Theorem limcdif 24479

Description: It suffices to consider functions which are not defined at 𝐵 to define the limit of a function. In particular, the value of the original function 𝐹 at 𝐵 does not affect the limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
limccl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcdif	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcdif

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	fdmd 6497	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
3	2	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → dom 𝐹 = 𝐴)
4		limcrcl 24477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5	4	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
6	5	simp2d 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
7	3, 6	eqsstrrd 3954	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
8	5	simp3d 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	jca 515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
10	9	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)))
11		undif1 4382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵})
12		difss 4059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
13		fssres 6518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
14	1, 12, 13	sylancl 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
15	14	fdmd 6497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
16	15	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
17		limcrcl 24477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
18	17	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
19	18	simp2d 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ)
20	16, 19	eqsstrrd 3954	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
21	18	simp3d 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21	snssd 4702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
23	20, 22	unssd 4113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
24	11, 23	eqsstrrid 3964	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
25	24	unssad 4114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
26	25, 21	jca 515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
27	26	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)))
28		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
29		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
30		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
31	1	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
32		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
33		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
34	28, 29, 30, 31, 32, 33	ellimc 24476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
35	11	eqcomi 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∪ {𝐵}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})
36	35	oveq2i 7146	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
37	35	mpteq1i 5120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
38		elun 4076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
39		velsn 4541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
40	39	orbi2i 910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵))
41		pm5.61 998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
42		fvres 6664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
43	42	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
44	41, 43	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
45	44	ifeq2da 4456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
46	40, 45	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
47	38, 46	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
48	47	mpteq2ia 5121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
49	37, 48	eqtr4i 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)))
50	14	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
51	32	ssdifssd 4070	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
52	36, 29, 49, 50, 51, 33	ellimc 24476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
53	34, 52	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)))
54	53	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵))))
55	10, 27, 54	pm5.21ndd 384	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)))
56	55	eqrdv 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881  ifcif 4425  {csn 4525   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519   ↾ cres 5521  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   ↾_t crest 16686  TopOpenctopn 16687  ℂ_fldccnfld 20091   CnP ccnp 21830   lim_ℂ climc 24465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cnp 21833  df-xms 22927  df-ms 22928  df-limc 24469

This theorem is referenced by:  dvcnp2  24523  dvmulbr  24542  dvrec  24558  fourierdlem62  42810