df-glb 17290  df-join 17291  df-meet 17292  df-lat 17361

This theorem is referenced by:  latabs1  17402  cvrat4  35464  islpln2a  35569  2atmat  35582  lvolnle3at  35603  islvol2aN  35613  dalem39  35732  cdleme11  36291  cdleme30a  36399