Theorem ldualgrplem 39591

Description: Lemma for ldualgrp 39592. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualgrp.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualgrp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualgrp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualgrp.p	⊢ + = ∘f (+g‘𝑊)
ldualgrp.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualgrp.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualgrp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualgrp.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
ldualgrp.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
ldualgrp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ldualgrplem	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)

Proof of Theorem ldualgrplem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualgrp.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		ldualgrp.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		ldualgrp.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 2, 3, 4	ldualvbase 39572	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
6	5	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐷))
7		eqidd 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷))
8		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
9	4	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
10		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
11		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ∈ 𝐹)
12	1, 2, 8, 9, 10, 11	ldualvaddcl 39576	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∈ 𝐹)
13		ldualgrp.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
14		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
16		simpr2 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝐹)
17		simpr3 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
18	1, 13, 14, 2, 8, 15, 16, 17	ldualvadd 39575	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑦(+g‘𝐷)𝑧) = (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
19	18	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
20		simpr1 1196	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝐹)
21	1, 2, 8, 15, 16, 17	ldualvaddcl 39576	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑦(+g‘𝐷)𝑧) ∈ 𝐹)
22	1, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 21	ldualvadd 39575	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐷)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)))
23	1, 2, 8, 15, 20, 16	ldualvaddcl 39576	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∈ 𝐹)
24	1, 13, 14, 2, 8, 15, 23, 17	ldualvadd 39575	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦)(+g‘𝐷)𝑧) = ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
25	1, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 16	ldualvadd 39575	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐷)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
26	25	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
27	13, 14, 1, 15, 20, 16, 17	lfladdass 39519	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
28	24, 26, 27	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦)(+g‘𝐷)𝑧) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
29	19, 22, 28	3eqtr4rd 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦)(+g‘𝐷)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐷)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)))
30		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
31		ldualgrp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
32	13, 30, 31, 1	lfl0f 39515	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∈ 𝐹)
33	4, 32	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∈ 𝐹)
34	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
35	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∈ 𝐹)
36		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
37	1, 13, 14, 2, 8, 34, 35, 36	ldualvadd 39575	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑉 × {(0g‘𝑅)})(+g‘𝐷)𝑥) = ((𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∘f (+g‘𝑅)𝑥))
38	31, 13, 14, 30, 1, 34, 36	lfladd0l 39520	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∘f (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
39	37, 38	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑉 × {(0g‘𝑅)})(+g‘𝐷)𝑥) = 𝑥)
40		eqid 2736	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
41		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧)))
42	31, 13, 40, 41, 1, 34, 36	lflnegcl 39521	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) ∈ 𝐹)
43	1, 13, 14, 2, 8, 34, 42, 36	ldualvadd 39575	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧)))(+g‘𝐷)𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) ∘f (+g‘𝑅)𝑥))
44	31, 13, 40, 41, 1, 34, 36, 14, 30	lflnegl 39522	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) ∘f (+g‘𝑅)𝑥) = (𝑉 × {(0g‘𝑅)}))
45	43, 44	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧)))(+g‘𝐷)𝑥) = (𝑉 × {(0g‘𝑅)}))
46	6, 7, 12, 29, 33, 39, 42, 45	isgrpd 18934	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4567   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18909  inv_gcminusg 18910  opp_rcoppr 20316  LModclmod 20855  LFnlclfn 39503  LDualcld 39569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lfl 39504  df-ldual 39570

This theorem is referenced by:  ldualgrp  39592