Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladd0l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfladd0l 38586
Description: Functional addition with the zero functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladd0l.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lfladd0l.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfladd0l.p + = (+gβ€˜π‘…)
lfladd0l.o 0 = (0gβ€˜π‘…)
lfladd0l.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lfladd0l.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lfladd0l.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfladd0l (πœ‘ β†’ ((𝑉 Γ— { 0 }) ∘f + 𝐺) = 𝐺)

Proof of Theorem lfladd0l
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfladd0l.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
21fvexi 6916 . . 3 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
4 lfladd0l.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 lfladd0l.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
6 lfladd0l.r . . . 4 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
8 lfladd0l.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
96, 7, 1, 8lflf 38575 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
104, 5, 9syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
11 lfladd0l.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
1211fvexi 6916 . . 3 0 ∈ V
1312a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
146lmodring 20765 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15 ringgrp 20192 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
164, 14, 153syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
17 lfladd0l.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘…)
187, 17, 11grplid 18938 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 + π‘˜) = π‘˜)
1916, 18sylan 578 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 + π‘˜) = π‘˜)
203, 10, 13, 19caofid0l 7724 1 (πœ‘ β†’ ((𝑉 Γ— { 0 }) ∘f + 𝐺) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  {csn 4632   Γ— cxp 5680  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7690  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  Scalarcsca 17245  0gc0g 17430  Grpcgrp 18904  Ringcrg 20187  LModclmod 20757  LFnlclfn 38569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-map 8855  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-ring 20189  df-lmod 20759  df-lfl 38570
This theorem is referenced by:  ldualgrplem  38657  ldual0v  38662
  Copyright terms: Public domain W3C validator