Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hllat 37871 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
2 | 1 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
3 | | simp23 1209 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π
β π΄) |
4 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
5 | | 3noncol.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | 4, 5 | atbase 37797 |
. . . . 5
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
7 | 3, 6 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π
β (BaseβπΎ)) |
8 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
9 | 4, 5 | atbase 37797 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp22 1208 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
12 | 4, 5 | atbase 37797 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
14 | | simp3r 1203 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
15 | | 3noncol.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
16 | | 3noncol.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
17 | 4, 15, 16 | latnlej1r 18352 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π
β π) |
18 | 2, 7, 10, 13, 14, 17 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π
β π) |
19 | 18 | necomd 2996 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π
) |
20 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
21 | | simp3l 1202 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π) |
22 | 15, 16, 5 | hlatexch1 37904 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β€ (π β¨ π
) β π
β€ (π β¨ π))) |
23 | 20, 8, 3, 11, 21, 22 | syl131anc 1384 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π
) β π
β€ (π β¨ π))) |
24 | 16, 5 | hlatjcom 37876 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
25 | 20, 8, 11, 24 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
26 | 25 | breq2d 5118 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β€ (π β¨ π) β π
β€ (π β¨ π))) |
27 | 23, 26 | sylibrd 259 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π
) β π
β€ (π β¨ π))) |
28 | 14, 27 | mtod 197 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π
)) |
29 | 19, 28 | jca 513 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) |