Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualgrplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualgrplem 39146
Description: Lemma for ldualgrp 39147. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualgrp.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualgrp.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualgrp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualgrp.p + = ∘f (+g𝑊)
ldualgrp.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualgrp.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualgrp.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualgrp.t × = (.r𝑅)
ldualgrp.o 𝑂 = (oppr𝑅)
ldualgrp.s · = ( ·𝑠𝐷)
Assertion
Ref Expression
ldualgrplem (𝜑𝐷 ∈ Grp)

Proof of Theorem ldualgrplem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ldualgrp.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2 ldualgrp.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
3 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4 ldualgrp.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
51, 2, 3, 4ldualvbase 39127 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
65eqcomd 2743 . 2 (𝜑𝐹 = (Base‘𝐷))
7 eqidd 2738 . 2 (𝜑 → (+g𝐷) = (+g𝐷))
8 eqid 2737 . . 3 (+g𝐷) = (+g𝐷)
943ad2ant1 1134 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹𝑦𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
10 simp2 1138 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹𝑦𝐹) → 𝑥𝐹)
11 simp3 1139 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹𝑦𝐹) → 𝑦𝐹)
121, 2, 8, 9, 10, 11ldualvaddcl 39131 . 2 ((𝜑𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥(+g𝐷)𝑦) ∈ 𝐹)
13 ldualgrp.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
14 eqid 2737 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
154adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
16 simpr2 1196 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑦𝐹)
17 simpr3 1197 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑧𝐹)
181, 13, 14, 2, 8, 15, 16, 17ldualvadd 39130 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑦(+g𝐷)𝑧) = (𝑦f (+g𝑅)𝑧))
1918oveq2d 7447 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑥f (+g𝑅)(𝑦(+g𝐷)𝑧)) = (𝑥f (+g𝑅)(𝑦f (+g𝑅)𝑧)))
20 simpr1 1195 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑥𝐹)
211, 2, 8, 15, 16, 17ldualvaddcl 39131 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑦(+g𝐷)𝑧) ∈ 𝐹)
221, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 21ldualvadd 39130 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑥(+g𝐷)(𝑦(+g𝐷)𝑧)) = (𝑥f (+g𝑅)(𝑦(+g𝐷)𝑧)))
231, 2, 8, 15, 20, 16ldualvaddcl 39131 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑥(+g𝐷)𝑦) ∈ 𝐹)
241, 13, 14, 2, 8, 15, 23, 17ldualvadd 39130 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → ((𝑥(+g𝐷)𝑦)(+g𝐷)𝑧) = ((𝑥(+g𝐷)𝑦) ∘f (+g𝑅)𝑧))
251, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 16ldualvadd 39130 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑥(+g𝐷)𝑦) = (𝑥f (+g𝑅)𝑦))
2625oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → ((𝑥(+g𝐷)𝑦) ∘f (+g𝑅)𝑧) = ((𝑥f (+g𝑅)𝑦) ∘f (+g𝑅)𝑧))
2713, 14, 1, 15, 20, 16, 17lfladdass 39074 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → ((𝑥f (+g𝑅)𝑦) ∘f (+g𝑅)𝑧) = (𝑥f (+g𝑅)(𝑦f (+g𝑅)𝑧)))
2824, 26, 273eqtrd 2781 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → ((𝑥(+g𝐷)𝑦)(+g𝐷)𝑧) = (𝑥f (+g𝑅)(𝑦f (+g𝑅)𝑧)))
2919, 22, 283eqtr4rd 2788 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹)) → ((𝑥(+g𝐷)𝑦)(+g𝐷)𝑧) = (𝑥(+g𝐷)(𝑦(+g𝐷)𝑧)))
30 eqid 2737 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
31 ldualgrp.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
3213, 30, 31, 1lfl0f 39070 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × {(0g𝑅)}) ∈ 𝐹)
334, 32syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑉 × {(0g𝑅)}) ∈ 𝐹)
344adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
3533adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐹) → (𝑉 × {(0g𝑅)}) ∈ 𝐹)
36 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐹) → 𝑥𝐹)
371, 13, 14, 2, 8, 34, 35, 36ldualvadd 39130 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹) → ((𝑉 × {(0g𝑅)})(+g𝐷)𝑥) = ((𝑉 × {(0g𝑅)}) ∘f (+g𝑅)𝑥))
3831, 13, 14, 30, 1, 34, 36lfladd0l 39075 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹) → ((𝑉 × {(0g𝑅)}) ∘f (+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
3937, 38eqtrd 2777 . 2 ((𝜑𝑥𝐹) → ((𝑉 × {(0g𝑅)})(+g𝐷)𝑥) = 𝑥)
40 eqid 2737 . . 3 (invg𝑅) = (invg𝑅)
41 eqid 2737 . . 3 (𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧))) = (𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧)))
4231, 13, 40, 41, 1, 34, 36lflnegcl 39076 . 2 ((𝜑𝑥𝐹) → (𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧))) ∈ 𝐹)
431, 13, 14, 2, 8, 34, 42, 36ldualvadd 39130 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹) → ((𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧)))(+g𝐷)𝑥) = ((𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧))) ∘f (+g𝑅)𝑥))
4431, 13, 40, 41, 1, 34, 36, 14, 30lflnegl 39077 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹) → ((𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧))) ∘f (+g𝑅)𝑥) = (𝑉 × {(0g𝑅)}))
4543, 44eqtrd 2777 . 2 ((𝜑𝑥𝐹) → ((𝑧𝑉 ↦ ((invg𝑅)‘(𝑥𝑧)))(+g𝐷)𝑥) = (𝑉 × {(0g𝑅)}))
466, 7, 12, 29, 33, 39, 42, 45isgrpd 18976 1 (𝜑𝐷 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {csn 4626  cmpt 5225   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  opprcoppr 20333  LModclmod 20858  LFnlclfn 39058  LDualcld 39124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lfl 39059  df-ldual 39125
This theorem is referenced by:  ldualgrp  39147
  Copyright terms: Public domain W3C validator