Theorem lflf 40386

Description: A linear functional is a function from vectors to scalars. (lnfnfi 32700 analog.) (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflf.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflf.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflf.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lflf	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)

Proof of Theorem lflf

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		lflf.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		lflf.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
7		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
8		lflf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islfl 40383	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ 𝐹 ↔ (𝐺:𝑉⟶𝐾 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)))))
10	9	simprbda 504	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  ._rcmulr 17473  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  LFnlclfn 40380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-map 8887  df-lfl 40381

This theorem is used by:  lflcl  40387  lfl1  40393  lfladdcl  40394  lfladdcom  40395  lfladdass  40396  lfladd0l  40397  lflnegl  40399  lflvscl  40400  lflvsdi1  40401  lflvsdi2  40402  lflvsass  40404  lfl0sc  40405  lfl1sc  40407  ellkr  40412  lkr0f  40417  lkrsc  40420  eqlkr2  40423  eqlkr3  40424  ldualvaddval  40454  ldualvsval  40461