Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  latmmdiN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmmdiN 37699
Description: Lattice meet distributes over itself. (inindi 4187 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
olmass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
olmass.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latmmdiN ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem latmmdiN
StepHypRef Expression
1 ollat 37678 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simpr1 1195 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 olmass.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 olmass.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
64, 5latmidm 18364 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ 𝑋) = 𝑋)
72, 3, 6syl2anc 585 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑋) = 𝑋)
87oveq1d 7373 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑋) ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
9 simpl 484 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
10 simpr2 1196 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
11 simpr3 1197 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
124, 5latm4 37698 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑋) ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ 𝑍)))
139, 3, 3, 10, 11, 12syl122anc 1380 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑋) ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ 𝑍)))
148, 13eqtr3d 2779 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  meetcmee 18202  Latclat 18321  OLcol 37639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18185  df-poset 18203  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-lat 18322  df-oposet 37641  df-ol 37643
This theorem is referenced by:  omlfh1N  37723
  Copyright terms: Public domain W3C validator