Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  latmmdiN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmmdiN 38617
Description: Lattice meet distributes over itself. (inindi 4221 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
olmass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
olmass.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latmmdiN ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem latmmdiN
StepHypRef Expression
1 ollat 38596 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simpr1 1191 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 olmass.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 olmass.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
64, 5latmidm 18439 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ 𝑋) = 𝑋)
72, 3, 6syl2anc 583 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑋) = 𝑋)
87oveq1d 7420 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑋) ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
9 simpl 482 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
10 simpr2 1192 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
11 simpr3 1193 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
124, 5latm4 38616 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑋) ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ 𝑍)))
139, 3, 3, 10, 11, 12syl122anc 1376 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑋) ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ 𝑍)))
148, 13eqtr3d 2768 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  meetcmee 18277  Latclat 18396  OLcol 38557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-lat 18397  df-oposet 38559  df-ol 38561
This theorem is referenced by:  omlfh1N  38641
  Copyright terms: Public domain W3C validator