MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limccnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limccnp 25390
Description: If the limit of 𝐹 at 𝐵 is 𝐶 and 𝐺 is continuous at 𝐶, then the limit of 𝐺𝐹 at 𝐵 is 𝐺(𝐶). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f (𝜑𝐹:𝐴𝐷)
limccnp.d (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
limccnp.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limccnp.j 𝐽 = (𝐾t 𝐷)
limccnp.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
limccnp.b (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))
Assertion
Ref Expression
limccnp (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝐺𝐹) lim 𝐵))

Proof of Theorem limccnp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝐾t 𝐷)
2 limccnp.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtopon 24281 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 limccnp.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
5 resttopon 22647 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
63, 4, 5sylancr 588 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
71, 6eqeltrid 2838 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷))
83a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
9 limccnp.b . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))
10 cnpf2 22736 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶)) → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
117, 8, 9, 10syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐷⟶ℂ)
12 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
1312cnprcl 22731 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶) → 𝐶 𝐽)
149, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 𝐽)
15 toponuni 22398 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷) → 𝐷 = 𝐽)
167, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 = 𝐽)
1714, 16eleqtrrd 2837 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐷)
1817ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶𝐷)
19 limccnp.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴𝐷)
2019ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐹:𝐴𝐷)
21 elun 4147 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ {𝐵}))
22 elsni 4644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = 𝐵)
2322orim2i 910 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑥 ∈ {𝐵}) → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐵))
2421, 23sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐵))
2524adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐵))
2625orcomd 870 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝑥 = 𝐵𝑥𝐴))
2726orcanai 1002 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥𝐴)
2820, 27ffvelcdmd 7083 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
2918, 28ifclda 4562 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)) ∈ 𝐷)
3011, 29cofmpt 7125 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ (𝐺‘if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))))
31 fvco3 6986 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴𝐷𝑥𝐴) → ((𝐺𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹𝑥)))
3220, 27, 31syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → ((𝐺𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹𝑥)))
3332ifeq2da 4559 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥)) = if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), (𝐺‘(𝐹𝑥))))
34 fvif 6904 . . . . . 6 (𝐺‘if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), (𝐺‘(𝐹𝑥)))
3533, 34eqtr4di 2791 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥)) = (𝐺‘if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))))
3635mpteq2dva 5247 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ (𝐺‘if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))))
3730, 36eqtr4d 2776 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥))))
38 limccnp.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
39 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
40 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))
4119, 4fssd 6732 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
4219fdmd 6725 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
43 limcrcl 25373 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4438, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4544simp2d 1144 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
4642, 45eqsstrrd 4020 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
4744simp3d 1145 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4839, 2, 40, 41, 46, 47ellimc 25372 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
4938, 48mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
502cnfldtop 24282 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ Top
5150a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Top)
5229fmpttd 7110 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶𝐷)
5347snssd 4811 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℂ)
5446, 53unssd 4185 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
55 resttopon 22647 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
563, 54, 55sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
57 toponuni 22398 . . . . . . . . . 10 ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})))
5958feq2d 6700 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶𝐷 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))): (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))⟶𝐷))
6052, 59mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))): (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))⟶𝐷)
61 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
623toponunii 22400 . . . . . . . 8 ℂ = 𝐾
6361, 62cnprest2 22776 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))): (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))⟶𝐷𝐷 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (𝐾t 𝐷))‘𝐵)))
6451, 60, 4, 63syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (𝐾t 𝐷))‘𝐵)))
6549, 64mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (𝐾t 𝐷))‘𝐵))
661oveq2i 7415 . . . . . 6 ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐽) = ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (𝐾t 𝐷))
6766fveq1i 6889 . . . . 5 (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐽)‘𝐵) = (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (𝐾t 𝐷))‘𝐵)
6865, 67eleqtrrdi 2845 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐽)‘𝐵))
69 iftrue 4533 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)) = 𝐶)
70 ssun2 4172 . . . . . . . 8 {𝐵} ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵})
71 snssg 4786 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵})))
7247, 71syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵})))
7370, 72mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
7440, 69, 73, 38fvmptd3 7017 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))‘𝐵) = 𝐶)
7574fveq2d 6892 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 CnP 𝐾)‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))‘𝐵)) = ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))
769, 75eleqtrrd 2837 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))‘𝐵)))
77 cnpco 22753 . . . 4 (((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐽)‘𝐵) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))‘𝐵))) → (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
7868, 76, 77syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
7937, 78eqeltrrd 2835 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
80 eqid 2733 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥)))
81 fco 6738 . . . 4 ((𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴𝐷) → (𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ)
8211, 19, 81syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ)
8339, 2, 80, 82, 46, 47ellimc 25372 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐶) ∈ ((𝐺𝐹) lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
8479, 83mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝐺𝐹) lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3945  wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   cuni 4907  cmpt 5230  dom cdm 5675  ccom 5679  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  cc 11104  t crest 17362  TopOpenctopn 17363  fldccnfld 20929  Topctop 22377  TopOnctopon 22394   CnP ccnp 22711   lim climc 25361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-rest 17364  df-topn 17365  df-topgen 17385  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cnp 22714  df-xms 23808  df-ms 23809  df-limc 25365
This theorem is referenced by:  limcco  25392  dvcjbr  25448  dvcnvlem  25475
  Copyright terms: Public domain W3C validator