MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtvallem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leordtvallem2 21434
Description: Lemma for leordtval 21436. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
leordtval.2 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
Assertion
Ref Expression
leordtvallem2 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem leordtvallem2
StepHypRef Expression
1 leordtval.2 . 2 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
2 icossxr 12575 . . . . . 6 (-∞[,)𝑥) ⊆ ℝ*
3 sseqin2 4040 . . . . . 6 ((-∞[,)𝑥) ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ (-∞[,)𝑥)) = (-∞[,)𝑥))
42, 3mpbi 222 . . . . 5 (ℝ* ∩ (-∞[,)𝑥)) = (-∞[,)𝑥)
5 mnfxr 10436 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
6 simpl 476 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
7 elico1 12535 . . . . . . . 8 ((-∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
85, 6, 7sylancr 581 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
9 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10 mnfle 12284 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑦)
119, 10jccir 517 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦))
1211biantrurd 528 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥)))
13 df-3an 1073 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥) ↔ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥))
1412, 13syl6bbr 281 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑦𝑦 < 𝑥)))
15 xrltnle 10446 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
1615ancoms 452 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
178, 14, 163bitr2d 299 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (-∞[,)𝑥) ↔ ¬ 𝑥𝑦))
1817rabbi2dva 4042 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (ℝ* ∩ (-∞[,)𝑥)) = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
194, 18syl5eqr 2828 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝑥) = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
2019mpteq2ia 4977 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
2120rneqi 5599 . 2 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
221, 21eqtri 2802 1 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  {crab 3094  cin 3791  wss 3792   class class class wbr 4888  cmpt 4967  ran crn 5358  (class class class)co 6924  +∞cpnf 10410  -∞cmnf 10411  *cxr 10412   < clt 10413  cle 10414  (,]cioc 12493  [,)cico 12494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-ico 12498
This theorem is referenced by:  leordtval2  21435  leordtval  21436
  Copyright terms: Public domain W3C validator