Theorem lfladd0l 39032

Description: Functional addition with the zero functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladd0l.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfladd0l.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladd0l.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
lfladd0l.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lfladd0l.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladd0l.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfladd0l.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfladd0l	⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f + 𝐺) = 𝐺)

Proof of Theorem lfladd0l

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfladd0l.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6936	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lfladd0l.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lfladd0l.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		lfladd0l.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		lfladd0l.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	6, 7, 1, 8	lflf 39021	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
10	4, 5, 9	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
11		lfladd0l.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	11	fvexi 6936	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
14	6	lmodring 20890	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
15		ringgrp 20267	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
16	4, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
17		lfladd0l.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
18	7, 17, 11	grplid 19009	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑘) = 𝑘)
19	16, 18	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑘) = 𝑘)
20	3, 10, 13, 19	caofid0l 7748	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f + 𝐺) = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  {csn 4648   × cxp 5698  ⟶wf 6571  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450   ∘_f cof 7714  Basecbs 17260  +_gcplusg 17313  Scalarcsca 17316  0_gc0g 17501  Grpcgrp 18975  Ringcrg 20262  LModclmod 20882  LFnlclfn 39015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-of 7716  df-map 8888  df-0g 17503  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-grp 18978  df-ring 20264  df-lmod 20884  df-lfl 39016

This theorem is referenced by:  ldualgrplem  39103  ldual0v  39108