Theorem leordtval 23438

Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
leordtval.1	⊢ 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
leordtval.2	⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
leordtval.3	⊢ 𝐶 = ran (,)

Assertion

Ref	Expression
leordtval	⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶))

Proof of Theorem leordtval

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leordtval.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
2		leordtval.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
3	1, 2	leordtval2 23437	. 2 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
4		letsr 18681	. . . 4 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
5		ledm 18678	. . . . 5 ⊢ ℝ* = dom ≤
6	1	leordtvallem1 23435	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥})
7	1, 2	leordtvallem2 23436	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})
8		leordtval.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ran (,)
9		df-ioo 13402	. . . . . . . 8 ⊢ (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏)})
10		xrltnle 11300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑎))
11	10	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑎))
12		xrltnle 11300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦))
13	12	ancoms 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦))
14	13	adantll 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦))
15	11, 14	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑎 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏) ↔ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)))
16	15	rabbidva 3418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏)} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
17	16	mpoeq3ia 7491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏)}) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
18	9, 17	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
19	18	rneqi 5921	. . . . . 6 ⊢ ran (,) = ran (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
20	8, 19	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ran (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
21	5, 6, 7, 20	ordtbas2 23416	. . . 4 ⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → (fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶))
22	4, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶)
23	22	fveq2i 6881	. 2 ⊢ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))) = (topGen‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶))
24	3, 23	eqtri 2783	1 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412   ∪ cun 3897   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  ficfi 9380  +∞cpnf 11264  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  (,)cioo 13398  (,]cioc 13399  [,)cico 13400  topGenctg 17522  ordTopcordt 17585   TosetRel ctsr 18653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-topgen 17528  df-ordt 17587  df-ps 18654  df-tsr 18655  df-top 23119  df-bases 23171

This theorem is used by:  iocpnfordt  23440  icomnfordt  23441  iooordt  23442  pnfnei  23445  mnfnei  23446  xrtgioo  25033