MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcdif 23930
Description: It suffices to consider functions which are not defined at 𝐵 to define the limit of a function. In particular, the value of the original function 𝐹 at 𝐵 does not affect the limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
limccl.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
limcdif (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵))

Proof of Theorem limcdif
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
21fdmd 6231 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
32adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → dom 𝐹 = 𝐴)
4 limcrcl 23928 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
54adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
65simp2d 1173 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
73, 6eqsstr3d 3799 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
85simp3d 1174 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
97, 8jca 507 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
109ex 401 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)))
11 undif1 4202 . . . . . . 7 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵})
12 difss 3898 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
13 fssres 6251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
141, 12, 13sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
1514fdmd 6231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
1615adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
17 limcrcl 23928 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
1817adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
1918simp2d 1173 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ)
2016, 19eqsstr3d 3799 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
2118simp3d 1174 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2221snssd 4493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
2320, 22unssd 3950 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
2411, 23syl5eqssr 3809 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
2524unssad 3951 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2625, 21jca 507 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2726ex 401 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)))
28 eqid 2764 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
29 eqid 2764 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
30 eqid 2764 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
311adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
32 simprl 787 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
33 simprr 789 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3428, 29, 30, 31, 32, 33ellimc 23927 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
3511eqcomi 2773 . . . . . . 7 (𝐴 ∪ {𝐵}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})
3635oveq2i 6852 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
37 eqid 2764 . . . . . . . 8 if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))
3835, 37mpteq12i 4900 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
39 elun 3914 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
40 velsn 4349 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
4140orbi2i 936 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵))
42 pm5.61 1023 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
43 fvres 6393 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
4542, 44sylbi 208 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
4645ifeq2da 4273 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
4741, 46sylbi 208 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
4839, 47sylbi 208 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
4948mpteq2ia 4898 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
5038, 49eqtr4i 2789 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)))
5114adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
5232ssdifssd 3909 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
5336, 29, 50, 51, 52, 33ellimc 23927 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
5434, 53bitr4d 273 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)))
5554ex 401 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵))))
5610, 27, 55pm5.21ndd 370 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)))
5756eqrdv 2762 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  cdif 3728  cun 3729  wss 3731  ifcif 4242  {csn 4333  cmpt 4887  dom cdm 5276  cres 5278  wf 6063  cfv 6067  (class class class)co 6841  cc 10186  t crest 16348  TopOpenctopn 16349  fldccnfld 20018   CnP ccnp 21308   lim climc 23916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fi 8523  df-sup 8554  df-inf 8555  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-q 11989  df-rp 12028  df-xneg 12145  df-xadd 12146  df-xmul 12147  df-fz 12533  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-starv 16230  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-unif 16238  df-rest 16350  df-topn 16351  df-topgen 16371  df-psmet 20010  df-xmet 20011  df-met 20012  df-bl 20013  df-mopn 20014  df-cnfld 20019  df-top 20977  df-topon 20994  df-topsp 21016  df-bases 21029  df-cnp 21311  df-xms 22403  df-ms 22404  df-limc 23920
This theorem is referenced by:  dvcnp2  23973  dvmulbr  23992  dvrec  24008  fourierdlem62  40954
  Copyright terms: Public domain W3C validator