Theorem latm4 40065

Description: Rearrangement of lattice meet of 4 classes. (in4 4186 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
olmass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olmass.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latm4	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑍 ∧ 𝑊)) = ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)))

Proof of Theorem latm4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
2		simp2r 1219	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simp3l 1220	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		simp3r 1221	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
5		olmass.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		olmass.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
7	5, 6	latm12 40062	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ (𝑍 ∧ 𝑊)) = (𝑍 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ (𝑍 ∧ 𝑊)) = (𝑍 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)))
9	8	oveq2d 7435	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∧ (𝑍 ∧ 𝑊))) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊))))
10		simp2l 1218	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		ollat 40045	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
12	11	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
13	5, 6	latmcl 18518	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
14	12, 3, 4, 13	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
15	5, 6	latmassOLD 40061	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑍 ∧ 𝑊)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∧ (𝑍 ∧ 𝑊))))
16	1, 10, 2, 14, 15	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑍 ∧ 𝑊)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∧ (𝑍 ∧ 𝑊))))
17	5, 6	latmcl 18518	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
18	12, 2, 4, 17	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
19	5, 6	latmassOLD 40061	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊))))
20	1, 10, 3, 18, 19	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊))))
21	9, 16, 20	3eqtr4d 2810	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑍 ∧ 𝑊)) = ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  meetcmee 18390  Latclat 18509  OLcol 40006

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18372  df-poset 18391  df-lub 18422  df-glb 18423  df-join 18424  df-meet 18425  df-lat 18510  df-oposet 40008  df-ol 40010

This theorem is used by:  latmmdiN  40066  latmmdir  40067