Theorem lfladd0l 36209

Description: Functional addition with the zero functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladd0l.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfladd0l.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladd0l.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
lfladd0l.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lfladd0l.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladd0l.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfladd0l.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfladd0l	⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f + 𝐺) = 𝐺)

Proof of Theorem lfladd0l

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfladd0l.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6683	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lfladd0l.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lfladd0l.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		lfladd0l.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		lfladd0l.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	6, 7, 1, 8	lflf 36198	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
10	4, 5, 9	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
11		lfladd0l.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	11	fvexi 6683	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
14	6	lmodring 19641	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
15		ringgrp 19301	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
16	4, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
17		lfladd0l.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
18	7, 17, 11	grplid 18132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑘) = 𝑘)
19	16, 18	sylan 582	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑘) = 𝑘)
20	3, 10, 13, 19	caofid0l 7436	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f + 𝐺) = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494  {csn 4566   × cxp 5552  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   ∘_f cof 7406  Basecbs 16482  +_gcplusg 16564  Scalarcsca 16567  0_gc0g 16712  Grpcgrp 18102  Ringcrg 19296  LModclmod 19633  LFnlclfn 36192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-map 8407  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-ring 19298  df-lmod 19635  df-lfl 36193

This theorem is referenced by:  ldualgrplem  36280  ldual0v  36285