Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  latmmdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmmdir 36489
Description: Lattice meet distributes over itself. (inindir 4178 analog.) (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olmass.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olmass.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmmdir ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem latmmdir
StepHypRef Expression
1 ollat 36467 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simpr3 1193 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
4 olmass.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 olmass.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
64, 5latmidm 17687 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍𝐵) → (𝑍 𝑍) = 𝑍)
72, 3, 6syl2anc 587 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 𝑍) = 𝑍)
87oveq2d 7156 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑍)) = ((𝑋 𝑌) 𝑍))
9 simpl 486 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
10 simpr1 1191 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
11 simpr2 1192 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
124, 5latm4 36487 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑍)) = ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
139, 10, 11, 3, 3, 12syl122anc 1376 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑍)) = ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
148, 13eqtr3d 2859 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  meetcmee 17546  Latclat 17646  OLcol 36428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-proset 17529  df-poset 17547  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-lat 17647  df-oposet 36430  df-ol 36432
This theorem is referenced by:  dalem24  36951  cdleme0e  37471  cdleme7c  37499  djajN  38391
  Copyright terms: Public domain W3C validator