MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcdif 25040
Description: It suffices to consider functions which are not defined at 𝐵 to define the limit of a function. In particular, the value of the original function 𝐹 at 𝐵 does not affect the limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
limccl.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
limcdif (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵))

Proof of Theorem limcdif
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
21fdmd 6611 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
32adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → dom 𝐹 = 𝐴)
4 limcrcl 25038 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
54adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
65simp2d 1142 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
73, 6eqsstrrd 3960 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
85simp3d 1143 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
97, 8jca 512 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
109ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)))
11 undif1 4409 . . . . . . 7 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵})
12 difss 4066 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
13 fssres 6640 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
141, 12, 13sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
1514fdmd 6611 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
1615adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
17 limcrcl 25038 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
1817adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
1918simp2d 1142 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ)
2016, 19eqsstrrd 3960 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
2118simp3d 1143 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2221snssd 4742 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
2320, 22unssd 4120 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
2411, 23eqsstrrid 3970 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
2524unssad 4121 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2625, 21jca 512 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2726ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)))
28 eqid 2738 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
29 eqid 2738 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
30 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
311adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
32 simprl 768 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
33 simprr 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3428, 29, 30, 31, 32, 33ellimc 25037 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
3511eqcomi 2747 . . . . . . 7 (𝐴 ∪ {𝐵}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})
3635oveq2i 7286 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
3735mpteq1i 5170 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
38 elun 4083 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
39 velsn 4577 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
4039orbi2i 910 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵))
41 pm5.61 998 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
42 fvres 6793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
4441, 43sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
4544ifeq2da 4491 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
4640, 45sylbi 216 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
4738, 46sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
4847mpteq2ia 5177 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
4937, 48eqtr4i 2769 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)))
5014adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
5132ssdifssd 4077 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
5236, 29, 49, 50, 51, 33ellimc 25037 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
5334, 52bitr4d 281 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)))
5453ex 413 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵))))
5510, 27, 54pm5.21ndd 381 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)))
5655eqrdv 2736 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  cdif 3884  cun 3885  wss 3887  ifcif 4459  {csn 4561  cmpt 5157  dom cdm 5589  cres 5591  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  t crest 17131  TopOpenctopn 17132  fldccnfld 20597   CnP ccnp 22376   lim climc 25026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-rest 17133  df-topn 17134  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cnp 22379  df-xms 23473  df-ms 23474  df-limc 25030
This theorem is referenced by:  dvcnp2  25084  dvmulbr  25103  dvrec  25119  fourierdlem62  43709
  Copyright terms: Public domain W3C validator