Theorem latdisdlem 17628

Description: Lemma for latdisd 17629. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
latdisd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latdisd.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latdisd.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latdisdlem	⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ∨ ,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ∧ ,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem latdisdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latdisd.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latdisd.m	. . . . . . . . 9 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3	1, 2	latmcl 17491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵)
4	3	3adant3r3 1177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵)
5		simpr1 1187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
6		simpr3 1189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
7		oveq1 7023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)))
8		oveq1 7023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → (𝑢 ∨ 𝑣) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣))
9		oveq1 7023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → (𝑢 ∨ 𝑤) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤))
10	8, 9	oveq12d 7034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)))
11	7, 10	eqeq12d 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → ((𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) ↔ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤))))
12		oveq1 7023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑤))
13	12	oveq2d 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
14		oveq2 7024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥))
15	14	oveq1d 7031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)))
16	13, 15	eqeq12d 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) ↔ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤))))
17		oveq2 7024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑧))
18	17	oveq2d 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
19		oveq2 7024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))
20	19	oveq2d 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)))
21	18, 20	eqeq12d 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) ↔ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))))
22	11, 16, 21	rspc3v 3575	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))))
23	4, 5, 6, 22	syl3anc 1364	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))))
24	23	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)))
25		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
26		latdisd.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
27	1, 26	latjcom 17498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
28	25, 4, 5, 27	syl3anc 1364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
29	1, 26, 2	latabs1 17526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = 𝑥)
30	29	3adant3r3 1177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = 𝑥)
31	28, 30	eqtrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) = 𝑥)
32	1, 26	latjcom 17498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
33	25, 4, 6, 32	syl3anc 1364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
34	31, 33	oveq12d 7034	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)) = (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))))
35	34	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)) = (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))))
36		simpr2 1188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
37		oveq1 7023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)))
38		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ∨ 𝑣) = (𝑧 ∨ 𝑣))
39		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ∨ 𝑤) = (𝑧 ∨ 𝑤))
40	38, 39	oveq12d 7034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)))
41	37, 40	eqeq12d 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤))))
42	12	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
43		oveq2 7024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑧 ∨ 𝑣) = (𝑧 ∨ 𝑥))
44	43	oveq1d 7031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)))
45	42, 44	eqeq12d 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤))))
46		oveq2 7024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑦))
47	46	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
48		oveq2 7024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 ∨ 𝑤) = (𝑧 ∨ 𝑦))
49	48	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)))
50	47, 49	eqeq12d 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
51	41, 45, 50	rspc3v 3575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
52	6, 5, 36, 51	syl3anc 1364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
53	52	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)))
54	53	oveq2d 7032	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))) = (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
55	1, 26	latjcl 17490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑥) ∈ 𝐵)
56	25, 6, 5, 55	syl3anc 1364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑥) ∈ 𝐵)
57	1, 26	latjcl 17490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑦) ∈ 𝐵)
58	25, 6, 36, 57	syl3anc 1364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑦) ∈ 𝐵)
59	1, 2	latmass 17627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∨ 𝑦) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)) = (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
60	25, 5, 56, 58, 59	syl13anc 1365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)) = (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
61	1, 26	latjcom 17498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ 𝑧))
62	25, 6, 5, 61	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ 𝑧))
63	62	oveq2d 7032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) = (𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)))
64	1, 26, 2	latabs2 17527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) = 𝑥)
65	25, 5, 6, 64	syl3anc 1364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) = 𝑥)
66	63, 65	eqtrd 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) = 𝑥)
67	1, 26	latjcom 17498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑦) = (𝑦 ∨ 𝑧))
68	25, 6, 36, 67	syl3anc 1364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑦) = (𝑦 ∨ 𝑧))
69	66, 68	oveq12d 7034	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
70	60, 69	eqtr3d 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
71	70	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
72	54, 71	eqtrd 2831	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
73	24, 35, 72	3eqtrrd 2836	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
74	73	an32s 648	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
75	74	ralrimivvva 3159	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
76	75	ex 413	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  joincjn 17383  meetcmee 17384  Latclat 17484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-dec 11948  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ple 16414  df-proset 17367  df-poset 17385  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-lat 17485  df-odu 17568

This theorem is referenced by:  latdisd  17629