Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualgrplem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ldualgrplem 38528
Description: Lemma for ldualgrp 38529. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualgrp.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldualgrp.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
ldualgrp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ldualgrp.p + = ∘f (+gβ€˜π‘Š)
ldualgrp.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
ldualgrp.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ldualgrp.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
ldualgrp.t Γ— = (.rβ€˜π‘…)
ldualgrp.o 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
ldualgrp.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
Assertion
Ref Expression
ldualgrplem (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Grp)
Proof of Theorem ldualgrplem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ldualgrp.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
2 ldualgrp.d . . . 4 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
3 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
4 ldualgrp.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
51, 2, 3, 4ldualvbase 38509 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π·) = 𝐹)
65eqcomd 2732 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Baseβ€˜π·))
7 eqidd 2727 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·))
8 eqid 2726 . . 3 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
943ad2ant1 1130 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ π‘Š ∈ LMod)
10 simp2 1134 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ 𝐹)
11 simp3 1135 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ 𝐹)
121, 2, 8, 9, 10, 11ldualvaddcl 38513 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦) ∈ 𝐹)
13 ldualgrp.r . . . . 5 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
14 eqid 2726 . . . . 5 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
154adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 simpr2 1192 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐹)
17 simpr3 1193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐹)
181, 13, 14, 2, 8, 15, 16, 17ldualvadd 38512 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π·)𝑧) = (𝑦 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧))
1918oveq2d 7421 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑦(+gβ€˜π·)𝑧)) = (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑦 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧)))
20 simpr1 1191 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐹)
211, 2, 8, 15, 16, 17ldualvaddcl 38513 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π·)𝑧) ∈ 𝐹)
221, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 21ldualvadd 38512 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π·)(𝑦(+gβ€˜π·)𝑧)) = (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑦(+gβ€˜π·)𝑧)))
231, 2, 8, 15, 20, 16ldualvaddcl 38513 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦) ∈ 𝐹)
241, 13, 14, 2, 8, 15, 23, 17ldualvadd 38512 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦)(+gβ€˜π·)𝑧) = ((π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦) ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧))
251, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 16ldualvadd 38512 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦) = (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑦))
2625oveq1d 7420 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦) ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑦) ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧))
2713, 14, 1, 15, 20, 16, 17lfladdass 38456 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ ((π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑦) ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧) = (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑦 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧)))
2824, 26, 273eqtrd 2770 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦)(+gβ€˜π·)𝑧) = (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑦 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧)))
2919, 22, 283eqtr4rd 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦)(+gβ€˜π·)𝑧) = (π‘₯(+gβ€˜π·)(𝑦(+gβ€˜π·)𝑧)))
30 eqid 2726 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
31 ldualgrp.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3213, 30, 31, 1lfl0f 38452 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ 𝐹)
334, 32syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ 𝐹)
344adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3533adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ 𝐹)
36 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ 𝐹)
371, 13, 14, 2, 8, 34, 35, 36ldualvadd 38512 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})(+gβ€˜π·)π‘₯) = ((𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∘f (+gβ€˜π‘…)π‘₯))
3831, 13, 14, 30, 1, 34, 36lfladd0l 38457 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∘f (+gβ€˜π‘…)π‘₯) = π‘₯)
3937, 38eqtrd 2766 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})(+gβ€˜π·)π‘₯) = π‘₯)
40 eqid 2726 . . 3 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
41 eqid 2726 . . 3 (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§)))
4231, 13, 40, 41, 1, 34, 36lflnegcl 38458 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§))) ∈ 𝐹)
431, 13, 14, 2, 8, 34, 42, 36ldualvadd 38512 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§)))(+gβ€˜π·)π‘₯) = ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§))) ∘f (+gβ€˜π‘…)π‘₯))
4431, 13, 40, 41, 1, 34, 36, 14, 30lflnegl 38459 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§))) ∘f (+gβ€˜π‘…)π‘₯) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
4543, 44eqtrd 2766 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§)))(+gβ€˜π·)π‘₯) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
466, 7, 12, 29, 33, 39, 42, 45isgrpd 18888 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864  opprcoppr 20235  LModclmod 20706  LFnlclfn 38440  LDualcld 38506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lfl 38441  df-ldual 38507
This theorem is referenced by:  ldualgrp  38529
  Copyright terms: Public domain W3C validator