Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1137 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OL β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β πΎ β OL) |
2 | | simp2r 1201 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OL β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
3 | | simp3l 1202 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OL β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
4 | | simp3r 1203 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OL β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
5 | | olmass.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
6 | | olmass.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
7 | 5, 6 | latm12 37695 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OL β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β§ (π β§ π)) = (π β§ (π β§ π))) |
8 | 1, 2, 3, 4, 7 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ ((πΎ β OL β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β§ (π β§ π)) = (π β§ (π β§ π))) |
9 | 8 | oveq2d 7374 |
. 2
β’ ((πΎ β OL β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β§ (π β§ (π β§ π))) = (π β§ (π β§ (π β§ π)))) |
10 | | simp2l 1200 |
. . 3
β’ ((πΎ β OL β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
11 | | ollat 37678 |
. . . . 5
β’ (πΎ β OL β πΎ β Lat) |
12 | 11 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OL β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β πΎ β Lat) |
13 | 5, 6 | latmcl 18330 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
14 | 12, 3, 4, 13 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((πΎ β OL β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β§ π) β π΅) |
15 | 5, 6 | latmassOLD 37694 |
. . 3
β’ ((πΎ β OL β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β§ π) β π΅)) β ((π β§ π) β§ (π β§ π)) = (π β§ (π β§ (π β§ π)))) |
16 | 1, 10, 2, 14, 15 | syl13anc 1373 |
. 2
β’ ((πΎ β OL β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β§ π) β§ (π β§ π)) = (π β§ (π β§ (π β§ π)))) |
17 | 5, 6 | latmcl 18330 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
18 | 12, 2, 4, 17 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((πΎ β OL β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β§ π) β π΅) |
19 | 5, 6 | latmassOLD 37694 |
. . 3
β’ ((πΎ β OL β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β§ π) β π΅)) β ((π β§ π) β§ (π β§ π)) = (π β§ (π β§ (π β§ π)))) |
20 | 1, 10, 3, 18, 19 | syl13anc 1373 |
. 2
β’ ((πΎ β OL β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β§ π) β§ (π β§ π)) = (π β§ (π β§ (π β§ π)))) |
21 | 9, 16, 20 | 3eqtr4d 2787 |
1
β’ ((πΎ β OL β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β§ π) β§ (π β§ π)) = ((π β§ π) β§ (π β§ π))) |