Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3noncolr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3noncolr2 35408
Description: Two ways to express 3 non-colinear atoms (rotated right 2 places). (Contributed by NM, 12-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3noncol.l = (le‘𝐾)
3noncol.j = (join‘𝐾)
3noncol.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3noncolr2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)))

Proof of Theorem 3noncolr2
StepHypRef Expression
1 hllat 35322 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1163 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp23 1265 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑅𝐴)
4 eqid 2765 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 3noncol.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 35248 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
73, 6syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
8 simp21 1263 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝐴)
94, 5atbase 35248 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
11 simp22 1264 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝐴)
124, 5atbase 35248 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
14 simp3r 1259 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))
15 3noncol.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
16 3noncol.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
174, 15, 16latnlej1r 17339 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → 𝑅𝑄)
182, 7, 10, 13, 14, 17syl131anc 1502 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑅𝑄)
1918necomd 2992 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝑅)
20 simp1 1166 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
21 simp3l 1258 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝑄)
2215, 16, 5hlatexch1 35354 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 (𝑄 𝑅) → 𝑅 (𝑄 𝑃)))
2320, 8, 3, 11, 21, 22syl131anc 1502 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝑃 (𝑄 𝑅) → 𝑅 (𝑄 𝑃)))
2416, 5hlatjcom 35327 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
2520, 8, 11, 24syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
2625breq2d 4823 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝑅 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑅 (𝑄 𝑃)))
2723, 26sylibrd 250 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝑃 (𝑄 𝑅) → 𝑅 (𝑃 𝑄)))
2814, 27mtod 189 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅))
2919, 28jca 507 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6844  Basecbs 16133  lecple 16224  joincjn 17213  Latclat 17314  Atomscatm 35222  HLchlt 35309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-proset 17197  df-poset 17215  df-plt 17227  df-lub 17243  df-glb 17244  df-join 17245  df-meet 17246  df-p0 17308  df-lat 17315  df-covers 35225  df-ats 35226  df-atl 35257  df-cvlat 35281  df-hlat 35310
This theorem is referenced by:  3noncolr1N  35409  hlatcon3  35410
  Copyright terms: Public domain W3C validator