Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladdass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfladdass 39074
Description: Associativity of functional addition. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladdcl.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladdcl.p + = (+g𝑅)
lfladdcl.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladdcl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lfladdcl.g (𝜑𝐺𝐹)
lfladdcl.h (𝜑𝐻𝐹)
lfladdass.i (𝜑𝐼𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfladdass (𝜑 → ((𝐺f + 𝐻) ∘f + 𝐼) = (𝐺f + (𝐻f + 𝐼)))

Proof of Theorem lfladdass
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6921 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
2 lfladdcl.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3 lfladdcl.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
4 lfladdcl.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
5 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7 lfladdcl.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
84, 5, 6, 7lflf 39064 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
92, 3, 8syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
10 lfladdcl.h . . 3 (𝜑𝐻𝐹)
114, 5, 6, 7lflf 39064 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹) → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
122, 10, 11syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
13 lfladdass.i . . 3 (𝜑𝐼𝐹)
144, 5, 6, 7lflf 39064 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼𝐹) → 𝐼:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
152, 13, 14syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐼:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
164lmodring 20866 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
17 ringgrp 20235 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
182, 16, 173syl 18 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
19 lfladdcl.p . . . 4 + = (+g𝑅)
205, 19grpass 18960 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
2118, 20sylan 580 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
221, 9, 12, 15, 21caofass 7737 1 (𝜑 → ((𝐺f + 𝐻) ∘f + 𝐼) = (𝐺f + (𝐻f + 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300  Grpcgrp 18951  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  LFnlclfn 39058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-map 8868  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lfl 39059
This theorem is referenced by:  ldualgrplem  39146
  Copyright terms: Public domain W3C validator