MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcdif Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem limcdif 25626
Description: It suffices to consider functions which are not defined at 𝐡 to define the limit of a function. In particular, the value of the original function 𝐹 at 𝐡 does not affect the limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
limccl.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
limcdif (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) = ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡))
Proof of Theorem limcdif
Dummy variables π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
21fdmd 6728 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
32adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
4 limcrcl 25624 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
54adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
65simp2d 1142 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) β†’ dom 𝐹 βŠ† β„‚)
73, 6eqsstrrd 4021 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
85simp3d 1143 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
97, 8jca 511 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) β†’ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
109ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚)))
11 undif1 4475 . . . . . . 7 ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡}) = (𝐴 βˆͺ {𝐡})
12 difss 4131 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βˆ– {𝐡}) βŠ† 𝐴
13 fssres 6757 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ (𝐴 βˆ– {𝐡}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})):(𝐴 βˆ– {𝐡})βŸΆβ„‚)
141, 12, 13sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})):(𝐴 βˆ– {𝐡})βŸΆβ„‚)
1514fdmd 6728 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) = (𝐴 βˆ– {𝐡}))
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡)) β†’ dom (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) = (𝐴 βˆ– {𝐡}))
17 limcrcl 25624 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})):dom (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡}))βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
1817adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})):dom (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡}))βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
1918simp2d 1142 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡)) β†’ dom (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† β„‚)
2016, 19eqsstrrd 4021 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ– {𝐡}) βŠ† β„‚)
2118simp3d 1143 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2221snssd 4812 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡)) β†’ {𝐡} βŠ† β„‚)
2320, 22unssd 4186 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡)) β†’ ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚)
2411, 23eqsstrrid 4031 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡)) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚)
2524unssad 4187 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
2625, 21jca 511 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡)) β†’ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
2726ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚)))
28 eqid 2731 . . . . . 6 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
29 eqid 2731 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
30 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)))
311adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
32 simprl 768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
33 simprr 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3428, 29, 30, 31, 32, 33ellimc 25623 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΅)))
3511eqcomi 2740 . . . . . . 7 (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡})
3635oveq2i 7423 . . . . . 6 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡}))
3735mpteq1i 5244 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)))
38 elun 4148 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐡}))
39 velsn 4644 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {𝐡} ↔ 𝑧 = 𝐡)
4039orbi2i 910 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ∨ 𝑧 = 𝐡))
41 pm5.61 998 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ∨ 𝑧 = 𝐡) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡))
42 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡}))β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡}))β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
4441, 43sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ∨ 𝑧 = 𝐡) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡}))β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
4544ifeq2da 4560 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ∨ 𝑧 = 𝐡) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡}))β€˜π‘§)) = if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)))
4640, 45sylbi 216 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐡}) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡}))β€˜π‘§)) = if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)))
4738, 46sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡}) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡}))β€˜π‘§)) = if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)))
4847mpteq2ia 5251 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡}))β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)))
4937, 48eqtr4i 2762 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 βˆ– {𝐡}) βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡}))β€˜π‘§)))
5014adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚)) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})):(𝐴 βˆ– {𝐡})βŸΆβ„‚)
5132ssdifssd 4142 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚)) β†’ (𝐴 βˆ– {𝐡}) βŠ† β„‚)
5236, 29, 49, 50, 51, 33ellimc 25623 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΅)))
5334, 52bitr4d 282 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡)))
5453ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡))))
5510, 27, 54pm5.21ndd 379 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡)))
5655eqrdv 2729 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) = ((𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆ– {𝐡})) limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111   β†Ύt crest 17371  TopOpenctopn 17372  β„‚fldccnfld 21145   CnP ccnp 22950   limβ„‚ climc 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-topn 17374  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cnp 22953  df-xms 24047  df-ms 24048  df-limc 25616
This theorem is referenced by:  dvcnp2  25670  dvcnp2OLD  25671  dvmulbr  25690  dvmulbrOLD  25691  dvrec  25708  fourierdlem62  45183
  Copyright terms: Public domain W3C validator