Theorem cdleme11e 40848

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme11 40855. (Contributed by NM, 13-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme11.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme11.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme11.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme11.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme11.u	⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
cdleme11.c	⊢ 𝐶 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)
cdleme11.d	⊢ 𝐷 = ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdleme11e	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐶 ≠ 𝐷)

Proof of Theorem cdleme11e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1216	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp12 1217	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
3		simp22 1220	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑇 ∈ 𝐴)
4		simp21 1219	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊))
5		simp11l 1297	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐾 ∈ HL)
6	5	hllatd 39949	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐾 ∈ Lat)
7		simp12l 1299	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
8		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9		cdleme11.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10	8, 9	atbase 39874	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
11	7, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
12		simp21l 1303	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
13	8, 9	atbase 39874	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
15	8, 9	atbase 39874	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
16	3, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
17		simp1 1148	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
18		simp2 1149	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄))
19		simp32 1223	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
20		simp33 1224	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))
21		cdleme11.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
22		cdleme11.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
23		cdleme11.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
24		cdleme11.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
25		cdleme11.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
26	21, 22, 23, 9, 24, 25	cdleme11c 40846	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))
27	17, 18, 19, 20, 26	syl112anc 1392	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ¬ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))
28	8, 21, 22	latnlej1r 18481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇)) → 𝑃 ≠ 𝑇)
29	6, 11, 14, 16, 27, 28	syl131anc 1401	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑃 ≠ 𝑇)
30		simp31 1222	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑆 ≠ 𝑇)
31	21, 22, 9	hlatcon2 40037	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑇))
32	5, 12, 3, 7, 30, 27, 31	syl132anc 1406	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑇))
33		cdleme11.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ 𝑊)
34		cdleme11.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)
35	21, 22, 23, 9, 24, 33, 34	cdleme0e 40802	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑃 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑇))) → 𝐷 ≠ 𝐶)
36	1, 2, 3, 4, 29, 32, 35	syl132anc 1406	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐷 ≠ 𝐶)
37	36	necomd 3011	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐶 ≠ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Basecbs 17236  lecple 17284  joincjn 18334  meetcmee 18335  Latclat 18454  Atomscatm 39848  HLchlt 39935  LHypclh 40569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-proset 18317  df-poset 18336  df-plt 18351  df-lub 18367  df-glb 18368  df-join 18369  df-meet 18370  df-p0 18446  df-p1 18447  df-lat 18455  df-clat 18522  df-oposet 39761  df-ol 39763  df-oml 39764  df-covers 39851  df-ats 39852  df-atl 39883  df-cvlat 39907  df-hlat 39936  df-psubsp 40088  df-pmap 40089  df-padd 40381  df-lhyp 40573

This theorem is referenced by:  cdleme11l  40854