Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfladd0l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfladd0l 39032
Description: Functional addition with the zero functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfladd0l.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfladd0l.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladd0l.p + = (+g𝑅)
lfladd0l.o 0 = (0g𝑅)
lfladd0l.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladd0l.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lfladd0l.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfladd0l (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f + 𝐺) = 𝐺)

Proof of Theorem lfladd0l
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfladd0l.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
21fvexi 6936 . . 3 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝜑𝑉 ∈ V)
4 lfladd0l.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lfladd0l.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
6 lfladd0l.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7 eqid 2740 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 lfladd0l.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
96, 7, 1, 8lflf 39021 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
104, 5, 9syl2anc 583 . 2 (𝜑𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
11 lfladd0l.o . . . 4 0 = (0g𝑅)
1211fvexi 6936 . . 3 0 ∈ V
1312a1i 11 . 2 (𝜑0 ∈ V)
146lmodring 20890 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
15 ringgrp 20267 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
164, 14, 153syl 18 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
17 lfladd0l.p . . . 4 + = (+g𝑅)
187, 17, 11grplid 19009 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑘) = 𝑘)
1916, 18sylan 579 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑘) = 𝑘)
203, 10, 13, 19caofid0l 7748 1 (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f + 𝐺) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2108  Vcvv 3488  {csn 4648   × cxp 5698  wf 6571  cfv 6575  (class class class)co 7450  f cof 7714  Basecbs 17260  +gcplusg 17313  Scalarcsca 17316  0gc0g 17501  Grpcgrp 18975  Ringcrg 20262  LModclmod 20882  LFnlclfn 39015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-of 7716  df-map 8888  df-0g 17503  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-grp 18978  df-ring 20264  df-lmod 20884  df-lfl 39016
This theorem is referenced by:  ldualgrplem  39103  ldual0v  39108
  Copyright terms: Public domain W3C validator