Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladdass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfladdass 36089
Description: Associativity of functional addition. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladdcl.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladdcl.p + = (+g𝑅)
lfladdcl.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladdcl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lfladdcl.g (𝜑𝐺𝐹)
lfladdcl.h (𝜑𝐻𝐹)
lfladdass.i (𝜑𝐼𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfladdass (𝜑 → ((𝐺f + 𝐻) ∘f + 𝐼) = (𝐺f + (𝐻f + 𝐼)))

Proof of Theorem lfladdass
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6678 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
2 lfladdcl.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3 lfladdcl.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
4 lfladdcl.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
5 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7 lfladdcl.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
84, 5, 6, 7lflf 36079 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
92, 3, 8syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
10 lfladdcl.h . . 3 (𝜑𝐻𝐹)
114, 5, 6, 7lflf 36079 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹) → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
122, 10, 11syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
13 lfladdass.i . . 3 (𝜑𝐼𝐹)
144, 5, 6, 7lflf 36079 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝐹) → 𝐼:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
152, 13, 14syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐼:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
164lmodring 19571 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
17 ringgrp 19231 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
182, 16, 173syl 18 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
19 lfladdcl.p . . . 4 + = (+g𝑅)
205, 19grpass 18050 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
2118, 20sylan 580 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
221, 9, 12, 15, 21caofass 7432 1 (𝜑 → ((𝐺f + 𝐻) ∘f + 𝐼) = (𝐺f + (𝐻f + 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Scalarcsca 16556  Grpcgrp 18041  Ringcrg 19226  LModclmod 19563  LFnlclfn 36073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-map 8397  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-ring 19228  df-lmod 19565  df-lfl 36074
This theorem is referenced by:  ldualgrplem  36161
  Copyright terms: Public domain W3C validator