Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflf 35211
Description: A linear functional is a function from vectors to scalars. (lnfnfi 29486 analog.) (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflf.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflf.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflf.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflf.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lflf ((𝑊𝑋𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)

Proof of Theorem lflf
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflf.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2777 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
3 lflf.d . . 3 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2777 . . 3 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
5 lflf.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐷)
6 eqid 2777 . . 3 (+g𝐷) = (+g𝐷)
7 eqid 2777 . . 3 (.r𝐷) = (.r𝐷)
8 lflf.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8islfl 35208 . 2 (𝑊𝑋 → (𝐺𝐹 ↔ (𝐺:𝑉𝐾 ∧ ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷)(𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)))))
109simprbda 494 1 ((𝑊𝑋𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  .rcmulr 16339  Scalarcsca 16341   ·𝑠 cvsca 16342  LFnlclfn 35205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-map 8142  df-lfl 35206
This theorem is referenced by:  lflcl  35212  lfl1  35218  lfladdcl  35219  lfladdcom  35220  lfladdass  35221  lfladd0l  35222  lflnegl  35224  lflvscl  35225  lflvsdi1  35226  lflvsdi2  35227  lflvsass  35229  lfl0sc  35230  lfl1sc  35232  ellkr  35237  lkr0f  35242  lkrsc  35245  eqlkr2  35248  eqlkr3  35249  ldualvaddval  35279  ldualvsval  35286
  Copyright terms: Public domain W3C validator