Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladd0l Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Functional addition with the zero functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladd0l.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfladd0l.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladd0l.p + = (+g𝑅)
lfladd0l.o 0 = (0g𝑅)
lfladd0l.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladd0l.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
lfladd0l (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f + 𝐺) = 𝐺)

Proof of Theorem lfladd0l
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfladd0l.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
21fvexi 6672 . . 3 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝜑𝑉 ∈ V)
4 lfladd0l.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lfladd0l.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
6 lfladd0l.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 lfladd0l.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
96, 7, 1, 8lflf 36269 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
104, 5, 9syl2anc 587 . 2 (𝜑𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
11 lfladd0l.o . . . 4 0 = (0g𝑅)
1211fvexi 6672 . . 3 0 ∈ V
1312a1i 11 . 2 (𝜑0 ∈ V)
146lmodring 19635 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
15 ringgrp 19298 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
164, 14, 153syl 18 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
17 lfladd0l.p . . . 4 + = (+g𝑅)
187, 17, 11grplid 18129 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑘) = 𝑘)
1916, 18sylan 583 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑘) = 𝑘)
203, 10, 13, 19caofid0l 7427 1 (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f + 𝐺) = 𝐺)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  {csn 4549   × cxp 5540  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7145   ∘f cof 7397  Basecbs 16479  +gcplusg 16561  Scalarcsca 16564  0gc0g 16709  Grpcgrp 18099  Ringcrg 19293  LModclmod 19627  LFnlclfn 36263 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-map 8398  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-ring 19295  df-lmod 19629  df-lfl 36264 This theorem is referenced by:  ldualgrplem  36351  ldual0v  36356
 Copyright terms: Public domain W3C validator