MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtvallem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leordtvallem2 21805
Description: Lemma for leordtval 21807. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
leordtval.2 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
Assertion
Ref Expression
leordtvallem2 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem leordtvallem2
StepHypRef Expression
1 leordtval.2 . 2 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
2 icossxr 12808 . . . . . 6 (-∞[,)𝑥) ⊆ ℝ*
3 sseqin2 4175 . . . . . 6 ((-∞[,)𝑥) ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ (-∞[,)𝑥)) = (-∞[,)𝑥))
42, 3mpbi 233 . . . . 5 (ℝ* ∩ (-∞[,)𝑥)) = (-∞[,)𝑥)
5 mnfxr 10683 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
6 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
7 elico1 12767 . . . . . . . 8 ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
85, 6, 7sylancr 590 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
9 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10 mnfle 12515 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑦)
119, 10jccir 525 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦))
1211biantrurd 536 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥)))
13 df-3an 1086 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥))
1412, 13syl6bbr 292 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
15 xrltnle 10693 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
1615ancoms 462 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
178, 14, 163bitr2d 310 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ ¬ 𝑥𝑦))
1817rabbi2dva 4177 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (ℝ* ∩ (-∞[,)𝑥)) = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
194, 18syl5eqr 2873 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝑥) = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
2019mpteq2ia 5138 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
2120rneqi 5788 . 2 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
221, 21eqtri 2847 1 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  {crab 3136  cin 3917  wss 3918   class class class wbr 5047  cmpt 5127  ran crn 5537  (class class class)co 7138  +∞cpnf 10657  -∞cmnf 10658  *cxr 10659   < clt 10660  cle 10661  (,]cioc 12725  [,)cico 12726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-ico 12730
This theorem is referenced by:  leordtval2  21806  leordtval  21807
  Copyright terms: Public domain W3C validator