Theorem lflf 39897

Description: A linear functional is a function from vectors to scalars. (lnfnfi 32466 analog.) (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflf.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflf.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflf.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lflf	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)

Proof of Theorem lflf

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		lflf.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		lflf.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
6		eqid 2765	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
7		eqid 2765	. . 3 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
8		lflf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islfl 39894	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ 𝐹 ↔ (𝐺:𝑉⟶𝐾 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝐺‘((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)(+g‘𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑥))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑦)))))
10	9	simprbda 504	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334  ._rcmulr 17335  Scalarcsca 17337   ·_𝑠 cvsca 17338  LFnlclfn 39891

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8832  df-lfl 39892

This theorem is used by:  lflcl  39898  lfl1  39904  lfladdcl  39905  lfladdcom  39906  lfladdass  39907  lfladd0l  39908  lflnegl  39910  lflvscl  39911  lflvsdi1  39912  lflvsdi2  39913  lflvsass  39915  lfl0sc  39916  lfl1sc  39918  ellkr  39923  lkr0f  39928  lkrsc  39931  eqlkr2  39934  eqlkr3  39935  ldualvaddval  39965  ldualvsval  39972