MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leordtval 22646
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1 𝐴 = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞))
leordtval.2 𝐡 = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))
leordtval.3 𝐢 = ran (,)
Assertion
Ref Expression
leordtval (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆͺ 𝐢))

Proof of Theorem leordtval
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 leordtval.1 . . 3 𝐴 = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞))
2 leordtval.2 . . 3 𝐡 = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))
31, 2leordtval2 22645 . 2 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
4 letsr 18528 . . . 4 ≀ ∈ TosetRel
5 ledm 18525 . . . . 5 ℝ* = dom ≀
61leordtvallem1 22643 . . . . 5 𝐴 = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯})
71, 2leordtvallem2 22644 . . . . 5 𝐡 = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦})
8 leordtval.3 . . . . . 6 𝐢 = ran (,)
9 df-ioo 13310 . . . . . . . 8 (,) = (π‘Ž ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏)})
10 xrltnle 11263 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (π‘Ž < 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Ž))
1110adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (π‘Ž < 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Ž))
12 xrltnle 11263 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 < 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 ≀ 𝑦))
1312ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 < 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 ≀ 𝑦))
1413adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 < 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 ≀ 𝑦))
1511, 14anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘Ž < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏) ↔ (Β¬ 𝑦 ≀ π‘Ž ∧ Β¬ 𝑏 ≀ 𝑦)))
1615rabbidva 3438 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏)} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (Β¬ 𝑦 ≀ π‘Ž ∧ Β¬ 𝑏 ≀ 𝑦)})
1716mpoeq3ia 7471 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏)}) = (π‘Ž ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (Β¬ 𝑦 ≀ π‘Ž ∧ Β¬ 𝑏 ≀ 𝑦)})
189, 17eqtri 2759 . . . . . . 7 (,) = (π‘Ž ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (Β¬ 𝑦 ≀ π‘Ž ∧ Β¬ 𝑏 ≀ 𝑦)})
1918rneqi 5928 . . . . . 6 ran (,) = ran (π‘Ž ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (Β¬ 𝑦 ≀ π‘Ž ∧ Β¬ 𝑏 ≀ 𝑦)})
208, 19eqtri 2759 . . . . 5 𝐢 = ran (π‘Ž ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (Β¬ 𝑦 ≀ π‘Ž ∧ Β¬ 𝑏 ≀ 𝑦)})
215, 6, 7, 20ordtbas2 22624 . . . 4 ( ≀ ∈ TosetRel β†’ (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆͺ 𝐢))
224, 21ax-mp 5 . . 3 (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆͺ 𝐢)
2322fveq2i 6881 . 2 (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))) = (topGenβ€˜((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆͺ 𝐢))
243, 23eqtri 2759 1 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜((𝐴 βˆͺ 𝐡) βˆͺ 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3431   βˆͺ cun 3942   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670  β€˜cfv 6532  (class class class)co 7393   ∈ cmpo 7395  ficfi 9387  +∞cpnf 11227  -∞cmnf 11228  β„*cxr 11229   < clt 11230   ≀ cle 11231  (,)cioo 13306  (,]cioc 13307  [,)cico 13308  topGenctg 17365  ordTopcordt 17427   TosetRel ctsr 18500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fi 9388  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-topgen 17371  df-ordt 17429  df-ps 18501  df-tsr 18502  df-top 22325  df-bases 22378
This theorem is referenced by:  iocpnfordt  22648  icomnfordt  22649  iooordt  22650  pnfnei  22653  mnfnei  22654  xrtgioo  24251
  Copyright terms: Public domain W3C validator