Theorem latdisdlem 18566

Description: Lemma for latdisd 18567. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
latdisd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latdisd.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latdisd.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latdisdlem	⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ∨ ,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ∧ ,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem latdisdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latdisd.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latdisd.m	. . . . . . . . 9 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3	1, 2	latmcl 18510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵)
4	3	3adant3r3 1184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵)
5		simpr1 1194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
6		simpr3 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
7		oveq1 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)))
8		oveq1 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → (𝑢 ∨ 𝑣) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣))
9		oveq1 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → (𝑢 ∨ 𝑤) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤))
10	8, 9	oveq12d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)))
11	7, 10	eqeq12d 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → ((𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) ↔ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤))))
12		oveq1 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑤))
13	12	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
14		oveq2 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥))
15	14	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)))
16	13, 15	eqeq12d 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) ↔ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤))))
17		oveq2 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑧))
18	17	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
19		oveq2 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))
20	19	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)))
21	18, 20	eqeq12d 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) ↔ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))))
22	11, 16, 21	rspc3v 3651	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))))
23	4, 5, 6, 22	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))))
24	23	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)))
25		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
26		latdisd.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
27	1, 26	latjcom 18517	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
28	25, 4, 5, 27	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
29	1, 26, 2	latabs1 18545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = 𝑥)
30	29	3adant3r3 1184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = 𝑥)
31	28, 30	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) = 𝑥)
32	1, 26	latjcom 18517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
33	25, 4, 6, 32	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
34	31, 33	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)) = (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))))
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)) = (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))))
36		simpr2 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
37		oveq1 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)))
38		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ∨ 𝑣) = (𝑧 ∨ 𝑣))
39		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ∨ 𝑤) = (𝑧 ∨ 𝑤))
40	38, 39	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)))
41	37, 40	eqeq12d 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤))))
42	12	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
43		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑧 ∨ 𝑣) = (𝑧 ∨ 𝑥))
44	43	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)))
45	42, 44	eqeq12d 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤))))
46		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑦))
47	46	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
48		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 ∨ 𝑤) = (𝑧 ∨ 𝑦))
49	48	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)))
50	47, 49	eqeq12d 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
51	41, 45, 50	rspc3v 3651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
52	6, 5, 36, 51	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
53	52	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)))
54	53	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))) = (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
55	1, 26	latjcl 18509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑥) ∈ 𝐵)
56	25, 6, 5, 55	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑥) ∈ 𝐵)
57	1, 26	latjcl 18509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑦) ∈ 𝐵)
58	25, 6, 36, 57	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑦) ∈ 𝐵)
59	1, 2	latmass 18565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∨ 𝑦) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)) = (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
60	25, 5, 56, 58, 59	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)) = (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
61	1, 26	latjcom 18517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ 𝑧))
62	25, 6, 5, 61	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ 𝑧))
63	62	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) = (𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)))
64	1, 26, 2	latabs2 18546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) = 𝑥)
65	25, 5, 6, 64	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) = 𝑥)
66	63, 65	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) = 𝑥)
67	1, 26	latjcom 18517	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑦) = (𝑦 ∨ 𝑧))
68	25, 6, 36, 67	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑦) = (𝑦 ∨ 𝑧))
69	66, 68	oveq12d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
70	60, 69	eqtr3d 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
71	70	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
72	54, 71	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
73	24, 35, 72	3eqtrrd 2785	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
74	73	an32s 651	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
75	74	ralrimivvva 3211	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
76	75	ex 412	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  joincjn 18381  meetcmee 18382  Latclat 18501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-dec 12759  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ple 17331  df-odu 18357  df-proset 18365  df-poset 18383  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-lat 18502

This theorem is referenced by:  latdisd  18567