Theorem limcdif 25918

Description: It suffices to consider functions which are not defined at 𝐵 to define the limit of a function. In particular, the value of the original function 𝐹 at 𝐵 does not affect the limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
limccl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcdif	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcdif

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	fdmd 6698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
3	2	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → dom 𝐹 = 𝐴)
4		limcrcl 25916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5	4	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
6	5	simp2d 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
7	3, 6	eqsstrrd 3971	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
8	5	simp3d 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	jca 519	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
10	9	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)))
11		undif1 4429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵})
12		difss 4089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
13		fssres 6726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
14	1, 12, 13	sylancl 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
15	14	fdmd 6698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
16	15	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
17		limcrcl 25916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
18	17	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
19	18	simp2d 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ)
20	16, 19	eqsstrrd 3971	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
21	18	simp3d 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21	snssd 4744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
23	20, 22	unssd 4144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
24	11, 23	eqsstrrid 3975	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
25	24	unssad 4145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
26	25, 21	jca 519	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
27	26	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)))
28		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
29		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
30		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
31	1	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
32		simprl 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
33		simprr 782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
34	28, 29, 30, 31, 32, 33	ellimc 25915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
35	11	eqcomi 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∪ {𝐵}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})
36	35	oveq2i 7403	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
37	35	mpteq1i 5190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
38		elun 4106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
39		velsn 4597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
40	39	orbi2i 923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵))
41		pm5.61 1013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
42		fvres 6882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
43	42	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
44	41, 43	sylbi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
45	44	ifeq2da 4512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
46	40, 45	sylbi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
47	38, 46	sylbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
48	47	mpteq2ia 5194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
49	37, 48	eqtr4i 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)))
50	14	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
51	32	ssdifssd 4100	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
52	36, 29, 49, 50, 51, 33	ellimc 25915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
53	34, 52	bitr4d 284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)))
54	53	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵))))
55	10, 27, 54	pm5.21ndd 381	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)))
56	55	eqrdv 2759	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  ifcif 4479  {csn 4581   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645   ↾ cres 5647  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068   ↾_t crest 17432  TopOpenctopn 17433  ℂ_fldccnfld 21404   CnP ccnp 23265   lim_ℂ climc 25904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-fz 13510  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-rest 17434  df-topn 17435  df-topgen 17455  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cnp 23268  df-xms 24360  df-ms 24361  df-limc 25908

This theorem is referenced by:  dvcnp2  25962  dvmulbr  25981  dvrec  25997  fourierdlem62  46706