Theorem cdleme11c 40381

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme11 40390. (Contributed by NM, 13-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme11.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme11.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme11.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme11.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme11.u	⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdleme11c	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))

Proof of Theorem cdleme11c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1202	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
2		simp11l 1285	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐾 ∈ HL)
3		simp12l 1287	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		simp11 1204	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5		simp12 1205	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
6		simp13 1206	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
7		simp23 1209	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑃 ≠ 𝑄)
8		cdleme11.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		cdleme11.j	. . . . . . . . 9 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10		cdleme11.m	. . . . . . . . 9 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11		cdleme11.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12		cdleme11.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13		cdleme11.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	lhpat2 40165	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑈 ∈ 𝐴)
15	4, 5, 6, 7, 14	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑈 ∈ 𝐴)
16	8, 9, 11	hlatlej1 39495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
17	2, 3, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
19	6, 7	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄))
20		simp21 1207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊))
21		simp22 1208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑇 ∈ 𝐴)
22		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))
23	21, 22	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))
24	8, 9, 10, 11, 12, 13	cdleme11a 40380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))) → (𝑆 ∨ 𝑈) = (𝑆 ∨ 𝑇))
25	4, 5, 19, 20, 23, 24	syl122anc 1381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑆 ∨ 𝑈) = (𝑆 ∨ 𝑇))
26	25	breq2d 5105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑈) ↔ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)))
27		simp21l 1291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
28	8, 9, 10, 11, 12, 13	cdleme0b 40332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑈 ≠ 𝑃)
29	4, 5, 6, 28	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑈 ≠ 𝑃)
30	29	necomd 2984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑃 ≠ 𝑈)
31	8, 9, 11	hlatexch2 39516	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑈) → (𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑈) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)))
32	2, 3, 27, 15, 30, 31	syl131anc 1385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑈) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)))
33	26, 32	sylbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)))
34	33	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
35	8, 9, 11	hlatlej2 39496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
36	2, 3, 6, 35	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
37	8, 9, 10, 11, 12, 13	cdleme0cp 40334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑈) = (𝑃 ∨ 𝑄))
38	4, 5, 6, 37	syl12anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ∨ 𝑈) = (𝑃 ∨ 𝑄))
39	36, 38	breqtrrd 5121	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
40	39	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
41	2	hllatd 39484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐾 ∈ Lat)
42		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
43	42, 11	atbase 39409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
44	27, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
45	42, 11	atbase 39409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
46	6, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
47	42, 9, 11	hlatjcl 39487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
48	2, 3, 15, 47	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
49	42, 8, 9	latjle12 18358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑄) ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)))
50	41, 44, 46, 48, 49	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑄) ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)))
51	50	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) → ((𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑄) ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)))
52	34, 40, 51	mpbi2and 712	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) → (𝑆 ∨ 𝑄) ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
53	42, 11	atbase 39409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
54	3, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
55	42, 8, 9	latnlej1r 18366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑆 ≠ 𝑄)
56	41, 44, 54, 46, 1, 55	syl131anc 1385	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑆 ≠ 𝑄)
57	8, 9, 11	ps-1 39597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) → ((𝑆 ∨ 𝑄) ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ↔ (𝑆 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑈)))
58	2, 27, 6, 56, 3, 15, 57	syl132anc 1390	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ∨ 𝑄) ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ↔ (𝑆 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑈)))
59	58	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) → ((𝑆 ∨ 𝑄) ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) ↔ (𝑆 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑈)))
60	52, 59	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) → (𝑆 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑈))
61	18, 60	breqtrrd 5121	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) → 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑄))
62	61	ex 412	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) → 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑄)))
63	8, 9, 11	hlatexch2 39516	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑄) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
64	2, 3, 27, 6, 7, 63	syl131anc 1385	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑄) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
65	62, 64	syld 47	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) → 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
66	1, 65	mtod 198	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  lecple 17170  joincjn 18219  meetcmee 18220  Latclat 18339  Atomscatm 39383  HLchlt 39470  LHypclh 40104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-proset 18202  df-poset 18221  df-plt 18236  df-lub 18252  df-glb 18253  df-join 18254  df-meet 18255  df-p0 18331  df-p1 18332  df-lat 18340  df-clat 18407  df-oposet 39296  df-ol 39298  df-oml 39299  df-covers 39386  df-ats 39387  df-atl 39418  df-cvlat 39442  df-hlat 39471  df-psubsp 39623  df-pmap 39624  df-padd 39916  df-lhyp 40108

This theorem is referenced by:  cdleme11dN  40382  cdleme11e  40383