Theorem ldualgrplem 39127

Description: Lemma for ldualgrp 39128. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualgrp.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualgrp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualgrp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualgrp.p	⊢ + = ∘f (+g‘𝑊)
ldualgrp.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualgrp.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualgrp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualgrp.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
ldualgrp.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
ldualgrp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ldualgrplem	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)

Proof of Theorem ldualgrplem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualgrp.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		ldualgrp.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		ldualgrp.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 2, 3, 4	ldualvbase 39108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
6	5	eqcomd 2741	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐷))
7		eqidd 2736	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷))
8		eqid 2735	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
9	4	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
10		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
11		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ∈ 𝐹)
12	1, 2, 8, 9, 10, 11	ldualvaddcl 39112	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∈ 𝐹)
13		ldualgrp.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
14		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
16		simpr2 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝐹)
17		simpr3 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
18	1, 13, 14, 2, 8, 15, 16, 17	ldualvadd 39111	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑦(+g‘𝐷)𝑧) = (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
19	18	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
20		simpr1 1193	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝐹)
21	1, 2, 8, 15, 16, 17	ldualvaddcl 39112	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑦(+g‘𝐷)𝑧) ∈ 𝐹)
22	1, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 21	ldualvadd 39111	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐷)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)))
23	1, 2, 8, 15, 20, 16	ldualvaddcl 39112	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∈ 𝐹)
24	1, 13, 14, 2, 8, 15, 23, 17	ldualvadd 39111	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦)(+g‘𝐷)𝑧) = ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
25	1, 13, 14, 2, 8, 15, 20, 16	ldualvadd 39111	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐷)𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
26	25	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
27	13, 14, 1, 15, 20, 16, 17	lfladdass 39055	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∘f (+g‘𝑅)𝑧) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
28	24, 26, 27	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦)(+g‘𝐷)𝑧) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)))
29	19, 22, 28	3eqtr4rd 2786	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝐷)𝑦)(+g‘𝐷)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐷)(𝑦(+g‘𝐷)𝑧)))
30		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
31		ldualgrp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
32	13, 30, 31, 1	lfl0f 39051	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∈ 𝐹)
33	4, 32	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∈ 𝐹)
34	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
35	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∈ 𝐹)
36		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
37	1, 13, 14, 2, 8, 34, 35, 36	ldualvadd 39111	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑉 × {(0g‘𝑅)})(+g‘𝐷)𝑥) = ((𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∘f (+g‘𝑅)𝑥))
38	31, 13, 14, 30, 1, 34, 36	lfladd0l 39056	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑉 × {(0g‘𝑅)}) ∘f (+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
39	37, 38	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑉 × {(0g‘𝑅)})(+g‘𝐷)𝑥) = 𝑥)
40		eqid 2735	. . 3 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
41		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧)))
42	31, 13, 40, 41, 1, 34, 36	lflnegcl 39057	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) ∈ 𝐹)
43	1, 13, 14, 2, 8, 34, 42, 36	ldualvadd 39111	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧)))(+g‘𝐷)𝑥) = ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) ∘f (+g‘𝑅)𝑥))
44	31, 13, 40, 41, 1, 34, 36, 14, 30	lflnegl 39058	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧))) ∘f (+g‘𝑅)𝑥) = (𝑉 × {(0g‘𝑅)}))
45	43, 44	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((𝑧 ∈ 𝑉 ↦ ((invg‘𝑅)‘(𝑥‘𝑧)))(+g‘𝐷)𝑥) = (𝑉 × {(0g‘𝑅)}))
46	6, 7, 12, 29, 33, 39, 42, 45	isgrpd 18989	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {csn 4631   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964  inv_gcminusg 18965  opp_rcoppr 20350  LModclmod 20875  LFnlclfn 39039  LDualcld 39105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lfl 39040  df-ldual 39106

This theorem is referenced by:  ldualgrp  39128