Theorem latdisdlem 18720

Description: Lemma for latdisd 18721. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
latdisd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latdisd.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
latdisd.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latdisdlem	⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ∨ ,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ∧ ,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem latdisdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latdisd.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latdisd.m	. . . . . . . . 9 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3	1, 2	latmcl 18664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵)
4	3	3adant3r3 1203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵)
5		simpr1 1213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
6		simpr3 1215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
7		oveq1 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)))
8		oveq1 7458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → (𝑢 ∨ 𝑣) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣))
9		oveq1 7458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → (𝑢 ∨ 𝑤) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤))
10	8, 9	oveq12d 7469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)))
11	7, 10	eqeq12d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑥 ∧ 𝑦) → ((𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) ↔ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤))))
12		oveq1 7458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑤))
13	12	oveq2d 7467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
14		oveq2 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥))
15	14	oveq1d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)))
16	13, 15	eqeq12d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑣) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) ↔ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤))))
17		oveq2 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑧))
18	17	oveq2d 7467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
19		oveq2 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))
20	19	oveq2d 7467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)))
21	18, 20	eqeq12d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑤)) ↔ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))))
22	11, 16, 21	rspc3v 3595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))))
23	4, 5, 6, 22	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧))))
24	23	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)) = (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)))
25		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
26		latdisd.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
27	1, 26	latjcom 18671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
28	25, 4, 5, 27	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
29	1, 26, 2	latabs1 18699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = 𝑥)
30	29	3adant3r3 1203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = 𝑥)
31	28, 30	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) = 𝑥)
32	1, 26	latjcom 18671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∧ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
33	25, 4, 6, 32	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
34	31, 33	oveq12d 7469	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)) = (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))))
35	34	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑥) ∧ ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ 𝑧)) = (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))))
36		simpr2 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
37		oveq1 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)))
38		oveq1 7458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ∨ 𝑣) = (𝑧 ∨ 𝑣))
39		oveq1 7458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ∨ 𝑤) = (𝑧 ∨ 𝑤))
40	38, 39	oveq12d 7469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)))
41	37, 40	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤))))
42	12	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)))
43		oveq2 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑧 ∨ 𝑣) = (𝑧 ∨ 𝑥))
44	43	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)))
45	42, 44	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → ((𝑧 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑣) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤))))
46		oveq2 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 ∧ 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝑦))
47	46	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)))
48		oveq2 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 ∨ 𝑤) = (𝑧 ∨ 𝑦))
49	48	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)))
50	47, 49	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑤)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑤)) ↔ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
51	41, 45, 50	rspc3v 3595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
52	6, 5, 36, 51	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
53	52	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦)) = ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)))
54	53	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))) = (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
55	1, 26	latjcl 18663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑥) ∈ 𝐵)
56	25, 6, 5, 55	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑥) ∈ 𝐵)
57	1, 26	latjcl 18663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑦) ∈ 𝐵)
58	25, 6, 36, 57	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑦) ∈ 𝐵)
59	1, 2	latmass 18719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∨ 𝑦) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)) = (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
60	25, 5, 56, 58, 59	syl13anc 1400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)) = (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))))
61	1, 26	latjcom 18671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ 𝑧))
62	25, 6, 5, 61	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑥) = (𝑥 ∨ 𝑧))
63	62	oveq2d 7467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) = (𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)))
64	1, 26, 2	latabs2 18700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) = 𝑥)
65	25, 5, 6, 64	syl3anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑥 ∨ 𝑧)) = 𝑥)
66	63, 65	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) = 𝑥)
67	1, 26	latjcom 18671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∨ 𝑦) = (𝑦 ∨ 𝑧))
68	25, 6, 36, 67	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∨ 𝑦) = (𝑦 ∨ 𝑧))
69	66, 68	oveq12d 7469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∧ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦)) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
70	60, 69	eqtr3d 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
71	70	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ ((𝑧 ∨ 𝑥) ∧ (𝑧 ∨ 𝑦))) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
72	54, 71	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ (𝑧 ∨ (𝑥 ∧ 𝑦))) = (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)))
73	24, 35, 72	3eqtrrd 2803	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
74	73	an32s 665	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
75	74	ralrimivvva 3212	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧)))
76	75	ex 418	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝑢 ∨ (𝑣 ∧ 𝑤)) = ((𝑢 ∨ 𝑣) ∧ (𝑢 ∨ 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥 ∧ (𝑦 ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦) ∨ (𝑥 ∧ 𝑧))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  joincjn 18535  meetcmee 18536  Latclat 18655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ple 17493  df-odu 18511  df-proset 18518  df-poset 18537  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-lat 18656

This theorem is used by:  latdisd  18721