Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualgrplem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ldualgrplem 38003
Description: Lemma for ldualgrp 38004. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualgrp.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldualgrp.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
ldualgrp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ldualgrp.p + = ∘f (+gβ€˜π‘Š)
ldualgrp.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
ldualgrp.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ldualgrp.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
ldualgrp.t Γ— = (.rβ€˜π‘…)
ldualgrp.o 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
ldualgrp.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
Assertion
Ref Expression
ldualgrplem (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Grp)
Proof of Theorem ldualgrplem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ldualgrp.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
2 ldualgrp.d . . . 4 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
3 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
4 ldualgrp.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
51, 2, 3, 4ldualvbase 37984 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π·) = 𝐹)
65eqcomd 2738 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Baseβ€˜π·))
7 eqidd 2733 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·))
8 eqid 2732 . . 3 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
943ad2ant1 1133 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ π‘Š ∈ LMod)
10 simp2 1137 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ 𝐹)
11 simp3 1138 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ 𝐹)
121, 2, 8, 9, 10, 11ldualvaddcl 37988 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦) ∈ 𝐹)
13 ldualgrp.r . . . . 5 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
14 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
154adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 simpr2 1195 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐹)
17 simpr3 1196 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐹)
181, 13, 14, 2, 8, 15, 16, 17ldualvadd 37987 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π·)𝑧) = (𝑦 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧))
1918oveq2d 7421 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑦(+gβ€˜π·)𝑧)) = (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑦 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧)))
20 simpr1 1194 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐹)
211, 2, 8, 15, 16, 17ldualvaddcl 37988 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π·)𝑧) ∈ 𝐹)
221, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 21ldualvadd 37987 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π·)(𝑦(+gβ€˜π·)𝑧)) = (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑦(+gβ€˜π·)𝑧)))
231, 2, 8, 15, 20, 16ldualvaddcl 37988 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦) ∈ 𝐹)
241, 13, 14, 2, 8, 15, 23, 17ldualvadd 37987 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦)(+gβ€˜π·)𝑧) = ((π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦) ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧))
251, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 16ldualvadd 37987 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦) = (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑦))
2625oveq1d 7420 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦) ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑦) ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧))
2713, 14, 1, 15, 20, 16, 17lfladdass 37931 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ ((π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑦) ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧) = (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑦 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧)))
2824, 26, 273eqtrd 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦)(+gβ€˜π·)𝑧) = (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑦 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧)))
2919, 22, 283eqtr4rd 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦)(+gβ€˜π·)𝑧) = (π‘₯(+gβ€˜π·)(𝑦(+gβ€˜π·)𝑧)))
30 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
31 ldualgrp.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3213, 30, 31, 1lfl0f 37927 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ 𝐹)
334, 32syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ 𝐹)
344adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3533adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ 𝐹)
36 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ 𝐹)
371, 13, 14, 2, 8, 34, 35, 36ldualvadd 37987 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})(+gβ€˜π·)π‘₯) = ((𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∘f (+gβ€˜π‘…)π‘₯))
3831, 13, 14, 30, 1, 34, 36lfladd0l 37932 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∘f (+gβ€˜π‘…)π‘₯) = π‘₯)
3937, 38eqtrd 2772 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})(+gβ€˜π·)π‘₯) = π‘₯)
40 eqid 2732 . . 3 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
41 eqid 2732 . . 3 (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§)))
4231, 13, 40, 41, 1, 34, 36lflnegcl 37933 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§))) ∈ 𝐹)
431, 13, 14, 2, 8, 34, 42, 36ldualvadd 37987 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§)))(+gβ€˜π·)π‘₯) = ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§))) ∘f (+gβ€˜π‘…)π‘₯))
4431, 13, 40, 41, 1, 34, 36, 14, 30lflnegl 37934 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§))) ∘f (+gβ€˜π‘…)π‘₯) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
4543, 44eqtrd 2772 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§)))(+gβ€˜π·)π‘₯) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
466, 7, 12, 29, 33, 39, 42, 45isgrpd 18840 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816  opprcoppr 20141  LModclmod 20463  LFnlclfn 37915  LDualcld 37981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lfl 37916  df-ldual 37982
This theorem is referenced by:  ldualgrp  38004
  Copyright terms: Public domain W3C validator