Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ps-2c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ps-2c 38903
Description: Variation of projective geometry axiom ps-2 38853. (Contributed by NM, 3-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atm.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
2atm.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2atm.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2atm.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
ps-2c (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ps-2c
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1201 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simp21 1203 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
41hllatd 38738 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
6 2atm.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
75, 6atbase 38663 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
82, 7syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
9 simp13 1202 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
105, 6atbase 38663 . . . . 5 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
119, 10syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
125, 6atbase 38663 . . . . 5 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
133, 12syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 simp31l 1293 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
15 2atm.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
16 2atm.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
175, 15, 16latnlej1r 18419 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑃 β‰  𝑅)
184, 8, 11, 13, 14, 17syl131anc 1380 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑅)
19 eqid 2724 . . . 4 (LLinesβ€˜πΎ) = (LLinesβ€˜πΎ)
2016, 6, 19llni2 38887 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑅) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
211, 2, 3, 18, 20syl31anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
22 simp22 1204 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
23 simp23 1205 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
24 simp31r 1294 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ 𝑆 β‰  𝑇)
2516, 6, 19llni2 38887 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
261, 22, 23, 24, 25syl31anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
27 simp32 1207 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))
28 simp33 1208 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
29 2atm.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
30 eqid 2724 . . . 4 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
3115, 16, 29, 30, 6ps-2b 38857 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) β‰  (0.β€˜πΎ))
321, 2, 9, 3, 22, 23, 14, 24, 28, 31syl333anc 1399 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) β‰  (0.β€˜πΎ))
3329, 30, 6, 192llnmat 38899 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (LLinesβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLinesβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) β‰  (0.β€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴)
341, 21, 26, 27, 32, 33syl32anc 1375 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  lecple 17209  joincjn 18272  meetcmee 18273  0.cp0 18384  Latclat 18392  Atomscatm 38637  HLchlt 38724  LLinesclln 38866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 38550  df-ol 38552  df-oml 38553  df-covers 38640  df-ats 38641  df-atl 38672  df-cvlat 38696  df-hlat 38725  df-llines 38873
This theorem is referenced by:  cdlemg18c  40055  dia2dimlem1  40439
  Copyright terms: Public domain W3C validator