Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ps-2c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ps-2c 38020
Description: Variation of projective geometry axiom ps-2 37970. (Contributed by NM, 3-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atm.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
2atm.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2atm.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2atm.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
ps-2c (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ps-2c
StepHypRef Expression
1 simp11 1204 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1205 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simp21 1207 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
41hllatd 37855 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
6 2atm.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
75, 6atbase 37780 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
82, 7syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
9 simp13 1206 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
105, 6atbase 37780 . . . . 5 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
119, 10syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
125, 6atbase 37780 . . . . 5 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
133, 12syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 simp31l 1297 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
15 2atm.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
16 2atm.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
175, 15, 16latnlej1r 18354 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑃 β‰  𝑅)
184, 8, 11, 13, 14, 17syl131anc 1384 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑅)
19 eqid 2737 . . . 4 (LLinesβ€˜πΎ) = (LLinesβ€˜πΎ)
2016, 6, 19llni2 38004 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
211, 2, 3, 18, 20syl31anc 1374 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
22 simp22 1208 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
23 simp23 1209 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
24 simp31r 1298 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑆 β‰  𝑇)
2516, 6, 19llni2 38004 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
261, 22, 23, 24, 25syl31anc 1374 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
27 simp32 1211 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))
28 simp33 1212 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
29 2atm.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
30 eqid 2737 . . . 4 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
3115, 16, 29, 30, 6ps-2b 37974 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) β‰  (0.β€˜πΎ))
321, 2, 9, 3, 22, 23, 14, 24, 28, 31syl333anc 1403 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) β‰  (0.β€˜πΎ))
3329, 30, 6, 192llnmat 38016 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLinesβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) β‰  (0.β€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴)
341, 21, 26, 27, 32, 33syl32anc 1379 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  meetcmee 18208  0.cp0 18319  Latclat 18327  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LLinesclln 37983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990
This theorem is referenced by:  cdlemg18c  39172  dia2dimlem1  39556
  Copyright terms: Public domain W3C validator