MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latdisdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latdisdlem 18385
Description: Lemma for latdisd 18386. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
latdisd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latdisd.j = (join‘𝐾)
latdisd.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latdisdlem (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem latdisdlem
StepHypRef Expression
1 latdisd.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latdisd.m . . . . . . . . 9 = (meet‘𝐾)
31, 2latmcl 18329 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵)
433adant3r3 1184 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵)
5 simpr1 1194 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑥𝐵)
6 simpr3 1196 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
7 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑣 𝑤)))
8 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → (𝑢 𝑣) = ((𝑥 𝑦) 𝑣))
9 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → (𝑢 𝑤) = ((𝑥 𝑦) 𝑤))
108, 9oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑣) ((𝑥 𝑦) 𝑤)))
117, 10eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → ((𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑣 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑣) ((𝑥 𝑦) 𝑤))))
12 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 𝑤) = (𝑥 𝑤))
1312oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 𝑦) (𝑣 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)))
14 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 𝑦) 𝑣) = ((𝑥 𝑦) 𝑥))
1514oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑥 → (((𝑥 𝑦) 𝑣) ((𝑥 𝑦) 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑤)))
1613, 15eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑥 → (((𝑥 𝑦) (𝑣 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑣) ((𝑥 𝑦) 𝑤)) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑤))))
17 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 𝑤) = (𝑥 𝑧))
1817oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
19 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 𝑦) 𝑤) = ((𝑥 𝑦) 𝑧))
2019oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧)))
2118, 20eqeq12d 2752 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑤)) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧))))
2211, 16, 21rspc3v 3593 . . . . . . 7 (((𝑥 𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐵𝑧𝐵) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧))))
234, 5, 6, 22syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧))))
2423imp 407 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧)))
25 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
26 latdisd.j . . . . . . . . . 10 = (join‘𝐾)
271, 26latjcom 18336 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑥 𝑦) 𝑥) = (𝑥 (𝑥 𝑦)))
2825, 4, 5, 27syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 𝑦) 𝑥) = (𝑥 (𝑥 𝑦)))
291, 26, 2latabs1 18364 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 (𝑥 𝑦)) = 𝑥)
30293adant3r3 1184 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑥 𝑦)) = 𝑥)
3128, 30eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 𝑦) 𝑥) = 𝑥)
321, 26latjcom 18336 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵𝑧𝐵) → ((𝑥 𝑦) 𝑧) = (𝑧 (𝑥 𝑦)))
3325, 4, 6, 32syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 𝑦) 𝑧) = (𝑧 (𝑥 𝑦)))
3431, 33oveq12d 7375 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧)) = (𝑥 (𝑧 (𝑥 𝑦))))
3534adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧)) = (𝑥 (𝑧 (𝑥 𝑦))))
36 simpr2 1195 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
37 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 (𝑣 𝑤)) = (𝑧 (𝑣 𝑤)))
38 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 𝑣) = (𝑧 𝑣))
39 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 𝑤) = (𝑧 𝑤))
4038, 39oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) = ((𝑧 𝑣) (𝑧 𝑤)))
4137, 40eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) ↔ (𝑧 (𝑣 𝑤)) = ((𝑧 𝑣) (𝑧 𝑤))))
4212oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑥 → (𝑧 (𝑣 𝑤)) = (𝑧 (𝑥 𝑤)))
43 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑥 → (𝑧 𝑣) = (𝑧 𝑥))
4443oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑧 𝑣) (𝑧 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑤)))
4542, 44eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑧 (𝑣 𝑤)) = ((𝑧 𝑣) (𝑧 𝑤)) ↔ (𝑧 (𝑥 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑤))))
46 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 𝑤) = (𝑥 𝑦))
4746oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 (𝑥 𝑤)) = (𝑧 (𝑥 𝑦)))
48 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 𝑤) = (𝑧 𝑦))
4948oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦)))
5047, 49eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑧 (𝑥 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑤)) ↔ (𝑧 (𝑥 𝑦)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
5141, 45, 50rspc3v 3593 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐵𝑥𝐵𝑦𝐵) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → (𝑧 (𝑥 𝑦)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
526, 5, 36, 51syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → (𝑧 (𝑥 𝑦)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
5352imp 407 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑧 (𝑥 𝑦)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦)))
5453oveq2d 7373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑥 (𝑧 (𝑥 𝑦))) = (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
551, 26latjcl 18328 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑥𝐵) → (𝑧 𝑥) ∈ 𝐵)
5625, 6, 5, 55syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧 𝑥) ∈ 𝐵)
571, 26latjcl 18328 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑦𝐵) → (𝑧 𝑦) ∈ 𝐵)
5825, 6, 36, 57syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧 𝑦) ∈ 𝐵)
591, 2latmass 18384 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵 ∧ (𝑧 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 𝑦) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 (𝑧 𝑥)) (𝑧 𝑦)) = (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
6025, 5, 56, 58, 59syl13anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 (𝑧 𝑥)) (𝑧 𝑦)) = (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
611, 26latjcom 18336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑥𝐵) → (𝑧 𝑥) = (𝑥 𝑧))
6225, 6, 5, 61syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧 𝑥) = (𝑥 𝑧))
6362oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑧 𝑥)) = (𝑥 (𝑥 𝑧)))
641, 26, 2latabs2 18365 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵𝑧𝐵) → (𝑥 (𝑥 𝑧)) = 𝑥)
6525, 5, 6, 64syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑥 𝑧)) = 𝑥)
6663, 65eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑧 𝑥)) = 𝑥)
671, 26latjcom 18336 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑦𝐵) → (𝑧 𝑦) = (𝑦 𝑧))
6825, 6, 36, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧 𝑦) = (𝑦 𝑧))
6966, 68oveq12d 7375 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 (𝑧 𝑥)) (𝑧 𝑦)) = (𝑥 (𝑦 𝑧)))
7060, 69eqtr3d 2778 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))) = (𝑥 (𝑦 𝑧)))
7170adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))) = (𝑥 (𝑦 𝑧)))
7254, 71eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑥 (𝑧 (𝑥 𝑦))) = (𝑥 (𝑦 𝑧)))
7324, 35, 723eqtrrd 2781 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
7473an32s 650 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
7574ralrimivvva 3200 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
7675ex 413 1 (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  joincjn 18200  meetcmee 18201  Latclat 18320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-dec 12619  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ple 17153  df-odu 18176  df-proset 18184  df-poset 18202  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-lat 18321
This theorem is referenced by:  latdisd  18386
  Copyright terms: Public domain W3C validator