Theorem ldualgrplem 39769

Description: Lemma for ldualgrp 39770. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualgrp.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualgrp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualgrp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualgrp.p	⊢ + = ∘f (+g‘𝑊)
ldualgrp.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualgrp.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualgrp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualgrp.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
ldualgrp.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
ldualgrp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ldualgrplem	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)

Proof of Theorem ldualgrplem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualgrp.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		ldualgrp.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		ldualgrp.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 2, 3, 4	ldualvbase 39750	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
6	5	eqcomd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐷))
7		eqidd 2763	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷))
8		eqid 2762	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
9	4	3ad2ant1 1146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
10		simp2 1150	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
11		simp3 1151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ∈ 𝐹)
12	1, 2, 8, 9, 10, 11	ldualvaddcl 39754	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∈ 𝐹)
13		ldualgrp.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
14		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	4	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
16		simpr2 1209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝐹)
17		simpr3 1210	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
18	1, 13, 14, 2, 8, 15, 16, 17	ldualvadd 39753	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑦(+g‘𝐷)𝑧) = (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
19	18	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
20		simpr1 1208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝐹)
21	1, 2, 8, 15, 16, 17	ldualvaddcl 39754	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑦(+g‘𝐷)𝑧) ∈ 𝐹)
22	1, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 21	ldualvadd 39753	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐷)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)))
23	1, 2, 8, 15, 20, 16	ldualvaddcl 39754	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∈ 𝐹)
24	1, 13, 14, 2, 8, 15, 23, 17	ldualvadd 39753	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦)(+g‘𝐷)𝑧) = ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
25	1, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 16	ldualvadd 39753	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐷)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
26	25	oveq1d 7411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
27	13, 14, 1, 15, 20, 16, 17	lfladdass 39697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
28	24, 26, 27	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦)(+g‘𝐷)𝑧) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
29	19, 22, 28	3eqtr4rd 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦)(+g‘𝐷)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐷)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)))
30		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
31		ldualgrp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
32	13, 30, 31, 1	lfl0f 39693	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∈ 𝐹)
33	4, 32	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∈ 𝐹)
34	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
35	33	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∈ 𝐹)
36		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
37	1, 13, 14, 2, 8, 34, 35, 36	ldualvadd 39753	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑉 × {(0g‘𝑅)})(+g‘𝐷)𝑥) = ((𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∘f (+g‘𝑅)𝑥))
38	31, 13, 14, 30, 1, 34, 36	lfladd0l 39698	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∘f (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
39	37, 38	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑉 × {(0g‘𝑅)})(+g‘𝐷)𝑥) = 𝑥)
40		eqid 2762	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
41		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧)))
42	31, 13, 40, 41, 1, 34, 36	lflnegcl 39699	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) ∈ 𝐹)
43	1, 13, 14, 2, 8, 34, 42, 36	ldualvadd 39753	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧)))(+g‘𝐷)𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) ∘f (+g‘𝑅)𝑥))
44	31, 13, 40, 41, 1, 34, 36, 14, 30	lflnegl 39700	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) ∘f (+g‘𝑅)𝑥) = (𝑉 × {(0g‘𝑅)}))
45	43, 44	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧)))(+g‘𝐷)𝑥) = (𝑉 × {(0g‘𝑅)}))
46	6, 7, 12, 29, 33, 39, 42, 45	isgrpd 19000	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {csn 4582   ↦ cmpt 5181   × cxp 5645  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∘_f cof 7658  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  ._rcmulr 17287  Scalarcsca 17289   ·_𝑠 cvsca 17290  0_gc0g 17468  Grpcgrp 18975  inv_gcminusg 18976  opp_rcoppr 20385  LModclmod 20927  LFnlclfn 39681  LDualcld 39747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-lmod 20929  df-lfl 39682  df-ldual 39748

This theorem is referenced by:  ldualgrp  39770