MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latdisdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latdisdlem 18554
Description: Lemma for latdisd 18555. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
latdisd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latdisd.j = (join‘𝐾)
latdisd.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latdisdlem (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem latdisdlem
StepHypRef Expression
1 latdisd.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latdisd.m . . . . . . . . 9 = (meet‘𝐾)
31, 2latmcl 18498 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵)
433adant3r3 1183 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵)
5 simpr1 1193 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑥𝐵)
6 simpr3 1195 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
7 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑣 𝑤)))
8 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → (𝑢 𝑣) = ((𝑥 𝑦) 𝑣))
9 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → (𝑢 𝑤) = ((𝑥 𝑦) 𝑤))
108, 9oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑣) ((𝑥 𝑦) 𝑤)))
117, 10eqeq12d 2751 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → ((𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑣 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑣) ((𝑥 𝑦) 𝑤))))
12 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 𝑤) = (𝑥 𝑤))
1312oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 𝑦) (𝑣 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)))
14 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 𝑦) 𝑣) = ((𝑥 𝑦) 𝑥))
1514oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑥 → (((𝑥 𝑦) 𝑣) ((𝑥 𝑦) 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑤)))
1613, 15eqeq12d 2751 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑥 → (((𝑥 𝑦) (𝑣 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑣) ((𝑥 𝑦) 𝑤)) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑤))))
17 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 𝑤) = (𝑥 𝑧))
1817oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
19 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 𝑦) 𝑤) = ((𝑥 𝑦) 𝑧))
2019oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧)))
2118, 20eqeq12d 2751 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑤)) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧))))
2211, 16, 21rspc3v 3638 . . . . . . 7 (((𝑥 𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐵𝑧𝐵) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧))))
234, 5, 6, 22syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧))))
2423imp 406 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧)))
25 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
26 latdisd.j . . . . . . . . . 10 = (join‘𝐾)
271, 26latjcom 18505 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑥 𝑦) 𝑥) = (𝑥 (𝑥 𝑦)))
2825, 4, 5, 27syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 𝑦) 𝑥) = (𝑥 (𝑥 𝑦)))
291, 26, 2latabs1 18533 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 (𝑥 𝑦)) = 𝑥)
30293adant3r3 1183 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑥 𝑦)) = 𝑥)
3128, 30eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 𝑦) 𝑥) = 𝑥)
321, 26latjcom 18505 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵𝑧𝐵) → ((𝑥 𝑦) 𝑧) = (𝑧 (𝑥 𝑦)))
3325, 4, 6, 32syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 𝑦) 𝑧) = (𝑧 (𝑥 𝑦)))
3431, 33oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧)) = (𝑥 (𝑧 (𝑥 𝑦))))
3534adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧)) = (𝑥 (𝑧 (𝑥 𝑦))))
36 simpr2 1194 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
37 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 (𝑣 𝑤)) = (𝑧 (𝑣 𝑤)))
38 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 𝑣) = (𝑧 𝑣))
39 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 𝑤) = (𝑧 𝑤))
4038, 39oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) = ((𝑧 𝑣) (𝑧 𝑤)))
4137, 40eqeq12d 2751 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) ↔ (𝑧 (𝑣 𝑤)) = ((𝑧 𝑣) (𝑧 𝑤))))
4212oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑥 → (𝑧 (𝑣 𝑤)) = (𝑧 (𝑥 𝑤)))
43 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑥 → (𝑧 𝑣) = (𝑧 𝑥))
4443oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑧 𝑣) (𝑧 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑤)))
4542, 44eqeq12d 2751 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑧 (𝑣 𝑤)) = ((𝑧 𝑣) (𝑧 𝑤)) ↔ (𝑧 (𝑥 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑤))))
46 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 𝑤) = (𝑥 𝑦))
4746oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 (𝑥 𝑤)) = (𝑧 (𝑥 𝑦)))
48 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 𝑤) = (𝑧 𝑦))
4948oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦)))
5047, 49eqeq12d 2751 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑧 (𝑥 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑤)) ↔ (𝑧 (𝑥 𝑦)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
5141, 45, 50rspc3v 3638 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐵𝑥𝐵𝑦𝐵) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → (𝑧 (𝑥 𝑦)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
526, 5, 36, 51syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → (𝑧 (𝑥 𝑦)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
5352imp 406 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑧 (𝑥 𝑦)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦)))
5453oveq2d 7447 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑥 (𝑧 (𝑥 𝑦))) = (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
551, 26latjcl 18497 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑥𝐵) → (𝑧 𝑥) ∈ 𝐵)
5625, 6, 5, 55syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧 𝑥) ∈ 𝐵)
571, 26latjcl 18497 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑦𝐵) → (𝑧 𝑦) ∈ 𝐵)
5825, 6, 36, 57syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧 𝑦) ∈ 𝐵)
591, 2latmass 18553 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵 ∧ (𝑧 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 𝑦) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 (𝑧 𝑥)) (𝑧 𝑦)) = (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
6025, 5, 56, 58, 59syl13anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 (𝑧 𝑥)) (𝑧 𝑦)) = (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
611, 26latjcom 18505 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑥𝐵) → (𝑧 𝑥) = (𝑥 𝑧))
6225, 6, 5, 61syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧 𝑥) = (𝑥 𝑧))
6362oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑧 𝑥)) = (𝑥 (𝑥 𝑧)))
641, 26, 2latabs2 18534 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵𝑧𝐵) → (𝑥 (𝑥 𝑧)) = 𝑥)
6525, 5, 6, 64syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑥 𝑧)) = 𝑥)
6663, 65eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑧 𝑥)) = 𝑥)
671, 26latjcom 18505 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑦𝐵) → (𝑧 𝑦) = (𝑦 𝑧))
6825, 6, 36, 67syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧 𝑦) = (𝑦 𝑧))
6966, 68oveq12d 7449 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 (𝑧 𝑥)) (𝑧 𝑦)) = (𝑥 (𝑦 𝑧)))
7060, 69eqtr3d 2777 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))) = (𝑥 (𝑦 𝑧)))
7170adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))) = (𝑥 (𝑦 𝑧)))
7254, 71eqtrd 2775 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑥 (𝑧 (𝑥 𝑦))) = (𝑥 (𝑦 𝑧)))
7324, 35, 723eqtrrd 2780 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
7473an32s 652 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
7574ralrimivvva 3203 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
7675ex 412 1 (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  joincjn 18369  meetcmee 18370  Latclat 18489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-dec 12732  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ple 17318  df-odu 18344  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-lat 18490
This theorem is referenced by:  latdisd  18555
  Copyright terms: Public domain W3C validator