Theorem latmmdir 39864

Description: Lattice meet distributes over itself. (inindir 4189 analog.) (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
olmass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olmass.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmmdir	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑍) = ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem latmmdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ollat 39842	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simpr3 1211	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		olmass.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		olmass.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
6	4, 5	latmidm 18508	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑍 ∧ 𝑍) = 𝑍)
7	2, 3, 6	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ∧ 𝑍) = 𝑍)
8	7	oveq2d 7414	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑍 ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑍))
9		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
10		simpr1 1209	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		simpr2 1210	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	4, 5	latm4 39862	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑍 ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍)))
13	9, 10, 11, 3, 3, 12	syl122anc 1400	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑍 ∧ 𝑍)) = ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍)))
14	8, 13	eqtr3d 2801	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑍) = ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  meetcmee 18346  Latclat 18465  OLcol 39803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-proset 18328  df-poset 18347  df-lub 18378  df-glb 18379  df-join 18380  df-meet 18381  df-lat 18466  df-oposet 39805  df-ol 39807

This theorem is referenced by:  dalem24  40326  cdleme0e  40846  cdleme7c  40874  djajN  41766