MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leordtval 21813
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
leordtval.2 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
leordtval.3 𝐶 = ran (,)
Assertion
Ref Expression
leordtval (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐶))

Proof of Theorem leordtval
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 leordtval.1 . . 3 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
2 leordtval.2 . . 3 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
31, 2leordtval2 21812 . 2 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
4 letsr 17829 . . . 4 ≤ ∈ TosetRel
5 ledm 17826 . . . . 5 * = dom ≤
61leordtvallem1 21810 . . . . 5 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦𝑥})
71, 2leordtvallem2 21811 . . . . 5 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
8 leordtval.3 . . . . . 6 𝐶 = ran (,)
9 df-ioo 12734 . . . . . . . 8 (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦𝑦 < 𝑏)})
10 xrltnle 10700 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑎))
1110adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑎))
12 xrltnle 10700 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝑦))
1312ancoms 461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝑦))
1413adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝑦))
1511, 14anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑎 < 𝑦𝑦 < 𝑏) ↔ (¬ 𝑦𝑎 ∧ ¬ 𝑏𝑦)))
1615rabbidva 3477 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦𝑦 < 𝑏)} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦𝑎 ∧ ¬ 𝑏𝑦)})
1716mpoeq3ia 7224 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦𝑦 < 𝑏)}) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦𝑎 ∧ ¬ 𝑏𝑦)})
189, 17eqtri 2842 . . . . . . 7 (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦𝑎 ∧ ¬ 𝑏𝑦)})
1918rneqi 5800 . . . . . 6 ran (,) = ran (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦𝑎 ∧ ¬ 𝑏𝑦)})
208, 19eqtri 2842 . . . . 5 𝐶 = ran (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦𝑎 ∧ ¬ 𝑏𝑦)})
215, 6, 7, 20ordtbas2 21791 . . . 4 ( ≤ ∈ TosetRel → (fi‘(𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∪ 𝐶))
224, 21ax-mp 5 . . 3 (fi‘(𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∪ 𝐶)
2322fveq2i 6666 . 2 (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) = (topGen‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐶))
243, 23eqtri 2842 1 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  {crab 3140  cun 3932   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ran crn 5549  cfv 6348  (class class class)co 7148  cmpo 7150  ficfi 8866  +∞cpnf 10664  -∞cmnf 10665  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  (,)cioo 12730  (,]cioc 12731  [,)cico 12732  topGenctg 16703  ordTopcordt 16764   TosetRel ctsr 17801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-topgen 16709  df-ordt 16766  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-top 21494  df-bases 21546
This theorem is referenced by:  iocpnfordt  21815  icomnfordt  21816  iooordt  21817  pnfnei  21820  mnfnei  21821  xrtgioo  23406
  Copyright terms: Public domain W3C validator