MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latdisdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latdisdlem 17455
Description: Lemma for latdisd 17456. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
latdisd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latdisd.j = (join‘𝐾)
latdisd.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latdisdlem (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem latdisdlem
StepHypRef Expression
1 latdisd.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latdisd.m . . . . . . . . 9 = (meet‘𝐾)
31, 2latmcl 17318 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵)
433adant3r3 1235 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵)
5 simpr1 1248 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑥𝐵)
6 simpr3 1252 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
7 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑣 𝑤)))
8 oveq1 6849 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → (𝑢 𝑣) = ((𝑥 𝑦) 𝑣))
9 oveq1 6849 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → (𝑢 𝑤) = ((𝑥 𝑦) 𝑤))
108, 9oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑣) ((𝑥 𝑦) 𝑤)))
117, 10eqeq12d 2780 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → ((𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑣 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑣) ((𝑥 𝑦) 𝑤))))
12 oveq1 6849 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 𝑤) = (𝑥 𝑤))
1312oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 𝑦) (𝑣 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)))
14 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 𝑦) 𝑣) = ((𝑥 𝑦) 𝑥))
1514oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑥 → (((𝑥 𝑦) 𝑣) ((𝑥 𝑦) 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑤)))
1613, 15eqeq12d 2780 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑥 → (((𝑥 𝑦) (𝑣 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑣) ((𝑥 𝑦) 𝑤)) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑤))))
17 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 𝑤) = (𝑥 𝑧))
1817oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
19 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 𝑦) 𝑤) = ((𝑥 𝑦) 𝑧))
2019oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧)))
2118, 20eqeq12d 2780 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑤)) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧))))
2211, 16, 21rspc3v 3477 . . . . . . 7 (((𝑥 𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐵𝑧𝐵) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧))))
234, 5, 6, 22syl3anc 1490 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧))))
2423imp 395 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧)))
25 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
26 latdisd.j . . . . . . . . . 10 = (join‘𝐾)
271, 26latjcom 17325 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑥 𝑦) 𝑥) = (𝑥 (𝑥 𝑦)))
2825, 4, 5, 27syl3anc 1490 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 𝑦) 𝑥) = (𝑥 (𝑥 𝑦)))
291, 26, 2latabs1 17353 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 (𝑥 𝑦)) = 𝑥)
30293adant3r3 1235 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑥 𝑦)) = 𝑥)
3128, 30eqtrd 2799 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 𝑦) 𝑥) = 𝑥)
321, 26latjcom 17325 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵𝑧𝐵) → ((𝑥 𝑦) 𝑧) = (𝑧 (𝑥 𝑦)))
3325, 4, 6, 32syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 𝑦) 𝑧) = (𝑧 (𝑥 𝑦)))
3431, 33oveq12d 6860 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧)) = (𝑥 (𝑧 (𝑥 𝑦))))
3534adantr 472 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧)) = (𝑥 (𝑧 (𝑥 𝑦))))
36 simpr2 1250 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
37 oveq1 6849 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 (𝑣 𝑤)) = (𝑧 (𝑣 𝑤)))
38 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 𝑣) = (𝑧 𝑣))
39 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 𝑤) = (𝑧 𝑤))
4038, 39oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) = ((𝑧 𝑣) (𝑧 𝑤)))
4137, 40eqeq12d 2780 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) ↔ (𝑧 (𝑣 𝑤)) = ((𝑧 𝑣) (𝑧 𝑤))))
4212oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑥 → (𝑧 (𝑣 𝑤)) = (𝑧 (𝑥 𝑤)))
43 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑥 → (𝑧 𝑣) = (𝑧 𝑥))
4443oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑧 𝑣) (𝑧 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑤)))
4542, 44eqeq12d 2780 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑧 (𝑣 𝑤)) = ((𝑧 𝑣) (𝑧 𝑤)) ↔ (𝑧 (𝑥 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑤))))
46 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 𝑤) = (𝑥 𝑦))
4746oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 (𝑥 𝑤)) = (𝑧 (𝑥 𝑦)))
48 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 𝑤) = (𝑧 𝑦))
4948oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦)))
5047, 49eqeq12d 2780 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑧 (𝑥 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑤)) ↔ (𝑧 (𝑥 𝑦)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
5141, 45, 50rspc3v 3477 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐵𝑥𝐵𝑦𝐵) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → (𝑧 (𝑥 𝑦)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
526, 5, 36, 51syl3anc 1490 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → (𝑧 (𝑥 𝑦)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
5352imp 395 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑧 (𝑥 𝑦)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦)))
5453oveq2d 6858 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑥 (𝑧 (𝑥 𝑦))) = (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
551, 26latjcl 17317 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑥𝐵) → (𝑧 𝑥) ∈ 𝐵)
5625, 6, 5, 55syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧 𝑥) ∈ 𝐵)
571, 26latjcl 17317 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑦𝐵) → (𝑧 𝑦) ∈ 𝐵)
5825, 6, 36, 57syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧 𝑦) ∈ 𝐵)
591, 2latmass 17454 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵 ∧ (𝑧 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 𝑦) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 (𝑧 𝑥)) (𝑧 𝑦)) = (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
6025, 5, 56, 58, 59syl13anc 1491 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 (𝑧 𝑥)) (𝑧 𝑦)) = (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
611, 26latjcom 17325 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑥𝐵) → (𝑧 𝑥) = (𝑥 𝑧))
6225, 6, 5, 61syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧 𝑥) = (𝑥 𝑧))
6362oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑧 𝑥)) = (𝑥 (𝑥 𝑧)))
641, 26, 2latabs2 17354 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵𝑧𝐵) → (𝑥 (𝑥 𝑧)) = 𝑥)
6525, 5, 6, 64syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑥 𝑧)) = 𝑥)
6663, 65eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑧 𝑥)) = 𝑥)
671, 26latjcom 17325 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑦𝐵) → (𝑧 𝑦) = (𝑦 𝑧))
6825, 6, 36, 67syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧 𝑦) = (𝑦 𝑧))
6966, 68oveq12d 6860 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 (𝑧 𝑥)) (𝑧 𝑦)) = (𝑥 (𝑦 𝑧)))
7060, 69eqtr3d 2801 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))) = (𝑥 (𝑦 𝑧)))
7170adantr 472 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))) = (𝑥 (𝑦 𝑧)))
7254, 71eqtrd 2799 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑥 (𝑧 (𝑥 𝑦))) = (𝑥 (𝑦 𝑧)))
7324, 35, 723eqtrrd 2804 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
7473an32s 642 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
7574ralrimivvva 3119 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
7675ex 401 1 (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16130  joincjn 17210  meetcmee 17211  Latclat 17311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-dec 11741  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ple 16234  df-proset 17194  df-poset 17212  df-lub 17240  df-glb 17241  df-join 17242  df-meet 17243  df-lat 17312  df-odu 17395
This theorem is referenced by:  latdisd  17456
  Copyright terms: Public domain W3C validator