Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp3l 1202 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
2 | | simp11l 1285 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
3 | | simp12l 1287 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
4 | | simp11 1204 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
5 | | simp12 1205 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
6 | | simp13 1206 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
7 | | simp23 1209 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
8 | | cdleme11.l |
. . . . . . . . 9
β’ β€ =
(leβπΎ) |
9 | | cdleme11.j |
. . . . . . . . 9
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
10 | | cdleme11.m |
. . . . . . . . 9
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
11 | | cdleme11.a |
. . . . . . . . 9
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
12 | | cdleme11.h |
. . . . . . . . 9
β’ π» = (LHypβπΎ) |
13 | | cdleme11.u |
. . . . . . . . 9
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
14 | 8, 9, 10, 11, 12, 13 | lhpat2 38554 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β π β π΄) |
15 | 4, 5, 6, 7, 14 | syl112anc 1375 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
16 | 8, 9, 11 | hlatlej1 37883 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
17 | 2, 3, 15, 16 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
18 | 17 | adantr 482 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β§ π β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
19 | 6, 7 | jca 513 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ π β π)) |
20 | | simp21 1207 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
21 | | simp22 1208 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
22 | | simp3r 1203 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
23 | 21, 22 | jca 513 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ π β€ (π β¨ π))) |
24 | 8, 9, 10, 11, 12, 13 | cdleme11a 38769 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ (π β¨ π)))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
25 | 4, 5, 19, 20, 23, 24 | syl122anc 1380 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
26 | 25 | breq2d 5118 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
27 | | simp21l 1291 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
28 | 8, 9, 10, 11, 12, 13 | cdleme0b 38721 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β π β π) |
29 | 4, 5, 6, 28 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
30 | 29 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
31 | 8, 9, 11 | hlatexch2 37905 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
32 | 2, 3, 27, 15, 30, 31 | syl131anc 1384 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
33 | 26, 32 | sylbird 260 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
34 | 33 | imp 408 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β§ π β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
35 | 8, 9, 11 | hlatlej2 37884 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
36 | 2, 3, 6, 35 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
37 | 8, 9, 10, 11, 12, 13 | cdleme0cp 38723 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄)) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
38 | 4, 5, 6, 37 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
39 | 36, 38 | breqtrrd 5134 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
40 | 39 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β§ π β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
41 | 2 | hllatd 37872 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
42 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
43 | 42, 11 | atbase 37797 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
44 | 27, 43 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
45 | 42, 11 | atbase 37797 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
46 | 6, 45 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
47 | 42, 9, 11 | hlatjcl 37875 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
48 | 2, 3, 15, 47 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
49 | 42, 8, 9 | latjle12 18344 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) β€ (π β¨ π))) |
50 | 41, 44, 46, 48, 49 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) β€ (π β¨ π))) |
51 | 50 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β§ π β€ (π β¨ π)) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) β€ (π β¨ π))) |
52 | 34, 40, 51 | mpbi2and 711 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) β€ (π β¨ π)) |
53 | 42, 11 | atbase 37797 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
54 | 3, 53 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
55 | 42, 8, 9 | latnlej1r 18352 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π β π) |
56 | 41, 44, 54, 46, 1, 55 | syl131anc 1384 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
57 | 8, 9, 11 | ps-1 37986 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β€ (π β¨ π) β (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
58 | 2, 27, 6, 56, 3, 15, 57 | syl132anc 1389 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β€ (π β¨ π) β (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
59 | 58 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β§ π β€ (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β€ (π β¨ π) β (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
60 | 52, 59 | mpbid 231 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
61 | 18, 60 | breqtrrd 5134 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β§ π β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
62 | 61 | ex 414 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
63 | 8, 9, 11 | hlatexch2 37905 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
64 | 2, 3, 27, 6, 7, 63 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
65 | 62, 64 | syld 47 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
66 | 1, 65 | mtod 197 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |