MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limccnp2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem limccnp2 25409
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp2.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
limccnp2.s ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ π‘Œ)
limccnp2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
limccnp2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
limccnp2.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
limccnp2.j 𝐽 = ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ))
limccnp2.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limβ„‚ 𝐡))
limccnp2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limβ„‚ 𝐡))
limccnp2.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩))
Assertion
Ref Expression
limccnp2 (πœ‘ β†’ (𝐢𝐻𝐷) ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) limβ„‚ 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐻   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝐴   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯)
Proof of Theorem limccnp2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp2.h . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩))
2 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
32cnprcl 22749 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) β†’ ⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ βˆͺ 𝐽)
41, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ βˆͺ 𝐽)
5 limccnp2.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ))
6 limccnp2.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
76cnfldtopon 24299 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
8 txtopon 23095 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐾 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚)))
97, 7, 8mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚))
10 limccnp2.x . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
11 limccnp2.y . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
12 xpss12 5692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 βŠ† β„‚ ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
1310, 11, 12syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
14 resttopon 22665 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚)) ∧ (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
159, 13, 14sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
165, 15eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
17 toponuni 22416 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝐽)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝐽)
194, 18eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
20 opelxp 5713 . . . . . . . . 9 (⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ π‘Œ))
2119, 20sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ π‘Œ))
2221simpld 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
2322ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
24 simpll 766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ πœ‘)
25 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
26 elun 4149 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ ∈ {𝐡}))
2725, 26sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∨ π‘₯ ∈ {𝐡}))
2827ord 863 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ {𝐡}))
29 elsni 4646 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {𝐡} β†’ π‘₯ = 𝐡)
3028, 29syl6 35 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ = 𝐡))
3130con1d 145 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (Β¬ π‘₯ = 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
3231imp 408 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
33 limccnp2.r . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
3424, 32, 33syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
3523, 34ifclda 4564 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅) ∈ 𝑋)
3621simprd 497 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ π‘Œ)
3736ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ π‘Œ)
38 limccnp2.s . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ π‘Œ)
3924, 32, 38syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ π‘Œ)
4037, 39ifclda 4564 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆) ∈ π‘Œ)
4135, 40opelxpd 5716 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
42 eqidd 2734 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩))
437a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
44 cnpf2 22754 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩)) β†’ 𝐻:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆβ„‚)
4516, 43, 1, 44syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆβ„‚)
4645feqmptd 6961 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝑦 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ (π»β€˜π‘¦)))
47 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑦 = ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩ β†’ (π»β€˜π‘¦) = (π»β€˜βŸ¨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩))
48 df-ov 7412 . . . . . 6 (if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅)𝐻if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)) = (π»β€˜βŸ¨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)
49 ovif12 7508 . . . . . 6 (if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅)𝐻if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)) = if(π‘₯ = 𝐡, (𝐢𝐻𝐷), (𝑅𝐻𝑆))
5048, 49eqtr3i 2763 . . . . 5 (π»β€˜βŸ¨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) = if(π‘₯ = 𝐡, (𝐢𝐻𝐷), (𝑅𝐻𝑆))
5147, 50eqtrdi 2789 . . . 4 (𝑦 = ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩ β†’ (π»β€˜π‘¦) = if(π‘₯ = 𝐡, (𝐢𝐻𝐷), (𝑅𝐻𝑆)))
5241, 42, 46, 51fmptco 7127 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∘ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, (𝐢𝐻𝐷), (𝑅𝐻𝑆))))
53 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)
5453, 33dmmptd 6696 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = 𝐴)
55 limccnp2.c . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limβ„‚ 𝐡))
56 limcrcl 25391 . . . . . . . . . . . 12 (𝐢 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limβ„‚ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)βŸΆβ„‚ ∧ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)βŸΆβ„‚ ∧ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
5857simp2d 1144 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) βŠ† β„‚)
5954, 58eqsstrrd 4022 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
6057simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6160snssd 4813 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝐡} βŠ† β„‚)
6259, 61unssd 4187 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚)
63 resttopon 22665 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
647, 62, 63sylancr 588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
65 ssun2 4174 . . . . . . . 8 {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})
66 snssg 4788 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
6760, 66syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ {𝐡} βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
6865, 67mpbiri 258 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
6910adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
7069, 33sseldd 3984 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
71 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
7259, 60, 70, 71, 6limcmpt 25400 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅)) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
7355, 72mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅)) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
74 limccnp2.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limβ„‚ 𝐡))
7511adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
7675, 38sseldd 3984 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
7759, 60, 76, 71, 6limcmpt 25400 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
7874, 77mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
7964, 43, 43, 68, 73, 78txcnp 23124 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP (𝐾 Γ—t 𝐾))β€˜π΅))
809topontopi 22417 . . . . . . . 8 (𝐾 Γ—t 𝐾) ∈ Top
8180a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ—t 𝐾) ∈ Top)
8241fmpttd 7115 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩):(𝐴 βˆͺ {𝐡})⟢(𝑋 Γ— π‘Œ))
83 toponuni 22416 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
8464, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})))
8584feq2d 6704 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩):(𝐴 βˆͺ {𝐡})⟢(𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩):βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))⟢(𝑋 Γ— π‘Œ)))
8682, 85mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩):βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))⟢(𝑋 Γ— π‘Œ))
87 eqid 2733 . . . . . . . 8 βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
889toponunii 22418 . . . . . . . 8 (β„‚ Γ— β„‚) = βˆͺ (𝐾 Γ—t 𝐾)
8987, 88cnprest2 22794 . . . . . . 7 (((𝐾 Γ—t 𝐾) ∈ Top ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩):βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))⟢(𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP (𝐾 Γ—t 𝐾))β€˜π΅) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)))β€˜π΅)))
9081, 86, 13, 89syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP (𝐾 Γ—t 𝐾))β€˜π΅) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)))β€˜π΅)))
9179, 90mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)))β€˜π΅))
925oveq2i 7420 . . . . . 6 ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐽) = ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)))
9392fveq1i 6893 . . . . 5 (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐽)β€˜π΅) = (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)))β€˜π΅)
9491, 93eleqtrrdi 2845 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐽)β€˜π΅))
95 iftrue 4535 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅) = 𝐢)
96 iftrue 4535 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆) = 𝐷)
9795, 96opeq12d 4882 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩ = ⟨𝐢, 𝐷⟩)
98 eqid 2733 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)
99 opex 5465 . . . . . . . 8 ⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ V
10097, 98, 99fvmpt 6999 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)β€˜π΅) = ⟨𝐢, 𝐷⟩)
10168, 100syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)β€˜π΅) = ⟨𝐢, 𝐷⟩)
102101fveq2d 6896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)β€˜π΅)) = ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩))
1031, 102eleqtrrd 2837 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)β€˜π΅)))
104 cnpco 22771 . . . 4 (((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐽)β€˜π΅) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜((π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)β€˜π΅))) β†’ (𝐻 ∘ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
10594, 103, 104syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∘ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ ⟨if(π‘₯ = 𝐡, 𝐢, 𝑅), if(π‘₯ = 𝐡, 𝐷, 𝑆)⟩)) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
10652, 105eqeltrrd 2835 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, (𝐢𝐻𝐷), (𝑅𝐻𝑆))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
10745adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐻:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆβ„‚)
108107, 33, 38fovcdmd 7579 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑅𝐻𝑆) ∈ β„‚)
10959, 60, 108, 71, 6limcmpt 25400 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢𝐻𝐷) ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(π‘₯ = 𝐡, (𝐢𝐻𝐷), (𝑅𝐻𝑆))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
110106, 109mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (𝐢𝐻𝐷) ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   CnP ccnp 22729   Γ—t ctx 23064   limβ„‚ climc 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-xms 23826  df-ms 23827  df-limc 25383
This theorem is referenced by:  dvcnp2  25437  dvaddbr  25455  dvmulbr  25456  dvcobr  25463  lhop1lem  25530  taylthlem2  25886  gg-dvcnp2  35174  gg-dvmulbr  35175  gg-dvcobr  35176
  Copyright terms: Public domain W3C validator