Theorem lfladd0l 40131

Description: Functional addition with the zero functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladd0l.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfladd0l.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladd0l.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
lfladd0l.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lfladd0l.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladd0l.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfladd0l.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfladd0l	⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f + 𝐺) = 𝐺)

Proof of Theorem lfladd0l

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfladd0l.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6899	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lfladd0l.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lfladd0l.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		lfladd0l.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		lfladd0l.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	6, 7, 1, 8	lflf 40120	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
10	4, 5, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
11		lfladd0l.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	11	fvexi 6899	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
14	6	lmodring 21143	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
15		ringgrp 20464	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
16	4, 14, 15	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
17		lfladd0l.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
18	7, 17, 11	grplid 19178	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑘) = 𝑘)
19	16, 18	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑘) = 𝑘)
20	3, 10, 13, 19	caofid0l 7726	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f + 𝐺) = 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584   × cxp 5649  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Scalarcsca 17431  0_gc0g 17610  Grpcgrp 19144  Ringcrg 20459  LModclmod 21135  LFnlclfn 40114

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-map 8849  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-ring 20461  df-lmod 21137  df-lfl 40115

This theorem is used by:  ldualgrplem  40202  ldual0v  40207