Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualgrplem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ldualgrplem 38672
Description: Lemma for ldualgrp 38673. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualgrp.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldualgrp.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
ldualgrp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ldualgrp.p + = ∘f (+gβ€˜π‘Š)
ldualgrp.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
ldualgrp.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ldualgrp.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
ldualgrp.t Γ— = (.rβ€˜π‘…)
ldualgrp.o 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
ldualgrp.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
Assertion
Ref Expression
ldualgrplem (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Grp)
Proof of Theorem ldualgrplem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ldualgrp.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
2 ldualgrp.d . . . 4 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
3 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
4 ldualgrp.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
51, 2, 3, 4ldualvbase 38653 . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π·) = 𝐹)
65eqcomd 2731 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Baseβ€˜π·))
7 eqidd 2726 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·))
8 eqid 2725 . . 3 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
943ad2ant1 1130 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ π‘Š ∈ LMod)
10 simp2 1134 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ 𝐹)
11 simp3 1135 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ 𝐹)
121, 2, 8, 9, 10, 11ldualvaddcl 38657 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦) ∈ 𝐹)
13 ldualgrp.r . . . . 5 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
14 eqid 2725 . . . . 5 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
154adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 simpr2 1192 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐹)
17 simpr3 1193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐹)
181, 13, 14, 2, 8, 15, 16, 17ldualvadd 38656 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π·)𝑧) = (𝑦 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧))
1918oveq2d 7431 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑦(+gβ€˜π·)𝑧)) = (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑦 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧)))
20 simpr1 1191 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐹)
211, 2, 8, 15, 16, 17ldualvaddcl 38657 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π·)𝑧) ∈ 𝐹)
221, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 21ldualvadd 38656 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π·)(𝑦(+gβ€˜π·)𝑧)) = (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑦(+gβ€˜π·)𝑧)))
231, 2, 8, 15, 20, 16ldualvaddcl 38657 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦) ∈ 𝐹)
241, 13, 14, 2, 8, 15, 23, 17ldualvadd 38656 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦)(+gβ€˜π·)𝑧) = ((π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦) ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧))
251, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 16ldualvadd 38656 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦) = (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑦))
2625oveq1d 7430 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦) ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑦) ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧))
2713, 14, 1, 15, 20, 16, 17lfladdass 38600 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ ((π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑦) ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧) = (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑦 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧)))
2824, 26, 273eqtrd 2769 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦)(+gβ€˜π·)𝑧) = (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑦 ∘f (+gβ€˜π‘…)𝑧)))
2919, 22, 283eqtr4rd 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π·)𝑦)(+gβ€˜π·)𝑧) = (π‘₯(+gβ€˜π·)(𝑦(+gβ€˜π·)𝑧)))
30 eqid 2725 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
31 ldualgrp.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3213, 30, 31, 1lfl0f 38596 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ 𝐹)
334, 32syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ 𝐹)
344adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3533adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ 𝐹)
36 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ 𝐹)
371, 13, 14, 2, 8, 34, 35, 36ldualvadd 38656 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})(+gβ€˜π·)π‘₯) = ((𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∘f (+gβ€˜π‘…)π‘₯))
3831, 13, 14, 30, 1, 34, 36lfladd0l 38601 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∘f (+gβ€˜π‘…)π‘₯) = π‘₯)
3937, 38eqtrd 2765 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})(+gβ€˜π·)π‘₯) = π‘₯)
40 eqid 2725 . . 3 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
41 eqid 2725 . . 3 (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§)))
4231, 13, 40, 41, 1, 34, 36lflnegcl 38602 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§))) ∈ 𝐹)
431, 13, 14, 2, 8, 34, 42, 36ldualvadd 38656 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§)))(+gβ€˜π·)π‘₯) = ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§))) ∘f (+gβ€˜π‘…)π‘₯))
4431, 13, 40, 41, 1, 34, 36, 14, 30lflnegl 38603 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§))) ∘f (+gβ€˜π‘…)π‘₯) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
4543, 44eqtrd 2765 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯β€˜π‘§)))(+gβ€˜π·)π‘₯) = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
466, 7, 12, 29, 33, 39, 42, 45isgrpd 18917 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4624   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∘f cof 7679  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  .rcmulr 17231  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  0gc0g 17418  Grpcgrp 18892  invgcminusg 18893  opprcoppr 20274  LModclmod 20745  LFnlclfn 38584  LDualcld 38650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-lmod 20747  df-lfl 38585  df-ldual 38651
This theorem is referenced by:  ldualgrp  38673
  Copyright terms: Public domain W3C validator