Theorem ldualgrplem 40202

Description: Lemma for ldualgrp 40203. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualgrp.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualgrp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualgrp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualgrp.p	⊢ + = ∘f (+g‘𝑊)
ldualgrp.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualgrp.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualgrp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualgrp.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
ldualgrp.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
ldualgrp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ldualgrplem	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)

Proof of Theorem ldualgrplem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualgrp.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		ldualgrp.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		ldualgrp.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 2, 3, 4	ldualvbase 40183	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
6	5	eqcomd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐷))
7		eqidd 2762	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷))
8		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
9	4	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
10		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
11		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ∈ 𝐹)
12	1, 2, 8, 9, 10, 11	ldualvaddcl 40187	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∈ 𝐹)
13		ldualgrp.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
14		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
16		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝐹)
17		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
18	1, 13, 14, 2, 8, 15, 16, 17	ldualvadd 40186	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑦(+g‘𝐷)𝑧) = (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
19	18	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
20		simpr1 1213	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝐹)
21	1, 2, 8, 15, 16, 17	ldualvaddcl 40187	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑦(+g‘𝐷)𝑧) ∈ 𝐹)
22	1, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 21	ldualvadd 40186	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐷)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)))
23	1, 2, 8, 15, 20, 16	ldualvaddcl 40187	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∈ 𝐹)
24	1, 13, 14, 2, 8, 15, 23, 17	ldualvadd 40186	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦)(+g‘𝐷)𝑧) = ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
25	1, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 16	ldualvadd 40186	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐷)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
26	25	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
27	13, 14, 1, 15, 20, 16, 17	lfladdass 40130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
28	24, 26, 27	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦)(+g‘𝐷)𝑧) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
29	19, 22, 28	3eqtr4rd 2807	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦)(+g‘𝐷)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐷)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)))
30		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
31		ldualgrp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
32	13, 30, 31, 1	lfl0f 40126	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∈ 𝐹)
33	4, 32	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∈ 𝐹)
34	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
35	33	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∈ 𝐹)
36		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
37	1, 13, 14, 2, 8, 34, 35, 36	ldualvadd 40186	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑉 × {(0g‘𝑅)})(+g‘𝐷)𝑥) = ((𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∘f (+g‘𝑅)𝑥))
38	31, 13, 14, 30, 1, 34, 36	lfladd0l 40131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∘f (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
39	37, 38	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑉 × {(0g‘𝑅)})(+g‘𝐷)𝑥) = 𝑥)
40		eqid 2761	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
41		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧)))
42	31, 13, 40, 41, 1, 34, 36	lflnegcl 40132	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) ∈ 𝐹)
43	1, 13, 14, 2, 8, 34, 42, 36	ldualvadd 40186	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧)))(+g‘𝐷)𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) ∘f (+g‘𝑅)𝑥))
44	31, 13, 40, 41, 1, 34, 36, 14, 30	lflnegl 40133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) ∘f (+g‘𝑅)𝑥) = (𝑉 × {(0g‘𝑅)}))
45	43, 44	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧)))(+g‘𝐷)𝑥) = (𝑉 × {(0g‘𝑅)}))
46	6, 7, 12, 29, 33, 39, 42, 45	isgrpd 19169	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  0_gc0g 17610  Grpcgrp 19144  inv_gcminusg 19145  opp_rcoppr 20566  LModclmod 21135  LFnlclfn 40114  LDualcld 40180

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-lmod 21137  df-lfl 40115  df-ldual 40181

This theorem is used by:  ldualgrp  40203