Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3atlem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 3atlem5 38870
Description: Lemma for 3at 38873. (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3at.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
3at.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3at.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
3atlem5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
Proof of Theorem 3atlem5
StepHypRef Expression
1 oveq2 7412 . . . . . 6 (π‘ˆ = 𝑃 β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃))
21eqcoms 2734 . . . . 5 (𝑃 = π‘ˆ β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃))
32breq2d 5153 . . . 4 (𝑃 = π‘ˆ β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)))
42eqeq2d 2737 . . . 4 (𝑃 = π‘ˆ β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)))
53, 4imbi12d 344 . . 3 (𝑃 = π‘ˆ β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃))))
6 simp1l 1194 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) ∧ 𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)))
7 simp1r1 1266 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) ∧ 𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
8 simp2 1134 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) ∧ 𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑃 β‰  π‘ˆ)
9 simp1r3 1268 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) ∧ 𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
10 simp3 1135 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) ∧ 𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
11 3at.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
12 3at.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
13 3at.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1411, 12, 133atlem3 38868 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
156, 7, 8, 9, 10, 14syl131anc 1380 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) ∧ 𝑃 β‰  π‘ˆ ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
16153expia 1118 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) ∧ 𝑃 β‰  π‘ˆ) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)))
17 simp11 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
18 simp123 1304 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
19 simp122 1303 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
20 simp121 1302 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
2118, 19, 203jca 1125 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴))
22 simp131 1305 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
23 simp132 1306 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
2422, 23jca 511 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴))
25 simp21 1203 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
26 simp22 1204 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
2711, 12, 13hlatexch2 38779 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑃 ≀ (𝑅 ∨ 𝑄) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
2817, 20, 18, 19, 26, 27syl131anc 1380 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ (𝑃 ≀ (𝑅 ∨ 𝑄) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
2925, 28mtod 197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑅 ∨ 𝑄))
3017hllatd 38746 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
31 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3231, 13atbase 38671 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3318, 32syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3431, 13atbase 38671 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3520, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3631, 13atbase 38671 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3719, 36syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3831, 11, 12latnlej1r 18420 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑅 β‰  𝑄)
3930, 33, 35, 37, 25, 38syl131anc 1380 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ 𝑅 β‰  𝑄)
40 simp3 1135 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃))
4111, 12, 133atlem4 38869 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑃 ≀ (𝑅 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑄) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃))
4217, 21, 24, 29, 39, 40, 41syl321anc 1389 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃))
43423expia 1118 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ (((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)))
44 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4544hllatd 38746 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
46 simpl21 1248 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4746, 34syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
48 simpl22 1249 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
4948, 36syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
50 simpl23 1250 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
5150, 32syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5231, 12latj31 18449 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃))
5345, 47, 49, 51, 52syl13anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃))
5453breq1d 5151 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ↔ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)))
5553eqeq1d 2728 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) ↔ ((𝑅 ∨ 𝑄) ∨ 𝑃) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)))
5643, 54, 553imtr4d 294 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑃)))
575, 16, 56pm2.61ne 3021 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)))
58573impia 1114 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  lecple 17210  joincjn 18273  Latclat 18393  Atomscatm 38645  HLchlt 38732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-lat 18394  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733
This theorem is referenced by:  3atlem6  38871  3atlem7  38872
  Copyright terms: Public domain W3C validator