Theorem lfladdass 38247

Description: Associativity of functional addition. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladdcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladdcl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
lfladdcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladdcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfladdcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lfladdcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
lfladdass.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfladdass	⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f + 𝐻) ∘f + 𝐼) = (𝐺 ∘f + (𝐻 ∘f + 𝐼)))

Proof of Theorem lfladdass

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6907	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
2		lfladdcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lfladdcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lfladdcl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		lfladdcl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	lflf 38237	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
9	2, 3, 8	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
10		lfladdcl.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
11	4, 5, 6, 7	lflf 38237	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
12	2, 10, 11	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
13		lfladdass.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐹)
14	4, 5, 6, 7	lflf 38237	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝐹) → 𝐼:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
15	2, 13, 14	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
16	4	lmodring 20623	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
17		ringgrp 20133	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
18	2, 16, 17	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
19		lfladdcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
20	5, 19	grpass 18865	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
21	18, 20	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
22	1, 9, 12, 15, 21	caofass 7710	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f + 𝐻) ∘f + 𝐼) = (𝐺 ∘f + (𝐻 ∘f + 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7671  Basecbs 17149  +_gcplusg 17202  Scalarcsca 17205  Grpcgrp 18856  Ringcrg 20128  LModclmod 20615  LFnlclfn 38231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-map 8825  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-ring 20130  df-lmod 20617  df-lfl 38232

This theorem is referenced by:  ldualgrplem  38319