Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  latm4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latm4 38606
Description: Rearrangement of lattice meet of 4 classes. (in4 4218 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
olmass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
olmass.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latm4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑍 ∧ π‘Š)) = ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
Proof of Theorem latm4
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
2 simp2r 1197 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3 simp3l 1198 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
4 simp3r 1199 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
5 olmass.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 olmass.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
75, 6latm12 38603 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∧ (𝑍 ∧ π‘Š)) = (𝑍 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∧ (𝑍 ∧ π‘Š)) = (𝑍 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
98oveq2d 7418 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ (𝑍 ∧ π‘Š))) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
10 simp2l 1196 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 ollat 38586 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
12113ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
135, 6latmcl 18401 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
1412, 3, 4, 13syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (𝑍 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
155, 6latmassOLD 38602 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑍 ∧ π‘Š)) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ (𝑍 ∧ π‘Š))))
161, 10, 2, 14, 15syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑍 ∧ π‘Š)) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∧ (𝑍 ∧ π‘Š))))
175, 6latmcl 18401 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
1812, 2, 4, 17syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
195, 6latmassOLD 38602 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
201, 10, 3, 18, 19syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
219, 16, 203eqtr4d 2774 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑍 ∧ π‘Š)) = ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  meetcmee 18273  Latclat 18392  OLcol 38547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18256  df-poset 18274  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-lat 18393  df-oposet 38549  df-ol 38551
This theorem is referenced by:  latmmdiN  38607  latmmdir  38608
  Copyright terms: Public domain W3C validator