Theorem lfladd0l 38979

Description: Functional addition with the zero functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladd0l.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfladd0l.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladd0l.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
lfladd0l.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lfladd0l.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladd0l.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfladd0l.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfladd0l	⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f + 𝐺) = 𝐺)

Proof of Theorem lfladd0l

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfladd0l.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6933	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lfladd0l.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lfladd0l.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		lfladd0l.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		lfladd0l.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	6, 7, 1, 8	lflf 38968	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
10	4, 5, 9	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
11		lfladd0l.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	11	fvexi 6933	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
14	6	lmodring 20883	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
15		ringgrp 20260	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
16	4, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
17		lfladd0l.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
18	7, 17, 11	grplid 19002	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑘) = 𝑘)
19	16, 18	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑘) = 𝑘)
20	3, 10, 13, 19	caofid0l 7742	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f + 𝐺) = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2103  Vcvv 3482  {csn 4648   × cxp 5697  ⟶wf 6568  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445   ∘_f cof 7708  Basecbs 17253  +_gcplusg 17306  Scalarcsca 17309  0_gc0g 17494  Grpcgrp 18968  Ringcrg 20255  LModclmod 20875  LFnlclfn 38962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-map 8882  df-0g 17496  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-grp 18971  df-ring 20257  df-lmod 20877  df-lfl 38963

This theorem is referenced by:  ldualgrplem  39050  ldual0v  39055