MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcdif 25322
Description: It suffices to consider functions which are not defined at 𝐵 to define the limit of a function. In particular, the value of the original function 𝐹 at 𝐵 does not affect the limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
limccl.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
limcdif (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵))

Proof of Theorem limcdif
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
21fdmd 6715 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
32adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → dom 𝐹 = 𝐴)
4 limcrcl 25320 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
54adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
65simp2d 1143 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
73, 6eqsstrrd 4017 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
85simp3d 1144 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
97, 8jca 512 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
109ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)))
11 undif1 4471 . . . . . . 7 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵})
12 difss 4127 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
13 fssres 6744 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
141, 12, 13sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
1514fdmd 6715 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
1615adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
17 limcrcl 25320 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
1817adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
1918simp2d 1143 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ)
2016, 19eqsstrrd 4017 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
2118simp3d 1144 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2221snssd 4805 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
2320, 22unssd 4182 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
2411, 23eqsstrrid 4027 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
2524unssad 4183 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2625, 21jca 512 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2726ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)))
28 eqid 2731 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
29 eqid 2731 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
30 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
311adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
32 simprl 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
33 simprr 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3428, 29, 30, 31, 32, 33ellimc 25319 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
3511eqcomi 2740 . . . . . . 7 (𝐴 ∪ {𝐵}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})
3635oveq2i 7404 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
3735mpteq1i 5237 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
38 elun 4144 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
39 velsn 4638 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
4039orbi2i 911 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵))
41 pm5.61 999 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
42 fvres 6897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
4441, 43sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
4544ifeq2da 4554 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
4640, 45sylbi 216 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
4738, 46sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
4847mpteq2ia 5244 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
4937, 48eqtr4i 2762 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)))
5014adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
5132ssdifssd 4138 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
5236, 29, 49, 50, 51, 33ellimc 25319 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
5334, 52bitr4d 281 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)))
5453ex 413 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵))))
5510, 27, 54pm5.21ndd 380 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)))
5655eqrdv 2729 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3941  cun 3942  wss 3944  ifcif 4522  {csn 4622  cmpt 5224  dom cdm 5669  cres 5671  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  cc 11090  t crest 17348  TopOpenctopn 17349  fldccnfld 20878   CnP ccnp 22658   lim climc 25308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-fz 13467  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-struct 17062  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-rest 17350  df-topn 17351  df-topgen 17371  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cnp 22661  df-xms 23755  df-ms 23756  df-limc 25312
This theorem is referenced by:  dvcnp2  25366  dvmulbr  25385  dvrec  25401  fourierdlem62  44657
  Copyright terms: Public domain W3C validator