MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limccnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limccnp 25741
Description: If the limit of 𝐹 at 𝐡 is 𝐢 and 𝐺 is continuous at 𝐢, then the limit of 𝐺 ∘ 𝐹 at 𝐡 is 𝐺(𝐢). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐷)
limccnp.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
limccnp.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
limccnp.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝐷)
limccnp.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
limccnp.b (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
limccnp (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ ((𝐺 ∘ 𝐹) limβ„‚ 𝐡))

Proof of Theorem limccnp
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝐷)
2 limccnp.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
32cnfldtopon 24620 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
4 limccnp.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
5 resttopon 22986 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
63, 4, 5sylancr 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
71, 6eqeltrid 2836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π·))
83a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
9 limccnp.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜πΆ))
10 cnpf2 23075 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π·) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜πΆ)) β†’ 𝐺:π·βŸΆβ„‚)
117, 8, 9, 10syl3anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π·βŸΆβ„‚)
12 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1312cnprcl 23070 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜πΆ) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝐽)
149, 13syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝐽)
15 toponuni 22737 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π·) β†’ 𝐷 = βˆͺ 𝐽)
167, 15syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 = βˆͺ 𝐽)
1714, 16eleqtrrd 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
1817ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
19 limccnp.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐷)
2019ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐷)
21 elun 4148 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ ∈ {𝐡}))
22 elsni 4645 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ {𝐡} β†’ π‘₯ = 𝐡)
2322orim2i 908 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ ∈ {𝐡}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ = 𝐡))
2421, 23sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ = 𝐡))
2524adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ = 𝐡))
2625orcomd 868 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (π‘₯ = 𝐡 ∨ π‘₯ ∈ 𝐴))
2726orcanai 1000 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
2820, 27ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐷)
2918, 28ifclda 4563 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐷)
3011, 29cofmpt 7132 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ (πΊβ€˜if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯)))))
31 fvco3 6990 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟢𝐷 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
3220, 27, 31syl2anc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
3332ifeq2da 4560 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, (πΊβ€˜πΆ), ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = if(π‘₯ = 𝐡, (πΊβ€˜πΆ), (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
34 fvif 6907 . . . . . 6 (πΊβ€˜if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, (πΊβ€˜πΆ), (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
3533, 34eqtr4di 2789 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, (πΊβ€˜πΆ), ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (πΊβ€˜if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯))))
3635mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, (πΊβ€˜πΆ), ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ (πΊβ€˜if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯)))))
3730, 36eqtr4d 2774 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, (πΊβ€˜πΆ), ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))))
38 limccnp.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
39 eqid 2731 . . . . . . . 8 (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
40 eqid 2731 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯)))
4119, 4fssd 6735 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
4219fdmd 6728 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
43 limcrcl 25724 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
4438, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
4544simp2d 1142 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† β„‚)
4642, 45eqsstrrd 4021 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
4744simp3d 1143 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4839, 2, 40, 41, 46, 47ellimc 25723 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
4938, 48mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
502cnfldtop 24621 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ Top
5150a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
5229fmpttd 7116 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯))):(𝐴 βˆͺ {𝐡})⟢𝐷)
5347snssd 4812 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ {𝐡} βŠ† β„‚)
5446, 53unssd 4186 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚)
55 resttopon 22986 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
563, 54, 55sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
57 toponuni 22737 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
5958feq2d 6703 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯))):(𝐴 βˆͺ {𝐡})⟢𝐷 ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯))):βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))⟢𝐷))
6052, 59mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯))):βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))⟢𝐷)
61 eqid 2731 . . . . . . . 8 βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
623toponunii 22739 . . . . . . . 8 β„‚ = βˆͺ 𝐾
6361, 62cnprest2 23115 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯))):βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))⟢𝐷 ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP (𝐾 β†Ύt 𝐷))β€˜π΅)))
6451, 60, 4, 63syl3anc 1370 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP (𝐾 β†Ύt 𝐷))β€˜π΅)))
6549, 64mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP (𝐾 β†Ύt 𝐷))β€˜π΅))
661oveq2i 7423 . . . . . 6 ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐽) = ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP (𝐾 β†Ύt 𝐷))
6766fveq1i 6892 . . . . 5 (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐽)β€˜π΅) = (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP (𝐾 β†Ύt 𝐷))β€˜π΅)
6865, 67eleqtrrdi 2843 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐽)β€˜π΅))
69 iftrue 4534 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐢)
70 ssun2 4173 . . . . . . . 8 {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})
71 snssg 4787 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
7247, 71syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
7370, 72mpbiri 258 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
7440, 69, 73, 38fvmptd3 7021 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π΅) = 𝐢)
7574fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π΅)) = ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜πΆ))
769, 75eleqtrrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π΅)))
77 cnpco 23092 . . . 4 (((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐽)β€˜π΅) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π΅))) β†’ (𝐺 ∘ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
7868, 76, 77syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘₯)))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
7937, 78eqeltrrd 2833 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, (πΊβ€˜πΆ), ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
80 eqid 2731 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, (πΊβ€˜πΆ), ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, (πΊβ€˜πΆ), ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯)))
81 fco 6741 . . . 4 ((𝐺:π·βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐷) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„‚)
8211, 19, 81syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„‚)
8339, 2, 80, 82, 46, 47ellimc 25723 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜πΆ) ∈ ((𝐺 ∘ 𝐹) limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, (πΊβ€˜πΆ), ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
8479, 83mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ ((𝐺 ∘ 𝐹) limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114   β†Ύt crest 17373  TopOpenctopn 17374  β„‚fldccnfld 21234  Topctop 22716  TopOnctopon 22733   CnP ccnp 23050   limβ„‚ climc 25712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-topgen 17396  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cnp 23053  df-xms 24147  df-ms 24148  df-limc 25716
This theorem is referenced by:  limcco  25743  dvcjbr  25802  dvcnvlem  25829
  Copyright terms: Public domain W3C validator