Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  latmmdiN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmmdiN 36810
 Description: Lattice meet distributes over itself. (inindi 4131 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
olmass.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olmass.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmmdiN ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 𝑌) (𝑋 𝑍)))

Proof of Theorem latmmdiN
StepHypRef Expression
1 ollat 36789 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simpr1 1191 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
4 olmass.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 olmass.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
64, 5latmidm 17762 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)
72, 3, 6syl2anc 587 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)
87oveq1d 7165 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑋) (𝑌 𝑍)) = (𝑋 (𝑌 𝑍)))
9 simpl 486 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
10 simpr2 1192 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
11 simpr3 1193 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
124, 5latm4 36809 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐵) ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑋) (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 𝑌) (𝑋 𝑍)))
139, 3, 3, 10, 11, 12syl122anc 1376 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑋) (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 𝑌) (𝑋 𝑍)))
148, 13eqtr3d 2795 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 𝑌) (𝑋 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Basecbs 16541  meetcmee 17621  Latclat 17721  OLcol 36750 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-proset 17604  df-poset 17622  df-lub 17650  df-glb 17651  df-join 17652  df-meet 17653  df-lat 17722  df-oposet 36752  df-ol 36754 This theorem is referenced by:  omlfh1N  36834
 Copyright terms: Public domain W3C validator