Theorem lfladd0l 39698

Description: Functional addition with the zero functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfladd0l.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfladd0l.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lfladd0l.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
lfladd0l.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lfladd0l.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfladd0l.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lfladd0l.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lfladd0l	⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f + 𝐺) = 𝐺)

Proof of Theorem lfladd0l

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfladd0l.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2	1	fvexi 6881	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
4		lfladd0l.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lfladd0l.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		lfladd0l.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		lfladd0l.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9	6, 7, 1, 8	lflf 39687	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
10	4, 5, 9	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑅))
11		lfladd0l.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	11	fvexi 6881	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
14	6	lmodring 20935	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
15		ringgrp 20288	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
16	4, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
17		lfladd0l.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
18	7, 17, 11	grplid 19009	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑘) = 𝑘)
19	16, 18	sylan 589	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑘) = 𝑘)
20	3, 10, 13, 19	caofid0l 7693	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f + 𝐺) = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  {csn 4582   × cxp 5645  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∘_f cof 7658  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  Scalarcsca 17289  0_gc0g 17468  Grpcgrp 18975  Ringcrg 20283  LModclmod 20927  LFnlclfn 39681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-map 8810  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-ring 20285  df-lmod 20929  df-lfl 39682

This theorem is referenced by:  ldualgrplem  39769  ldual0v  39774