Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladdass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfladdass 39054
Description: Associativity of functional addition. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladdcl.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladdcl.p + = (+g𝑅)
lfladdcl.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladdcl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lfladdcl.g (𝜑𝐺𝐹)
lfladdcl.h (𝜑𝐻𝐹)
lfladdass.i (𝜑𝐼𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfladdass (𝜑 → ((𝐺f + 𝐻) ∘f + 𝐼) = (𝐺f + (𝐻f + 𝐼)))

Proof of Theorem lfladdass
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6921 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
2 lfladdcl.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3 lfladdcl.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
4 lfladdcl.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
5 eqid 2734 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2734 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7 lfladdcl.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
84, 5, 6, 7lflf 39044 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
92, 3, 8syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
10 lfladdcl.h . . 3 (𝜑𝐻𝐹)
114, 5, 6, 7lflf 39044 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹) → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
122, 10, 11syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
13 lfladdass.i . . 3 (𝜑𝐼𝐹)
144, 5, 6, 7lflf 39044 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝐹) → 𝐼:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
152, 13, 14syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐼:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
164lmodring 20882 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
17 ringgrp 20255 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
182, 16, 173syl 18 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
19 lfladdcl.p . . . 4 + = (+g𝑅)
205, 19grpass 18972 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
2118, 20sylan 580 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
221, 9, 12, 15, 21caofass 7735 1 (𝜑 → ((𝐺f + 𝐻) ∘f + 𝐼) = (𝐺f + (𝐻f + 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300  Grpcgrp 18963  Ringcrg 20250  LModclmod 20874  LFnlclfn 39038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-map 8866  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-ring 20252  df-lmod 20876  df-lfl 39039
This theorem is referenced by:  ldualgrplem  39126
  Copyright terms: Public domain W3C validator