Theorem lfladdass 39438

Description: Associativity of functional addition. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladdcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladdcl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
lfladdcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladdcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfladdcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lfladdcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
lfladdass.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfladdass	⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f + 𝐻) ∘f + 𝐼) = (𝐺 ∘f + (𝐻 ∘f + 𝐼)))

Proof of Theorem lfladdass

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6857	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
2		lfladdcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lfladdcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lfladdcl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		lfladdcl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	lflf 39428	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
9	2, 3, 8	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
10		lfladdcl.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
11	4, 5, 6, 7	lflf 39428	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
12	2, 10, 11	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
13		lfladdass.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐹)
14	4, 5, 6, 7	lflf 39428	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝐹) → 𝐼:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
15	2, 13, 14	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
16	4	lmodring 20831	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
17		ringgrp 20185	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
18	2, 16, 17	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
19		lfladdcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
20	5, 19	grpass 18884	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
21	18, 20	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
22	1, 9, 12, 15, 21	caofass 7672	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f + 𝐻) ∘f + 𝐼) = (𝐺 ∘f + (𝐻 ∘f + 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Scalarcsca 17192  Grpcgrp 18875  Ringcrg 20180  LModclmod 20823  LFnlclfn 39422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-map 8777  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-ring 20182  df-lmod 20825  df-lfl 39423

This theorem is referenced by:  ldualgrplem  39510