MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limccnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limccnp 25255
Description: If the limit of 𝐹 at 𝐵 is 𝐶 and 𝐺 is continuous at 𝐶, then the limit of 𝐺𝐹 at 𝐵 is 𝐺(𝐶). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f (𝜑𝐹:𝐴𝐷)
limccnp.d (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
limccnp.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limccnp.j 𝐽 = (𝐾t 𝐷)
limccnp.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
limccnp.b (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))
Assertion
Ref Expression
limccnp (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝐺𝐹) lim 𝐵))

Proof of Theorem limccnp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝐾t 𝐷)
2 limccnp.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtopon 24146 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 limccnp.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
5 resttopon 22512 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
63, 4, 5sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
71, 6eqeltrid 2842 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷))
83a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
9 limccnp.b . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))
10 cnpf2 22601 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶)) → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
117, 8, 9, 10syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐷⟶ℂ)
12 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
1312cnprcl 22596 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶) → 𝐶 𝐽)
149, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 𝐽)
15 toponuni 22263 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷) → 𝐷 = 𝐽)
167, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 = 𝐽)
1714, 16eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐷)
1817ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶𝐷)
19 limccnp.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴𝐷)
2019ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐹:𝐴𝐷)
21 elun 4108 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ {𝐵}))
22 elsni 4603 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = 𝐵)
2322orim2i 909 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑥 ∈ {𝐵}) → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐵))
2421, 23sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐵))
2524adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐵))
2625orcomd 869 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝑥 = 𝐵𝑥𝐴))
2726orcanai 1001 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥𝐴)
2820, 27ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
2918, 28ifclda 4521 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)) ∈ 𝐷)
3011, 29cofmpt 7078 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ (𝐺‘if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))))
31 fvco3 6940 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴𝐷𝑥𝐴) → ((𝐺𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹𝑥)))
3220, 27, 31syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → ((𝐺𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹𝑥)))
3332ifeq2da 4518 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥)) = if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), (𝐺‘(𝐹𝑥))))
34 fvif 6858 . . . . . 6 (𝐺‘if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), (𝐺‘(𝐹𝑥)))
3533, 34eqtr4di 2794 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥)) = (𝐺‘if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))))
3635mpteq2dva 5205 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ (𝐺‘if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))))
3730, 36eqtr4d 2779 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥))))
38 limccnp.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
39 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
40 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))
4119, 4fssd 6686 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
4219fdmd 6679 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
43 limcrcl 25238 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4438, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4544simp2d 1143 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
4642, 45eqsstrrd 3983 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
4744simp3d 1144 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4839, 2, 40, 41, 46, 47ellimc 25237 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
4938, 48mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
502cnfldtop 24147 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ Top
5150a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Top)
5229fmpttd 7063 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶𝐷)
5347snssd 4769 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℂ)
5446, 53unssd 4146 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
55 resttopon 22512 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
563, 54, 55sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
57 toponuni 22263 . . . . . . . . . 10 ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})))
5958feq2d 6654 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶𝐷 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))): (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))⟶𝐷))
6052, 59mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))): (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))⟶𝐷)
61 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
623toponunii 22265 . . . . . . . 8 ℂ = 𝐾
6361, 62cnprest2 22641 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))): (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))⟶𝐷𝐷 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (𝐾t 𝐷))‘𝐵)))
6451, 60, 4, 63syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (𝐾t 𝐷))‘𝐵)))
6549, 64mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (𝐾t 𝐷))‘𝐵))
661oveq2i 7368 . . . . . 6 ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐽) = ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (𝐾t 𝐷))
6766fveq1i 6843 . . . . 5 (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐽)‘𝐵) = (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (𝐾t 𝐷))‘𝐵)
6865, 67eleqtrrdi 2849 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐽)‘𝐵))
69 iftrue 4492 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)) = 𝐶)
70 ssun2 4133 . . . . . . . 8 {𝐵} ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵})
71 snssg 4744 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵})))
7247, 71syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵})))
7370, 72mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
7440, 69, 73, 38fvmptd3 6971 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))‘𝐵) = 𝐶)
7574fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 CnP 𝐾)‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))‘𝐵)) = ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))
769, 75eleqtrrd 2841 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))‘𝐵)))
77 cnpco 22618 . . . 4 (((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐽)‘𝐵) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))‘𝐵))) → (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
7868, 76, 77syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
7937, 78eqeltrrd 2839 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
80 eqid 2736 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥)))
81 fco 6692 . . . 4 ((𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴𝐷) → (𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ)
8211, 19, 81syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ)
8339, 2, 80, 82, 46, 47ellimc 25237 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐶) ∈ ((𝐺𝐹) lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
8479, 83mpbird 256 1 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝐺𝐹) lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cun 3908  wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586   cuni 4865  cmpt 5188  dom cdm 5633  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  fldccnfld 20796  Topctop 22242  TopOnctopon 22259   CnP ccnp 22576   lim climc 25226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cnp 22579  df-xms 23673  df-ms 23674  df-limc 25230
This theorem is referenced by:  limcco  25257  dvcjbr  25313  dvcnvlem  25340
  Copyright terms: Public domain W3C validator