Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcperiod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcperiod 44423
Description: If 𝐹 is a periodic function with period 𝑇, the limit doesn't change if we shift the limiting point by 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcperiod.f (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
limcperiod.assc (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
limcperiod.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† dom 𝐹)
limcperiod.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
limcperiod.b 𝐡 = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}
limcperiod.bss (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† dom 𝐹)
limcperiod.fper ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦))
limcperiod.clim (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐷))
Assertion
Ref Expression
limcperiod (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ (𝐷 + 𝑇)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem limcperiod
Dummy variables 𝑏 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25399 . . 3 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐷) βŠ† β„‚
2 limcperiod.clim . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐷))
31, 2sselid 3980 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
4 limcperiod.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
5 limcperiod.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† dom 𝐹)
64, 5fssresd 6758 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):π΄βŸΆβ„‚)
7 limcperiod.assc . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
8 limcrcl 25398 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐷) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚))
92, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚))
109simp3d 1144 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
116, 7, 10ellimc3 25403 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐷) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀))))
122, 11mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)))
1312simprd 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀))
1413r19.21bi 3248 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀))
15 simpl1l 1224 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ πœ‘)
1615adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) β†’ πœ‘)
17 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
18 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
19 limcperiod.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐡 = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}
20 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑧 β†’ (𝑦 + 𝑇) = (𝑧 + 𝑇))
2120eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑧 β†’ (π‘₯ = (𝑦 + 𝑇) ↔ π‘₯ = (𝑧 + 𝑇)))
2221cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑧 + 𝑇))
23 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)))
2423rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)))
2522, 24bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)))
2625cbvrabv 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)} = {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}
2719, 26eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐡 = {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)}
2818, 27eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ 𝑏 ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)})
29 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = 𝑏 β†’ (𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3029rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 𝑏 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑀 = (𝑧 + 𝑇) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3130elrab 3683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ {𝑀 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑀 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑏 ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3228, 31sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ (𝑏 ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3332simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇))
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇))
35 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) β†’ (𝑏 βˆ’ 𝑇) = ((𝑧 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
36353ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝑏 βˆ’ 𝑇) = ((𝑧 + 𝑇) βˆ’ 𝑇))
377sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
38 limcperiod.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
4037, 39pncand 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑧 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝑧)
41403adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ ((𝑧 + 𝑇) βˆ’ 𝑇) = 𝑧)
4236, 41eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝑏 βˆ’ 𝑇) = 𝑧)
43 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
4442, 43eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) β†’ (𝑏 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)
45443exp 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) β†’ (𝑏 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)))
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) β†’ (𝑏 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)))
4746rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇) β†’ (𝑏 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴))
4834, 47mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴)
4919ssrab3 4080 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐡 βŠ† β„‚
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
5150sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
5238adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
5351, 52npcand 11577 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑏 βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = 𝑏)
5453eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝑏 = ((𝑏 βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
55 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (𝑏 βˆ’ 𝑇) β†’ (π‘₯ + 𝑇) = ((𝑏 βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
5655rspceeqv 3633 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 βˆ’ 𝑇) ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = ((𝑏 βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇))
5748, 54, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇))
5816, 17, 57syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇))
59 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀))
60 nfrab1 3451 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 π‘₯ = (𝑦 + 𝑇)}
6119, 60nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯𝐡
6261nfcri 2890 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯ 𝑏 ∈ 𝐡
6359, 62nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)
64 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)
6563, 64nfan 1902 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧))
66 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯abs
67 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯𝐹
6867, 61nfres 5983 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯(𝐹 β†Ύ 𝐡)
69 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯𝑏
7068, 69nffv 6901 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘)
71 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯ βˆ’
72 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯𝐢
7370, 71, 72nfov 7441 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) βˆ’ 𝐢)
7466, 73nffv 6901 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) βˆ’ 𝐢))
75 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ <
76 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯𝑀
7774, 75, 76nfbr 5195 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀
78 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇))
7978fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) = ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜(π‘₯ + 𝑇)))
80173ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
8178, 80eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ 𝐡)
8281fvresd 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)))
83163ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ πœ‘)
84 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
85 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ 𝐴))
8685anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)))
87 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)))
88 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
8987, 88eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯)))
9086, 89imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = π‘₯ β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))))
91 limcperiod.fper . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘¦))
9290, 91chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
9383, 84, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
9484fvresd 6911 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
9593, 94eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯))
9679, 82, 953eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯))
9796fvoveq1d 7433 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) βˆ’ 𝐢)) = (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) βˆ’ 𝐢)))
98 simpll3 1214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀))
99983ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀))
10099, 84jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴))
101 simp1rl 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ 𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇))
102101neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ Β¬ 𝑏 = (𝐷 + 𝑇))
103 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝐷 β†’ (π‘₯ + 𝑇) = (𝐷 + 𝑇))
10478, 103sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) ∧ π‘₯ = 𝐷) β†’ 𝑏 = (𝐷 + 𝑇))
105102, 104mtand 814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐷)
106105neqned 2947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ π‘₯ β‰  𝐷)
10778oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ (𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇)) = ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ (𝐷 + 𝑇)))
1087sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
10983, 84, 108syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
11083, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
11183, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
112109, 110, 111pnpcan2d 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ (𝐷 + 𝑇)) = (π‘₯ βˆ’ 𝐷))
113107, 112eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐷) = (𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇)))
114113fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷)) = (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))))
115 simp1rr 1239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)
116114, 115eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷)) < 𝑧)
117106, 116jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ (π‘₯ β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷)) < 𝑧))
118 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 β‰  𝐷 ↔ π‘₯ β‰  𝐷))
119 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = π‘₯ β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷)))
120119breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧 ↔ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷)) < 𝑧))
121118, 120anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) ↔ (π‘₯ β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷)) < 𝑧)))
122121imbrov2fvoveq 7436 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ (((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀) ↔ ((π‘₯ β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)))
123122rspccva 3611 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀))
124100, 117, 123sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)
12597, 124eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)
1261253exp 1119 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝑏 = (π‘₯ + 𝑇) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)))
12765, 77, 126rexlimd 3263 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑏 = (π‘₯ + 𝑇) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀))
12858, 127mpd 15 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)
129128ex 413 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀))
130129ralrimiva 3146 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀))
1311303exp 1119 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (𝑧 ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀))))
132131reximdvai 3165 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((𝑦 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀)))
13314, 132mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀))
134133ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀))
135 limcperiod.bss . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† dom 𝐹)
1364, 135fssresd 6758 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„‚)
13710, 38addcld 11235 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷 + 𝑇) ∈ β„‚)
138136, 50, 137ellimc3 25403 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ (𝐷 + 𝑇)) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 ((𝑏 β‰  (𝐷 + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) βˆ’ 𝐢)) < 𝑀))))
1393, 134, 138mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ (𝐷 + 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110   + caddc 11115   < clt 11250   βˆ’ cmin 11446  β„+crp 12976  abscabs 15183   limβ„‚ climc 25386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-fz 13487  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-rest 17370  df-topn 17371  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cnp 22739  df-xms 23833  df-ms 23834  df-limc 25390
This theorem is referenced by:  fourierdlem48  44949  fourierdlem49  44950  fourierdlem81  44982  fourierdlem89  44990  fourierdlem91  44992  fourierdlem92  44993
  Copyright terms: Public domain W3C validator