Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflf 39044
Description: A linear functional is a function from vectors to scalars. (lnfnfi 32069 analog.) (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflf.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflf.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflf.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflf.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lflf ((𝑊𝑋𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)

Proof of Theorem lflf
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflf.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2734 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
3 lflf.d . . 3 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2734 . . 3 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
5 lflf.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐷)
6 eqid 2734 . . 3 (+g𝐷) = (+g𝐷)
7 eqid 2734 . . 3 (.r𝐷) = (.r𝐷)
8 lflf.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8islfl 39041 . 2 (𝑊𝑋 → (𝐺𝐹 ↔ (𝐺:𝑉𝐾 ∧ ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷)(𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)))))
109simprbda 498 1 ((𝑊𝑋𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  LFnlclfn 39038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-map 8866  df-lfl 39039
This theorem is referenced by:  lflcl  39045  lfl1  39051  lfladdcl  39052  lfladdcom  39053  lfladdass  39054  lfladd0l  39055  lflnegl  39057  lflvscl  39058  lflvsdi1  39059  lflvsdi2  39060  lflvsass  39062  lfl0sc  39063  lfl1sc  39065  ellkr  39070  lkr0f  39075  lkrsc  39078  eqlkr2  39081  eqlkr3  39082  ldualvaddval  39112  ldualvsval  39119
  Copyright terms: Public domain W3C validator