Theorem leordtval 23161

Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
leordtval.1	⊢ 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
leordtval.2	⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
leordtval.3	⊢ 𝐶 = ran (,)

Assertion

Ref	Expression
leordtval	⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶))

Proof of Theorem leordtval

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leordtval.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
2		leordtval.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
3	1, 2	leordtval2 23160	. 2 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
4		letsr 18520	. . . 4 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
5		ledm 18517	. . . . 5 ⊢ ℝ* = dom ≤
6	1	leordtvallem1 23158	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥})
7	1, 2	leordtvallem2 23159	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})
8		leordtval.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ran (,)
9		df-ioo 13269	. . . . . . . 8 ⊢ (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏)})
10		xrltnle 11203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑎))
11	10	adantlr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑎))
12		xrltnle 11203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦))
13	12	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦))
14	13	adantll 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦))
15	11, 14	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑎 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏) ↔ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)))
16	15	rabbidva 3406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏)} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
17	16	mpoeq3ia 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏)}) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
18	9, 17	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
19	18	rneqi 5887	. . . . . 6 ⊢ ran (,) = ran (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
20	8, 19	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ran (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
21	5, 6, 7, 20	ordtbas2 23139	. . . 4 ⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → (fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶))
22	4, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶)
23	22	fveq2i 6838	. 2 ⊢ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))) = (topGen‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶))
24	3, 23	eqtri 2760	1 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3400   ∪ cun 3900   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ran crn 5626  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  ficfi 9317  +∞cpnf 11167  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  (,)cioo 13265  (,]cioc 13266  [,)cico 13267  topGenctg 17361  ordTopcordt 17424   TosetRel ctsr 18492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fi 9318  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-topgen 17367  df-ordt 17426  df-ps 18493  df-tsr 18494  df-top 22842  df-bases 22894

This theorem is referenced by:  iocpnfordt  23163  icomnfordt  23164  iooordt  23165  pnfnei  23168  mnfnei  23169  xrtgioo  24755