MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latdisdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latdisdlem 18451
Description: Lemma for latdisd 18452. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
latdisd.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latdisd.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
latdisd.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latdisdlem (𝐾 ∈ Lat β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ (π‘₯ ∧ 𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐾   𝑒,𝐡,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒, ∨ ,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒, ∧ ,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧

Proof of Theorem latdisdlem
StepHypRef Expression
1 latdisd.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latdisd.m . . . . . . . . 9 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
31, 2latmcl 18395 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∧ 𝑦) ∈ 𝐡)
433adant3r3 1184 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∧ 𝑦) ∈ 𝐡)
5 simpr1 1194 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
6 simpr3 1196 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
7 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (π‘₯ ∧ 𝑦) β†’ (𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)))
8 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (π‘₯ ∧ 𝑦) β†’ (𝑒 ∨ 𝑣) = ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑣))
9 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (π‘₯ ∧ 𝑦) β†’ (𝑒 ∨ 𝑀) = ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑀))
108, 9oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (π‘₯ ∧ 𝑦) β†’ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀)) = (((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑀)))
117, 10eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 (𝑒 = (π‘₯ ∧ 𝑦) β†’ ((𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀)) ↔ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = (((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑀))))
12 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = π‘₯ β†’ (𝑣 ∧ 𝑀) = (π‘₯ ∧ 𝑀))
1312oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑣 = π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ (π‘₯ ∧ 𝑀)))
14 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = π‘₯ β†’ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) = ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ π‘₯))
1514oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (𝑣 = π‘₯ β†’ (((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑀)) = (((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ π‘₯) ∧ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑀)))
1613, 15eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 (𝑣 = π‘₯ β†’ (((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = (((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑀)) ↔ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ (π‘₯ ∧ 𝑀)) = (((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ π‘₯) ∧ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑀))))
17 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑧 β†’ (π‘₯ ∧ 𝑀) = (π‘₯ ∧ 𝑧))
1817oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ (π‘₯ ∧ 𝑀)) = ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ (π‘₯ ∧ 𝑧)))
19 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑀) = ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))
2019oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑧 β†’ (((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ π‘₯) ∧ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑀)) = (((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ π‘₯) ∧ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)))
2118, 20eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑧 β†’ (((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ (π‘₯ ∧ 𝑀)) = (((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ π‘₯) ∧ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑀)) ↔ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ (π‘₯ ∧ 𝑧)) = (((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ π‘₯) ∧ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))))
2211, 16, 21rspc3v 3627 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∧ 𝑦) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀)) β†’ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ (π‘₯ ∧ 𝑧)) = (((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ π‘₯) ∧ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))))
234, 5, 6, 22syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀)) β†’ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ (π‘₯ ∧ 𝑧)) = (((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ π‘₯) ∧ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))))
2423imp 407 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀))) β†’ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ (π‘₯ ∧ 𝑧)) = (((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ π‘₯) ∧ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)))
25 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
26 latdisd.j . . . . . . . . . 10 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
271, 26latjcom 18402 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∧ 𝑦) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ π‘₯) = (π‘₯ ∨ (π‘₯ ∧ 𝑦)))
2825, 4, 5, 27syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ π‘₯) = (π‘₯ ∨ (π‘₯ ∧ 𝑦)))
291, 26, 2latabs1 18430 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∨ (π‘₯ ∧ 𝑦)) = π‘₯)
30293adant3r3 1184 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∨ (π‘₯ ∧ 𝑦)) = π‘₯)
3128, 30eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ π‘₯) = π‘₯)
321, 26latjcom 18402 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∧ 𝑦) ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑧) = (𝑧 ∨ (π‘₯ ∧ 𝑦)))
3325, 4, 6, 32syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑧) = (𝑧 ∨ (π‘₯ ∧ 𝑦)))
3431, 33oveq12d 7429 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ π‘₯) ∧ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)) = (π‘₯ ∧ (𝑧 ∨ (π‘₯ ∧ 𝑦))))
3534adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀))) β†’ (((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ π‘₯) ∧ ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)) = (π‘₯ ∧ (𝑧 ∨ (π‘₯ ∧ 𝑦))))
36 simpr2 1195 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
37 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑧 β†’ (𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = (𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)))
38 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑧 β†’ (𝑒 ∨ 𝑣) = (𝑧 ∨ 𝑣))
39 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑧 β†’ (𝑒 ∨ 𝑀) = (𝑧 ∨ 𝑀))
4038, 39oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑧 β†’ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀)) = ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑀)))
4137, 40eqeq12d 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑧 β†’ ((𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀)) ↔ (𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑀))))
4212oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = π‘₯ β†’ (𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = (𝑧 ∨ (π‘₯ ∧ 𝑀)))
43 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = π‘₯ β†’ (𝑧 ∨ 𝑣) = (𝑧 ∨ π‘₯))
4443oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = π‘₯ β†’ ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑀)) = ((𝑧 ∨ π‘₯) ∧ (𝑧 ∨ 𝑀)))
4542, 44eqeq12d 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = π‘₯ β†’ ((𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑀)) ↔ (𝑧 ∨ (π‘₯ ∧ 𝑀)) = ((𝑧 ∨ π‘₯) ∧ (𝑧 ∨ 𝑀))))
46 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∧ 𝑀) = (π‘₯ ∧ 𝑦))
4746oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝑧 ∨ (π‘₯ ∧ 𝑀)) = (𝑧 ∨ (π‘₯ ∧ 𝑦)))
48 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝑧 ∨ 𝑀) = (𝑧 ∨ 𝑦))
4948oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝑧 ∨ π‘₯) ∧ (𝑧 ∨ 𝑀)) = ((𝑧 ∨ π‘₯) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)))
5047, 49eqeq12d 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝑧 ∨ (π‘₯ ∧ 𝑀)) = ((𝑧 ∨ π‘₯) ∧ (𝑧 ∨ 𝑀)) ↔ (𝑧 ∨ (π‘₯ ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ π‘₯) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
5141, 45, 50rspc3v 3627 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀)) β†’ (𝑧 ∨ (π‘₯ ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ π‘₯) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
526, 5, 36, 51syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀)) β†’ (𝑧 ∨ (π‘₯ ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ π‘₯) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
5352imp 407 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀))) β†’ (𝑧 ∨ (π‘₯ ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ π‘₯) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)))
5453oveq2d 7427 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∧ (𝑧 ∨ (π‘₯ ∧ 𝑦))) = (π‘₯ ∧ ((𝑧 ∨ π‘₯) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
551, 26latjcl 18394 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 ∨ π‘₯) ∈ 𝐡)
5625, 6, 5, 55syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∨ π‘₯) ∈ 𝐡)
571, 26latjcl 18394 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 ∨ 𝑦) ∈ 𝐡)
5825, 6, 36, 57syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∨ 𝑦) ∈ 𝐡)
591, 2latmass 18450 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ (𝑧 ∨ π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ (𝑧 ∨ 𝑦) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∧ (𝑧 ∨ π‘₯)) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)) = (π‘₯ ∧ ((𝑧 ∨ π‘₯) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
6025, 5, 56, 58, 59syl13anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∧ (𝑧 ∨ π‘₯)) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)) = (π‘₯ ∧ ((𝑧 ∨ π‘₯) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
611, 26latjcom 18402 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 ∨ π‘₯) = (π‘₯ ∨ 𝑧))
6225, 6, 5, 61syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∨ π‘₯) = (π‘₯ ∨ 𝑧))
6362oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∧ (𝑧 ∨ π‘₯)) = (π‘₯ ∧ (π‘₯ ∨ 𝑧)))
641, 26, 2latabs2 18431 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∧ (π‘₯ ∨ 𝑧)) = π‘₯)
6525, 5, 6, 64syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∧ (π‘₯ ∨ 𝑧)) = π‘₯)
6663, 65eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∧ (𝑧 ∨ π‘₯)) = π‘₯)
671, 26latjcom 18402 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 ∨ 𝑦) = (𝑦 ∨ 𝑧))
6825, 6, 36, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∨ 𝑦) = (𝑦 ∨ 𝑧))
6966, 68oveq12d 7429 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯ ∧ (𝑧 ∨ π‘₯)) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)) = (π‘₯ ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
7060, 69eqtr3d 2774 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∧ ((𝑧 ∨ π‘₯) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))) = (π‘₯ ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
7170adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∧ ((𝑧 ∨ π‘₯) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))) = (π‘₯ ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
7254, 71eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∧ (𝑧 ∨ (π‘₯ ∧ 𝑦))) = (π‘₯ ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
7324, 35, 723eqtrrd 2777 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ (π‘₯ ∧ 𝑧)))
7473an32s 650 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ (π‘₯ ∧ 𝑧)))
7574ralrimivvva 3203 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ (π‘₯ ∧ 𝑧)))
7675ex 413 1 (𝐾 ∈ Lat β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐡 βˆ€π‘€ ∈ 𝐡 (𝑒 ∨ (𝑣 ∧ 𝑀)) = ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ (𝑒 ∨ 𝑀)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((π‘₯ ∧ 𝑦) ∨ (π‘₯ ∧ 𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  joincjn 18266  meetcmee 18267  Latclat 18386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-dec 12680  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ple 17219  df-odu 18242  df-proset 18250  df-poset 18268  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-lat 18387
This theorem is referenced by:  latdisd  18452
  Copyright terms: Public domain W3C validator