Theorem latm4 39212

Description: Rearrangement of lattice meet of 4 classes. (in4 4185 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
olmass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olmass.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latm4	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑍 ∧ 𝑊)) = ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)))

Proof of Theorem latm4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
2		simp2r 1201	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simp3l 1202	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		simp3r 1203	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
5		olmass.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		olmass.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
7	5, 6	latm12 39209	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ (𝑍 ∧ 𝑊)) = (𝑍 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ (𝑍 ∧ 𝑊)) = (𝑍 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)))
9	8	oveq2d 7365	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∧ (𝑍 ∧ 𝑊))) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊))))
10		simp2l 1200	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		ollat 39192	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
12	11	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
13	5, 6	latmcl 18346	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
14	12, 3, 4, 13	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
15	5, 6	latmassOLD 39208	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑍 ∧ 𝑊)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∧ (𝑍 ∧ 𝑊))))
16	1, 10, 2, 14, 15	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑍 ∧ 𝑊)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∧ (𝑍 ∧ 𝑊))))
17	5, 6	latmcl 18346	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
18	12, 2, 4, 17	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
19	5, 6	latmassOLD 39208	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊))))
20	1, 10, 3, 18, 19	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊))))
21	9, 16, 20	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑍 ∧ 𝑊)) = ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  meetcmee 18218  Latclat 18337  OLcol 39153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-proset 18200  df-poset 18219  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-lat 18338  df-oposet 39155  df-ol 39157

This theorem is referenced by:  latmmdiN  39213  latmmdir  39214