Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflf 38665
Description: A linear functional is a function from vectors to scalars. (lnfnfi 31923 analog.) (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflf.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflf.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflf.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflf.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lflf ((𝑊𝑋𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)

Proof of Theorem lflf
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflf.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2725 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
3 lflf.d . . 3 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2725 . . 3 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
5 lflf.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐷)
6 eqid 2725 . . 3 (+g𝐷) = (+g𝐷)
7 eqid 2725 . . 3 (.r𝐷) = (.r𝐷)
8 lflf.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8islfl 38662 . 2 (𝑊𝑋 → (𝐺𝐹 ↔ (𝐺:𝑉𝐾 ∧ ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷)(𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)))))
109simprbda 497 1 ((𝑊𝑋𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  .rcmulr 17237  Scalarcsca 17239   ·𝑠 cvsca 17240  LFnlclfn 38659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8847  df-lfl 38660
This theorem is referenced by:  lflcl  38666  lfl1  38672  lfladdcl  38673  lfladdcom  38674  lfladdass  38675  lfladd0l  38676  lflnegl  38678  lflvscl  38679  lflvsdi1  38680  lflvsdi2  38681  lflvsass  38683  lfl0sc  38684  lfl1sc  38686  ellkr  38691  lkr0f  38696  lkrsc  38699  eqlkr2  38702  eqlkr3  38703  ldualvaddval  38733  ldualvsval  38740
  Copyright terms: Public domain W3C validator