Theorem limcdif 26016

Description: It suffices to consider functions which are not defined at 𝐵 to define the limit of a function. In particular, the value of the original function 𝐹 at 𝐵 does not affect the limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
limccl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcdif	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcdif

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	fdmd 6718	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
3	2	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → dom 𝐹 = 𝐴)
4		limcrcl 26014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5	4	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
6	5	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
7	3, 6	eqsstrrd 3973	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
8	5	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	jca 520	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
10	9	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)))
11		undif1 4438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵})
12		difss 4091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
13		fssres 6746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
14	1, 12, 13	sylancl 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
15	14	fdmd 6718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
16	15	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
17		limcrcl 26014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
18	17	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
19	18	simp2d 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ)
20	16, 19	eqsstrrd 3973	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
21	18	simp3d 1162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21	snssd 4753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
23	20, 22	unssd 4146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
24	11, 23	eqsstrrid 3977	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
25	24	unssad 4147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
26	25, 21	jca 520	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
27	26	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)))
28		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
29		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
30		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
31	1	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
32		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
33		simprr 784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
34	28, 29, 30, 31, 32, 33	ellimc 26013	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
35	11	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∪ {𝐵}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})
36	35	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
37	35	mpteq1i 5203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
38		elun 4108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
39		velsn 4606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
40	39	orbi2i 925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵))
41		pm5.61 1016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
42		fvres 6902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
43	42	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
44	41, 43	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
45	44	ifeq2da 4521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
46	40, 45	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
47	38, 46	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
48	47	mpteq2ia 5207	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
49	37, 48	eqtr4i 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)))
50	14	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
51	32	ssdifssd 4102	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
52	36, 29, 49, 50, 51, 33	ellimc 26013	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
53	34, 52	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)))
54	53	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵))))
55	10, 27, 54	pm5.21ndd 382	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)))
56	55	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  ifcif 4488  {csn 4590   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5663   ↾ cres 5665  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099   ↾_t crest 17474  TopOpenctopn 17475  ℂ_fldccnfld 21503   CnP ccnp 23363   lim_ℂ climc 26002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-fz 13537  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-struct 17208  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17476  df-topn 17477  df-topgen 17497  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cnp 23366  df-xms 24458  df-ms 24459  df-limc 26006

This theorem is referenced by:  dvcnp2  26060  dvmulbr  26079  dvrec  26095  fourierdlem62  46862