Theorem lfladdass 39709

Description: Associativity of functional addition. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladdcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladdcl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
lfladdcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladdcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfladdcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lfladdcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
lfladdass.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfladdass	⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f + 𝐻) ∘f + 𝐼) = (𝐺 ∘f + (𝐻 ∘f + 𝐼)))

Proof of Theorem lfladdass

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6886	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
2		lfladdcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lfladdcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lfladdcl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		lfladdcl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	lflf 39699	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
9	2, 3, 8	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
10		lfladdcl.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
11	4, 5, 6, 7	lflf 39699	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
12	2, 10, 11	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
13		lfladdass.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐹)
14	4, 5, 6, 7	lflf 39699	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝐹) → 𝐼:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
15	2, 13, 14	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
16	4	lmodring 20958	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
17		ringgrp 20311	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
18	2, 16, 17	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
19		lfladdcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
20	5, 19	grpass 18999	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
21	18, 20	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
22	1, 9, 12, 15, 21	caofass 7704	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f + 𝐻) ∘f + 𝐼) = (𝐺 ∘f + (𝐻 ∘f + 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∘_f cof 7662  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  Scalarcsca 17303  Grpcgrp 18990  Ringcrg 20306  LModclmod 20950  LFnlclfn 39693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-map 8814  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-ring 20308  df-lmod 20952  df-lfl 39694

This theorem is referenced by:  ldualgrplem  39781