Theorem latdisdlem 18455

Description: Lemma for latdisd 18456. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
latdisd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latdisd.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latdisd.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latdisdlem	⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ∨ ,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ∧ ,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem latdisdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latdisd.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latdisd.m	. . . . . . . . 9 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3	1, 2	latmcl 18399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵)
4	3	3adant3r3 1185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵)
5		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
6		simpr3 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
7		oveq1 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)))
8		oveq1 7394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → (𝑢 ∨ 𝑣) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣))
9		oveq1 7394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → (𝑢 ∨ 𝑤) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤))
10	8, 9	oveq12d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)))
11	7, 10	eqeq12d 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → ((𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) ↔ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤))))
12		oveq1 7394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑤))
13	12	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
14		oveq2 7395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥))
15	14	oveq1d 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)))
16	13, 15	eqeq12d 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) ↔ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤))))
17		oveq2 7395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑧))
18	17	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
19		oveq2 7395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))
20	19	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)))
21	18, 20	eqeq12d 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) ↔ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))))
22	11, 16, 21	rspc3v 3604	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))))
23	4, 5, 6, 22	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))))
24	23	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)))
25		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
26		latdisd.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
27	1, 26	latjcom 18406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
28	25, 4, 5, 27	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
29	1, 26, 2	latabs1 18434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = 𝑥)
30	29	3adant3r3 1185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = 𝑥)
31	28, 30	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) = 𝑥)
32	1, 26	latjcom 18406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
33	25, 4, 6, 32	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
34	31, 33	oveq12d 7405	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)) = (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))))
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)) = (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))))
36		simpr2 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
37		oveq1 7394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)))
38		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ∨ 𝑣) = (𝑧 ∨ 𝑣))
39		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ∨ 𝑤) = (𝑧 ∨ 𝑤))
40	38, 39	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)))
41	37, 40	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤))))
42	12	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
43		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑧 ∨ 𝑣) = (𝑧 ∨ 𝑥))
44	43	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)))
45	42, 44	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤))))
46		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑦))
47	46	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
48		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 ∨ 𝑤) = (𝑧 ∨ 𝑦))
49	48	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)))
50	47, 49	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
51	41, 45, 50	rspc3v 3604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
52	6, 5, 36, 51	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
53	52	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)))
54	53	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))) = (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
55	1, 26	latjcl 18398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑥) ∈ 𝐵)
56	25, 6, 5, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑥) ∈ 𝐵)
57	1, 26	latjcl 18398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑦) ∈ 𝐵)
58	25, 6, 36, 57	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑦) ∈ 𝐵)
59	1, 2	latmass 18454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∨ 𝑦) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)) = (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
60	25, 5, 56, 58, 59	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)) = (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
61	1, 26	latjcom 18406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ 𝑧))
62	25, 6, 5, 61	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ 𝑧))
63	62	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) = (𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)))
64	1, 26, 2	latabs2 18435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) = 𝑥)
65	25, 5, 6, 64	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) = 𝑥)
66	63, 65	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) = 𝑥)
67	1, 26	latjcom 18406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑦) = (𝑦 ∨ 𝑧))
68	25, 6, 36, 67	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑦) = (𝑦 ∨ 𝑧))
69	66, 68	oveq12d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
70	60, 69	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
71	70	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
72	54, 71	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
73	24, 35, 72	3eqtrrd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
74	73	an32s 652	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
75	74	ralrimivvva 3183	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
76	75	ex 412	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  joincjn 18272  meetcmee 18273  Latclat 18390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-dec 12650  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ple 17240  df-odu 18248  df-proset 18255  df-poset 18274  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-lat 18391

This theorem is referenced by:  latdisd  18456