MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latabs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latabs2 17701
Description: Lattice absorption law. From definition of lattice in [Kalmbach] p. 14. (chabs2 29306 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latabs1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latabs1.j = (join‘𝐾)
latabs1.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latabs2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)

Proof of Theorem latabs2
StepHypRef Expression
1 latabs1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2824 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 latabs1.j . . 3 = (join‘𝐾)
41, 2, 3latlej1 17673 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
51, 3latjcl 17664 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
6 latabs1.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
71, 2, 6latleeqm1 17692 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋))
85, 7syld3an3 1406 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋))
94, 8mpbid 235 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5053  cfv 6344  (class class class)co 7150  Basecbs 16486  lecple 16575  joincjn 17557  meetcmee 17558  Latclat 17658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-proset 17541  df-poset 17559  df-lub 17587  df-glb 17588  df-join 17589  df-meet 17590  df-lat 17659
This theorem is referenced by:  latdisdlem  17802  cmtbr3N  36496  cdlemc6  37438  cdlemkid1  38164  cdlemkid2  38166
  Copyright terms: Public domain W3C validator