Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β πΎ β HL) |
2 | | simp12 1205 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β π β π΄) |
3 | | simp21 1207 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β π
β π΄) |
4 | 1 | hllatd 37855 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β πΎ β Lat) |
5 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
6 | | 2atm.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | 5, 6 | atbase 37780 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
8 | 2, 7 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β π β (BaseβπΎ)) |
9 | | simp13 1206 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β π β π΄) |
10 | 5, 6 | atbase 37780 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
11 | 9, 10 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β π β (BaseβπΎ)) |
12 | 5, 6 | atbase 37780 |
. . . . 5
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
13 | 3, 12 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β π
β (BaseβπΎ)) |
14 | | simp31l 1297 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β Β¬ π β€ (π β¨ π
)) |
15 | | 2atm.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
16 | | 2atm.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
17 | 5, 15, 16 | latnlej1r 18354 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β π β π
) |
18 | 4, 8, 11, 13, 14, 17 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β π β π
) |
19 | | eqid 2737 |
. . . 4
β’
(LLinesβπΎ) =
(LLinesβπΎ) |
20 | 16, 6, 19 | llni2 38004 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β (π β¨ π
) β (LLinesβπΎ)) |
21 | 1, 2, 3, 18, 20 | syl31anc 1374 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β (π β¨ π
) β (LLinesβπΎ)) |
22 | | simp22 1208 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β π β π΄) |
23 | | simp23 1209 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β π β π΄) |
24 | | simp31r 1298 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β π β π) |
25 | 16, 6, 19 | llni2 38004 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β¨ π) β (LLinesβπΎ)) |
26 | 1, 22, 23, 24, 25 | syl31anc 1374 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β (π β¨ π) β (LLinesβπΎ)) |
27 | | simp32 1211 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β (π β¨ π
) β (π β¨ π)) |
28 | | simp33 1212 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
))) |
29 | | 2atm.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
30 | | eqid 2737 |
. . . 4
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
31 | 15, 16, 29, 30, 6 | ps-2b 37974 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β (0.βπΎ)) |
32 | 1, 2, 9, 3, 22, 23, 14, 24, 28, 31 | syl333anc 1403 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β (0.βπΎ)) |
33 | 29, 30, 6, 19 | 2llnmat 38016 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ (π β¨ π
) β (LLinesβπΎ) β§ (π β¨ π) β (LLinesβπΎ)) β§ ((π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β (0.βπΎ))) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β π΄) |
34 | 1, 21, 26, 27, 32, 33 | syl32anc 1379 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β π) β§ (π β¨ π
) β (π β¨ π) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π
)))) β ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) β π΄) |