Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  latm4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latm4 38705
Description: Rearrangement of lattice meet of 4 classes. (in4 4226 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
olmass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
olmass.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latm4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑍 ∧ π‘Š)) = ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
Proof of Theorem latm4
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
2 simp2r 1198 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3 simp3l 1199 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
4 simp3r 1200 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
5 olmass.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 olmass.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
75, 6latm12 38702 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∧ (𝑍 ∧ π‘Š)) = (𝑍 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∧ (𝑍 ∧ π‘Š)) = (𝑍 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
98oveq2d 7436 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ (𝑍 ∧ π‘Š))) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
10 simp2l 1197 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 ollat 38685 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
12113ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
135, 6latmcl 18431 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
1412, 3, 4, 13syl3anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (𝑍 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
155, 6latmassOLD 38701 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑍 ∧ π‘Š)) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ (𝑍 ∧ π‘Š))))
161, 10, 2, 14, 15syl13anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑍 ∧ π‘Š)) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ (𝑍 ∧ π‘Š))))
175, 6latmcl 18431 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
1812, 2, 4, 17syl3anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
195, 6latmassOLD 38701 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
201, 10, 3, 18, 19syl13anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
219, 16, 203eqtr4d 2778 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑍 ∧ π‘Š)) = ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  meetcmee 18303  Latclat 18422  OLcol 38646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18286  df-poset 18304  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-lat 18423  df-oposet 38648  df-ol 38650
This theorem is referenced by:  latmmdiN  38706  latmmdir  38707
  Copyright terms: Public domain W3C validator