Theorem lflf 39063

Description: A linear functional is a function from vectors to scalars. (lnfnfi 31977 analog.) (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflf.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflf.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflf.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lflf	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)

Proof of Theorem lflf

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		lflf.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2730	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		lflf.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
6		eqid 2730	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
7		eqid 2730	. . 3 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
8		lflf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islfl 39060	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ 𝐹 ↔ (𝐺:𝑉⟶𝐾 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)))))
10	9	simprbda 498	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  LFnlclfn 39057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-lfl 39058

This theorem is referenced by:  lflcl  39064  lfl1  39070  lfladdcl  39071  lfladdcom  39072  lfladdass  39073  lfladd0l  39074  lflnegl  39076  lflvscl  39077  lflvsdi1  39078  lflvsdi2  39079  lflvsass  39081  lfl0sc  39082  lfl1sc  39084  ellkr  39089  lkr0f  39094  lkrsc  39097  eqlkr2  39100  eqlkr3  39101  ldualvaddval  39131  ldualvsval  39138