Theorem leordtval 23420

Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
leordtval.1	⊢ 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
leordtval.2	⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
leordtval.3	⊢ 𝐶 = ran (,)

Assertion

Ref	Expression
leordtval	⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶))

Proof of Theorem leordtval

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leordtval.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
2		leordtval.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
3	1, 2	leordtval2 23419	. 2 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
4		letsr 18671	. . . 4 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
5		ledm 18668	. . . . 5 ⊢ ℝ* = dom ≤
6	1	leordtvallem1 23417	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥})
7	1, 2	leordtvallem2 23418	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})
8		leordtval.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ran (,)
9		df-ioo 13392	. . . . . . . 8 ⊢ (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏)})
10		xrltnle 11291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑎))
11	10	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑎))
12		xrltnle 11291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦))
13	12	ancoms 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦))
14	13	adantll 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦))
15	11, 14	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑎 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏) ↔ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)))
16	15	rabbidva 3424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏)} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
17	16	mpoeq3ia 7497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏)}) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
18	9, 17	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
19	18	rneqi 5929	. . . . . 6 ⊢ ran (,) = ran (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
20	8, 19	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ran (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
21	5, 6, 7, 20	ordtbas2 23398	. . . 4 ⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → (fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶))
22	4, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶)
23	22	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))) = (topGen‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶))
24	3, 23	eqtri 2788	1 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418   ∪ cun 3904   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  ficfi 9377  +∞cpnf 11255  -∞cmnf 11256  ℝ^*cxr 11257   < clt 11258   ≤ cle 11259  (,)cioo 13388  (,]cioc 13389  [,)cico 13390  topGenctg 17512  ordTopcordt 17575   TosetRel ctsr 18643

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fi 9378  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-topgen 17518  df-ordt 17577  df-ps 18644  df-tsr 18645  df-top 23101  df-bases 23153

This theorem is used by:  iocpnfordt  23422  icomnfordt  23423  iooordt  23424  pnfnei  23427  mnfnei  23428  xrtgioo  25015