MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leordtval 23236
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
leordtval.2 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
leordtval.3 𝐶 = ran (,)
Assertion
Ref Expression
leordtval (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐶))

Proof of Theorem leordtval
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 leordtval.1 . . 3 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
2 leordtval.2 . . 3 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
31, 2leordtval2 23235 . 2 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
4 letsr 18650 . . . 4 ≤ ∈ TosetRel
5 ledm 18647 . . . . 5 * = dom ≤
61leordtvallem1 23233 . . . . 5 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦𝑥})
71, 2leordtvallem2 23234 . . . . 5 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
8 leordtval.3 . . . . . 6 𝐶 = ran (,)
9 df-ioo 13387 . . . . . . . 8 (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦𝑦 < 𝑏)})
10 xrltnle 11325 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑎))
1110adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑎))
12 xrltnle 11325 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝑦))
1312ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝑦))
1413adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝑦))
1511, 14anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑎 < 𝑦𝑦 < 𝑏) ↔ (¬ 𝑦𝑎 ∧ ¬ 𝑏𝑦)))
1615rabbidva 3439 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦𝑦 < 𝑏)} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦𝑎 ∧ ¬ 𝑏𝑦)})
1716mpoeq3ia 7510 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦𝑦 < 𝑏)}) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦𝑎 ∧ ¬ 𝑏𝑦)})
189, 17eqtri 2762 . . . . . . 7 (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦𝑎 ∧ ¬ 𝑏𝑦)})
1918rneqi 5950 . . . . . 6 ran (,) = ran (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦𝑎 ∧ ¬ 𝑏𝑦)})
208, 19eqtri 2762 . . . . 5 𝐶 = ran (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦𝑎 ∧ ¬ 𝑏𝑦)})
215, 6, 7, 20ordtbas2 23214 . . . 4 ( ≤ ∈ TosetRel → (fi‘(𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∪ 𝐶))
224, 21ax-mp 5 . . 3 (fi‘(𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∪ 𝐶)
2322fveq2i 6909 . 2 (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) = (topGen‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐶))
243, 23eqtri 2762 1 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {crab 3432  cun 3960   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ran crn 5689  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  ficfi 9447  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  (,)cioo 13383  (,]cioc 13384  [,)cico 13385  topGenctg 17483  ordTopcordt 17545   TosetRel ctsr 18622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-topgen 17489  df-ordt 17547  df-ps 18623  df-tsr 18624  df-top 22915  df-bases 22968
This theorem is referenced by:  iocpnfordt  23238  icomnfordt  23239  iooordt  23240  pnfnei  23243  mnfnei  23244  xrtgioo  24841
  Copyright terms: Public domain W3C validator