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Theorem cdleme11e 36880
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme11 36887. (Contributed by NM, 13-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme11.l = (le‘𝐾)
cdleme11.j = (join‘𝐾)
cdleme11.m = (meet‘𝐾)
cdleme11.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme11.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme11.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme11.c 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
cdleme11.d 𝐷 = ((𝑃 𝑇) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme11e ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝐶𝐷)

Proof of Theorem cdleme11e
StepHypRef Expression
1 simp11 1194 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1195 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp22 1198 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝑇𝐴)
4 simp21 1197 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊))
5 simp11l 1275 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ HL)
65hllatd 35981 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ Lat)
7 simp12l 1277 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝑃𝐴)
8 eqid 2793 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9 cdleme11.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
108, 9atbase 35906 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
117, 10syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
12 simp21l 1281 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝑆𝐴)
138, 9atbase 35906 . . . . 5 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
158, 9atbase 35906 . . . . 5 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
163, 15syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
17 simp1 1127 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴))
18 simp2 1128 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄))
19 simp32 1201 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
20 simp33 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝑈 (𝑆 𝑇))
21 cdleme11.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
22 cdleme11.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
23 cdleme11.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
24 cdleme11.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
25 cdleme11.u . . . . . 6 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
2621, 22, 23, 9, 24, 25cdleme11c 36878 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → ¬ 𝑃 (𝑆 𝑇))
2717, 18, 19, 20, 26syl112anc 1365 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → ¬ 𝑃 (𝑆 𝑇))
288, 21, 22latnlej1r 17497 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑃 (𝑆 𝑇)) → 𝑃𝑇)
296, 11, 14, 16, 27, 28syl131anc 1374 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝑃𝑇)
30 simp31 1200 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝑆𝑇)
3121, 22, 9hlatcon2 36069 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑃𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑃 (𝑆 𝑇))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑇))
325, 12, 3, 7, 30, 27, 31syl132anc 1379 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑇))
33 cdleme11.d . . . 4 𝐷 = ((𝑃 𝑇) 𝑊)
34 cdleme11.c . . . 4 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
3521, 22, 23, 9, 24, 33, 34cdleme0e 36834 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑇𝐴 ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑇))) → 𝐷𝐶)
361, 2, 3, 4, 29, 32, 35syl132anc 1379 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝐷𝐶)
3736necomd 3037 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝐶𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1078   = wceq 1520  wcel 2079  wne 2982   class class class wbr 4956  cfv 6217  (class class class)co 7007  Basecbs 16300  lecple 16389  joincjn 17371  meetcmee 17372  Latclat 17472  Atomscatm 35880  HLchlt 35967  LHypclh 36601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-proset 17355  df-poset 17373  df-plt 17385  df-lub 17401  df-glb 17402  df-join 17403  df-meet 17404  df-p0 17466  df-p1 17467  df-lat 17473  df-clat 17535  df-oposet 35793  df-ol 35795  df-oml 35796  df-covers 35883  df-ats 35884  df-atl 35915  df-cvlat 35939  df-hlat 35968  df-psubsp 36120  df-pmap 36121  df-padd 36413  df-lhyp 36605
This theorem is referenced by:  cdleme11l  36886
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