MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limccnp2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem limccnp2 25416
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp2.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
limccnp2.s ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ π‘Œ)
limccnp2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
limccnp2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
limccnp2.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
limccnp2.j 𝐽 = ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ))
limccnp2.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limβ„‚ 𝐡))
limccnp2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limβ„‚ 𝐡))
limccnp2.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩))
Assertion
Ref Expression
limccnp2 (πœ‘ β†’ (𝐢𝐻𝐷) ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) limβ„‚ 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐻   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝐴   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯)
Proof of Theorem limccnp2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp2.h . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩))
2 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
32cnprcl 22756 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) β†’ ⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ βˆͺ 𝐽)
41, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ βˆͺ 𝐽)
5 limccnp2.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ))
6 limccnp2.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
76cnfldtopon 24306 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
8 txtopon 23102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐾 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚)))
97, 7, 8mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚))
10 limccnp2.x . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
11 limccnp2.y . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
12 xpss12 5691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 βŠ† β„‚ ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
1310, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
14 resttopon 22672 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚)) ∧ (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
159, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
165, 15eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
17 toponuni 22423 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝐽)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝐽)
194, 18eleqtrrd 2836 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
20 opelxp 5712 . . . . . . . . 9 (⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ π‘Œ))
2119, 20sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ π‘Œ))
2221simpld 495 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
2322ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
24 simpll 765 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ πœ‘)
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
26 elun 4148 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ ∈ {𝐡}))
2725, 26sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ ∈ {𝐡}))
2827ord 862 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ {𝐡}))
29 elsni 4645 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {𝐡} β†’ π‘₯ = 𝐡)
3028, 29syl6 35 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ = 𝐡))
3130con1d 145 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
3231imp 407 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
33 limccnp2.r . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
3424, 32, 33syl2anc 584 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
3523, 34ifclda 4563 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅) ∈ 𝑋)
3621simprd 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ π‘Œ)
3736ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ π‘Œ)
38 limccnp2.s . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ π‘Œ)
3924, 32, 38syl2anc 584 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ π‘Œ)
4037, 39ifclda 4563 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆) ∈ π‘Œ)
4135, 40opelxpd 5715 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
42 eqidd 2733 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩))
437a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
44 cnpf2 22761 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩)) β†’ 𝐻:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆβ„‚)
4516, 43, 1, 44syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆβ„‚)
4645feqmptd 6960 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝑦 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ (π»β€˜π‘¦)))
47 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑦 = ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩ β†’ (π»β€˜π‘¦) = (π»β€˜βŸ¨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩))
48 df-ov 7414 . . . . . 6 (if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅)𝐻if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)) = (π»β€˜βŸ¨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)
49 ovif12 7510 . . . . . 6 (if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅)𝐻if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)) = if(π‘₯ = 𝐡, (𝐢𝐻𝐷), (𝑅𝐻𝑆))
5048, 49eqtr3i 2762 . . . . 5 (π»β€˜βŸ¨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) = if(π‘₯ = 𝐡, (𝐢𝐻𝐷), (𝑅𝐻𝑆))
5147, 50eqtrdi 2788 . . . 4 (𝑦 = ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩ β†’ (π»β€˜π‘¦) = if(π‘₯ = 𝐡, (𝐢𝐻𝐷), (𝑅𝐻𝑆)))
5241, 42, 46, 51fmptco 7129 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∘ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, (𝐢𝐻𝐷), (𝑅𝐻𝑆))))
53 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)
5453, 33dmmptd 6695 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = 𝐴)
55 limccnp2.c . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limβ„‚ 𝐡))
56 limcrcl 25398 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limβ„‚ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)βŸΆβ„‚ ∧ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)βŸΆβ„‚ ∧ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
5857simp2d 1143 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) βŠ† β„‚)
5954, 58eqsstrrd 4021 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
6057simp3d 1144 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6160snssd 4812 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝐡} βŠ† β„‚)
6259, 61unssd 4186 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚)
63 resttopon 22672 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
647, 62, 63sylancr 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
65 ssun2 4173 . . . . . . . 8 {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})
66 snssg 4787 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
6760, 66syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
6865, 67mpbiri 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
6910adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
7069, 33sseldd 3983 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
71 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
7259, 60, 70, 71, 6limcmpt 25407 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅)) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
7355, 72mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅)) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
74 limccnp2.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limβ„‚ 𝐡))
7511adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
7675, 38sseldd 3983 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
7759, 60, 76, 71, 6limcmpt 25407 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
7874, 77mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
7964, 43, 43, 68, 73, 78txcnp 23131 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP (𝐾 Γ—t 𝐾))β€˜π΅))
809topontopi 22424 . . . . . . . 8 (𝐾 Γ—t 𝐾) ∈ Top
8180a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ—t 𝐾) ∈ Top)
8241fmpttd 7116 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩):(𝐴 βˆͺ {𝐡})⟢(𝑋 Γ— π‘Œ))
83 toponuni 22423 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
8464, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
8584feq2d 6703 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩):(𝐴 βˆͺ {𝐡})⟢(𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩):βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))⟢(𝑋 Γ— π‘Œ)))
8682, 85mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩):βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))⟢(𝑋 Γ— π‘Œ))
87 eqid 2732 . . . . . . . 8 βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
889toponunii 22425 . . . . . . . 8 (β„‚ Γ— β„‚) = βˆͺ (𝐾 Γ—t 𝐾)
8987, 88cnprest2 22801 . . . . . . 7 (((𝐾 Γ—t 𝐾) ∈ Top ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩):βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))⟢(𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP (𝐾 Γ—t 𝐾))β€˜π΅) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)))β€˜π΅)))
9081, 86, 13, 89syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP (𝐾 Γ—t 𝐾))β€˜π΅) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)))β€˜π΅)))
9179, 90mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)))β€˜π΅))
925oveq2i 7422 . . . . . 6 ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐽) = ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)))
9392fveq1i 6892 . . . . 5 (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐽)β€˜π΅) = (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)))β€˜π΅)
9491, 93eleqtrrdi 2844 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐽)β€˜π΅))
95 iftrue 4534 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅) = 𝐢)
96 iftrue 4534 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆) = 𝐷)
9795, 96opeq12d 4881 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩ = ⟨𝐢, 𝐷⟩)
98 eqid 2732 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)
99 opex 5464 . . . . . . . 8 ⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ V
10097, 98, 99fvmpt 6998 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)β€˜π΅) = ⟨𝐢, 𝐷⟩)
10168, 100syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)β€˜π΅) = ⟨𝐢, 𝐷⟩)
102101fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)β€˜π΅)) = ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩))
1031, 102eleqtrrd 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)β€˜π΅)))
104 cnpco 22778 . . . 4 (((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐽)β€˜π΅) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)β€˜π΅))) β†’ (𝐻 ∘ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
10594, 103, 104syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∘ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
10652, 105eqeltrrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, (𝐢𝐻𝐷), (𝑅𝐻𝑆))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
10745adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐻:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆβ„‚)
108107, 33, 38fovcdmd 7581 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑅𝐻𝑆) ∈ β„‚)
10959, 60, 108, 71, 6limcmpt 25407 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢𝐻𝐷) ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, (𝐢𝐻𝐷), (𝑅𝐻𝑆))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
110106, 109mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (𝐢𝐻𝐷) ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110   β†Ύt crest 17368  TopOpenctopn 17369  β„‚fldccnfld 20950  Topctop 22402  TopOnctopon 22419   CnP ccnp 22736   Γ—t ctx 23071   limβ„‚ climc 25386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-fz 13487  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-rest 17370  df-topn 17371  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cnp 22739  df-tx 23073  df-xms 23833  df-ms 23834  df-limc 25390
This theorem is referenced by:  dvcnp2  25444  dvaddbr  25462  dvmulbr  25463  dvcobr  25470  lhop1lem  25537  taylthlem2  25893  gg-dvcnp2  35243  gg-dvmulbr  35244  gg-dvcobr  35245
  Copyright terms: Public domain W3C validator