Theorem lflf 39262

Description: A linear functional is a function from vectors to scalars. (lnfnfi 32065 analog.) (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflf.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflf.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflf.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lflf	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)

Proof of Theorem lflf

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		lflf.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		lflf.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
6		eqid 2734	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
7		eqid 2734	. . 3 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
8		lflf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islfl 39259	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ 𝐹 ↔ (𝐺:𝑉⟶𝐾 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)))))
10	9	simprbda 498	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  ._rcmulr 17176  Scalarcsca 17178   ·_𝑠 cvsca 17179  LFnlclfn 39256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8763  df-lfl 39257

This theorem is referenced by:  lflcl  39263  lfl1  39269  lfladdcl  39270  lfladdcom  39271  lfladdass  39272  lfladd0l  39273  lflnegl  39275  lflvscl  39276  lflvsdi1  39277  lflvsdi2  39278  lflvsass  39280  lfl0sc  39281  lfl1sc  39283  ellkr  39288  lkr0f  39293  lkrsc  39296  eqlkr2  39299  eqlkr3  39300  ldualvaddval  39330  ldualvsval  39337