Theorem latdisdlem 18417

Description: Lemma for latdisd 18418. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
latdisd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latdisd.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latdisd.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latdisdlem	⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ∨ ,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ∧ ,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem latdisdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latdisd.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latdisd.m	. . . . . . . . 9 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3	1, 2	latmcl 18361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵)
4	3	3adant3r3 1185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵)
5		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
6		simpr3 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
7		oveq1 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)))
8		oveq1 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → (𝑢 ∨ 𝑣) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣))
9		oveq1 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → (𝑢 ∨ 𝑤) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤))
10	8, 9	oveq12d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)))
11	7, 10	eqeq12d 2750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → ((𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) ↔ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤))))
12		oveq1 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑤))
13	12	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
14		oveq2 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥))
15	14	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)))
16	13, 15	eqeq12d 2750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) ↔ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤))))
17		oveq2 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑧))
18	17	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
19		oveq2 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))
20	19	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)))
21	18, 20	eqeq12d 2750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) ↔ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))))
22	11, 16, 21	rspc3v 3590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))))
23	4, 5, 6, 22	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))))
24	23	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)))
25		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
26		latdisd.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
27	1, 26	latjcom 18368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
28	25, 4, 5, 27	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
29	1, 26, 2	latabs1 18396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = 𝑥)
30	29	3adant3r3 1185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = 𝑥)
31	28, 30	eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) = 𝑥)
32	1, 26	latjcom 18368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
33	25, 4, 6, 32	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
34	31, 33	oveq12d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)) = (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))))
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)) = (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))))
36		simpr2 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
37		oveq1 7363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)))
38		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ∨ 𝑣) = (𝑧 ∨ 𝑣))
39		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ∨ 𝑤) = (𝑧 ∨ 𝑤))
40	38, 39	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)))
41	37, 40	eqeq12d 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤))))
42	12	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
43		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑧 ∨ 𝑣) = (𝑧 ∨ 𝑥))
44	43	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)))
45	42, 44	eqeq12d 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤))))
46		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑦))
47	46	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
48		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 ∨ 𝑤) = (𝑧 ∨ 𝑦))
49	48	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)))
50	47, 49	eqeq12d 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
51	41, 45, 50	rspc3v 3590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
52	6, 5, 36, 51	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
53	52	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)))
54	53	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))) = (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
55	1, 26	latjcl 18360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑥) ∈ 𝐵)
56	25, 6, 5, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑥) ∈ 𝐵)
57	1, 26	latjcl 18360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑦) ∈ 𝐵)
58	25, 6, 36, 57	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑦) ∈ 𝐵)
59	1, 2	latmass 18416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∨ 𝑦) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)) = (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
60	25, 5, 56, 58, 59	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)) = (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
61	1, 26	latjcom 18368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ 𝑧))
62	25, 6, 5, 61	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ 𝑧))
63	62	oveq2d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) = (𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)))
64	1, 26, 2	latabs2 18397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) = 𝑥)
65	25, 5, 6, 64	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) = 𝑥)
66	63, 65	eqtrd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) = 𝑥)
67	1, 26	latjcom 18368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑦) = (𝑦 ∨ 𝑧))
68	25, 6, 36, 67	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑦) = (𝑦 ∨ 𝑧))
69	66, 68	oveq12d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
70	60, 69	eqtr3d 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
71	70	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
72	54, 71	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
73	24, 35, 72	3eqtrrd 2774	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
74	73	an32s 652	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
75	74	ralrimivvva 3180	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
76	75	ex 412	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  joincjn 18232  meetcmee 18233  Latclat 18352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-dec 12606  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ple 17195  df-odu 18208  df-proset 18215  df-poset 18234  df-lub 18265  df-glb 18266  df-join 18267  df-meet 18268  df-lat 18353

This theorem is referenced by:  latdisd  18418