Theorem leordtval 23191

Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
leordtval.1	⊢ 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
leordtval.2	⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
leordtval.3	⊢ 𝐶 = ran (,)

Assertion

Ref	Expression
leordtval	⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶))

Proof of Theorem leordtval

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leordtval.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
2		leordtval.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
3	1, 2	leordtval2 23190	. 2 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
4		letsr 18553	. . . 4 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
5		ledm 18550	. . . . 5 ⊢ ℝ* = dom ≤
6	1	leordtvallem1 23188	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥})
7	1, 2	leordtvallem2 23189	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥 ≤ 𝑦})
8		leordtval.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ran (,)
9		df-ioo 13296	. . . . . . . 8 ⊢ (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏)})
10		xrltnle 11206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑎))
11	10	adantlr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑎))
12		xrltnle 11206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦))
13	12	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦))
14	13	adantll 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦))
15	11, 14	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑎 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏) ↔ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)))
16	15	rabbidva 3396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏)} = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
17	16	mpoeq3ia 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑏)}) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
18	9, 17	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
19	18	rneqi 5887	. . . . . 6 ⊢ ran (,) = ran (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
20	8, 19	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ran (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ (¬ 𝑦 ≤ 𝑎 ∧ ¬ 𝑏 ≤ 𝑦)})
21	5, 6, 7, 20	ordtbas2 23169	. . . 4 ⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → (fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶))
22	4, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (fi‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶)
23	22	fveq2i 6838	. 2 ⊢ (topGen‘(fi‘(𝐴 ∪ 𝐵))) = (topGen‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶))
24	3, 23	eqtri 2760	1 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ∪ cun 3888   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ran crn 5626  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  ficfi 9317  +∞cpnf 11170  -∞cmnf 11171  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173   ≤ cle 11174  (,)cioo 13292  (,]cioc 13293  [,)cico 13294  topGenctg 17394  ordTopcordt 17457   TosetRel ctsr 18525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fi 9318  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-ioo 13296  df-ioc 13297  df-ico 13298  df-icc 13299  df-topgen 17400  df-ordt 17459  df-ps 18526  df-tsr 18527  df-top 22872  df-bases 22924

This theorem is referenced by:  iocpnfordt  23193  icomnfordt  23194  iooordt  23195  pnfnei  23198  mnfnei  23199  xrtgioo  24785