Theorem lfladdass 37014

Description: Associativity of functional addition. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladdcl.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladdcl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
lfladdcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladdcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfladdcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lfladdcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
lfladdass.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfladdass	⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f + 𝐻) ∘f + 𝐼) = (𝐺 ∘f + (𝐻 ∘f + 𝐼)))

Proof of Theorem lfladdass

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6771	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
2		lfladdcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lfladdcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lfladdcl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		lfladdcl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	lflf 37004	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
9	2, 3, 8	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
10		lfladdcl.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
11	4, 5, 6, 7	lflf 37004	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
12	2, 10, 11	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
13		lfladdass.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐹)
14	4, 5, 6, 7	lflf 37004	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝐹) → 𝐼:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
15	2, 13, 14	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(Base‘𝑊)⟶(Base‘𝑅))
16	4	lmodring 20046	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
17		ringgrp 19703	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
18	2, 16, 17	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
19		lfladdcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
20	5, 19	grpass 18501	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
21	18, 20	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
22	1, 9, 12, 15, 21	caofass 7548	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f + 𝐻) ∘f + 𝐼) = (𝐺 ∘f + (𝐻 ∘f + 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891  Grpcgrp 18492  Ringcrg 19698  LModclmod 20038  LFnlclfn 36998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-map 8575  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-ring 19700  df-lmod 20040  df-lfl 36999

This theorem is referenced by:  ldualgrplem  37086