Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualgrplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualgrplem 38744
Description: Lemma for ldualgrp 38745. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualgrp.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualgrp.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualgrp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualgrp.p + = ∘f (+g𝑊)
ldualgrp.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualgrp.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualgrp.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualgrp.t × = (.r𝑅)
ldualgrp.o 𝑂 = (oppr𝑅)
ldualgrp.s · = ( ·𝑠𝐷)
Assertion
Ref Expression
ldualgrplem (𝜑𝐷 ∈ Grp)

Proof of Theorem ldualgrplem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ldualgrp.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2 ldualgrp.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
3 eqid 2725 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4 ldualgrp.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
51, 2, 3, 4ldualvbase 38725 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
65eqcomd 2731 . 2 (𝜑𝐹 = (Base‘𝐷))
7 eqidd 2726 . 2 (𝜑 → (+g𝐷) = (+g𝐷))
8 eqid 2725 . . 3 (+g𝐷) = (+g𝐷)
943ad2ant1 1130 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹𝑦𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
10 simp2 1134 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹𝑦𝐹) → 𝑥𝐹)
11 simp3 1135 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹𝑦𝐹) → 𝑦𝐹)
121, 2, 8, 9, 10, 11ldualvaddcl 38729 . 2 ((𝜑𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥(+g𝐷)𝑦) ∈ 𝐹)
13 ldualgrp.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
14 eqid 2725 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
154adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
16 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑦𝐹)
17 simpr3 1193 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑧𝐹)
181, 13, 14, 2, 8, 15, 16, 17ldualvadd 38728 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑦(+g𝐷)𝑧) = (𝑦f (+g𝑅)𝑧))
1918oveq2d 7435 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑥f (+g𝑅)(𝑦(+g𝐷)𝑧)) = (𝑥f (+g𝑅)(𝑦f (+g𝑅)𝑧)))
20 simpr1 1191 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑥𝐹)
211, 2, 8, 15, 16, 17ldualvaddcl 38729 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑦(+g𝐷)𝑧) ∈ 𝐹)
221, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 21ldualvadd 38728 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑥(+g𝐷)(𝑦(+g𝐷)𝑧)) = (𝑥f (+g𝑅)(𝑦(+g𝐷)𝑧)))
231, 2, 8, 15, 20, 16ldualvaddcl 38729 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑥(+g𝐷)𝑦) ∈ 𝐹)
241, 13, 14, 2, 8, 15, 23, 17ldualvadd 38728 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → ((𝑥(+g𝐷)𝑦)(+g𝐷)𝑧) = ((𝑥(+g𝐷)𝑦) ∘f (+g𝑅)𝑧))
251, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 16ldualvadd 38728 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑥(+g𝐷)𝑦) = (𝑥f (+g𝑅)𝑦))
2625oveq1d 7434 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → ((𝑥(+g𝐷)𝑦) ∘f (+g𝑅)𝑧) = ((𝑥f (+g𝑅)𝑦) ∘f (+g𝑅)𝑧))
2713, 14, 1, 15, 20, 16, 17lfladdass 38672 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → ((𝑥f (+g𝑅)𝑦) ∘f (+g𝑅)𝑧) = (𝑥f (+g𝑅)(𝑦f (+g𝑅)𝑧)))
2824, 26, 273eqtrd 2769 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → ((𝑥(+g𝐷)𝑦)(+g𝐷)𝑧) = (𝑥f (+g𝑅)(𝑦f (+g𝑅)𝑧)))
2919, 22, 283eqtr4rd 2776 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → ((𝑥(+g𝐷)𝑦)(+g𝐷)𝑧) = (𝑥(+g𝐷)(𝑦(+g𝐷)𝑧)))
30 eqid 2725 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
31 ldualgrp.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
3213, 30, 31, 1lfl0f 38668 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × {(0g𝑅)}) ∈ 𝐹)
334, 32syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑉 × {(0g𝑅)}) ∈ 𝐹)
344adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
3533adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐹) → (𝑉 × {(0g𝑅)}) ∈ 𝐹)
36 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐹) → 𝑥𝐹)
371, 13, 14, 2, 8, 34, 35, 36ldualvadd 38728 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹) → ((𝑉 × {(0g𝑅)})(+g𝐷)𝑥) = ((𝑉 × {(0g𝑅)}) ∘f (+g𝑅)𝑥))
3831, 13, 14, 30, 1, 34, 36lfladd0l 38673 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹) → ((𝑉 × {(0g𝑅)}) ∘f (+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
3937, 38eqtrd 2765 . 2 ((𝜑𝑥𝐹) → ((𝑉 × {(0g𝑅)})(+g𝐷)𝑥) = 𝑥)
40 eqid 2725 . . 3 (invg𝑅) = (invg𝑅)
41 eqid 2725 . . 3 (𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧))) = (𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧)))
4231, 13, 40, 41, 1, 34, 36lflnegcl 38674 . 2 ((𝜑𝑥𝐹) → (𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧))) ∈ 𝐹)
431, 13, 14, 2, 8, 34, 42, 36ldualvadd 38728 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹) → ((𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧)))(+g𝐷)𝑥) = ((𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧))) ∘f (+g𝑅)𝑥))
4431, 13, 40, 41, 1, 34, 36, 14, 30lflnegl 38675 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹) → ((𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧))) ∘f (+g𝑅)𝑥) = (𝑉 × {(0g𝑅)}))
4543, 44eqtrd 2765 . 2 ((𝜑𝑥𝐹) → ((𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧)))(+g𝐷)𝑥) = (𝑉 × {(0g𝑅)}))
466, 7, 12, 29, 33, 39, 42, 45isgrpd 18923 1 (𝜑𝐷 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4630  cmpt 5232   × cxp 5676  cfv 6549  (class class class)co 7419  f cof 7683  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  .rcmulr 17237  Scalarcsca 17239   ·𝑠 cvsca 17240  0gc0g 17424  Grpcgrp 18898  invgcminusg 18899  opprcoppr 20284  LModclmod 20755  LFnlclfn 38656  LDualcld 38722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-lmod 20757  df-lfl 38657  df-ldual 38723
This theorem is referenced by:  ldualgrp  38745
  Copyright terms: Public domain W3C validator