Theorem lflf 39640

Description: A linear functional is a function from vectors to scalars. (lnfnfi 32188 analog.) (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflf.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflf.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflf.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lflf	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)

Proof of Theorem lflf

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		lflf.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		lflf.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
6		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
7		eqid 2761	. . 3 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
8		lflf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islfl 39637	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ 𝐹 ↔ (𝐺:𝑉⟶𝐾 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)))))
10	9	simprbda 502	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17226  +_gcplusg 17267  ._rcmulr 17268  Scalarcsca 17270   ·_𝑠 cvsca 17271  LFnlclfn 39634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8803  df-lfl 39635

This theorem is referenced by:  lflcl  39641  lfl1  39647  lfladdcl  39648  lfladdcom  39649  lfladdass  39650  lfladd0l  39651  lflnegl  39653  lflvscl  39654  lflvsdi1  39655  lflvsdi2  39656  lflvsass  39658  lfl0sc  39659  lfl1sc  39661  ellkr  39666  lkr0f  39671  lkrsc  39674  eqlkr2  39677  eqlkr3  39678  ldualvaddval  39708  ldualvsval  39715