Theorem limcperiod 43801

Description: If 𝐹 is a periodic function with period 𝑇, the limit doesn't change if we shift the limiting point by 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcperiod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
limcperiod.assc	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcperiod.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
limcperiod.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
limcperiod.b	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
limcperiod.bss	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom 𝐹)
limcperiod.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦))
limcperiod.clim	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
limcperiod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝐷 + 𝑇)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem limcperiod

Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 25223	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
2		limcperiod.clim	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷))
3	1, 2	sselid 3940	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		limcperiod.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
5		limcperiod.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
6	4, 5	fssresd 6706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶ℂ)
7		limcperiod.assc	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
8		limcrcl 25222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷) → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
9	2, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
10	9	simp3d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
11	6, 7, 10	ellimc3 25227	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))))
12	2, 11	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)))
13	12	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
14	13	r19.21bi 3232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
15		simpl1l 1224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝜑)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → 𝜑)
17		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
18		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ 𝐵)
19		limcperiod.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
20		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + 𝑇) = (𝑧 + 𝑇))
21	20	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
22	21	cbvrexvw 3224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
23		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
24	23	rexbidv 3173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
25	22, 24	bitrid 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
26	25	cbvrabv 3415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
27	19, 26	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
28	18, 27	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
29		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
30	29	rexbidv 3173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
31	30	elrab 3643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
32	28, 31	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (𝑏 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
33	32	simprd 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇))
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇))
35		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏 − 𝑇) = ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇))
36	35	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏 − 𝑇) = ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇))
37	7	sselda 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
38		limcperiod.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
40	37, 39	pncand 11509	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑧)
41	40	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑧)
42	36, 41	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏 − 𝑇) = 𝑧)
43		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
44	42, 43	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴)
45	44	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴)))
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴)))
47	46	rexlimdv 3148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴))
48	34, 47	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴)
49	19	ssrab3 4038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 ⊆ ℂ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
51	50	sselda 3942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℂ)
52	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
53	51, 52	npcand 11512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏 − 𝑇) + 𝑇) = 𝑏)
54	53	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 = ((𝑏 − 𝑇) + 𝑇))
55		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑏 − 𝑇) → (𝑥 + 𝑇) = ((𝑏 − 𝑇) + 𝑇))
56	55	rspceeqv 3593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = ((𝑏 − 𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
57	48, 54, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
58	16, 17, 57	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
59		nfv 1917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
60		nfrab1 3424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
61	19, 60	nfcxfr 2903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
62	61	nfcri 2892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ 𝐵
63	59, 62	nfan 1902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)
64		nfv 1917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)
65	63, 64	nfan 1902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧))
66		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥abs
67		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
68	67, 61	nfres 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹 ↾ 𝐵)
69		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑏
70	68, 69	nffv 6849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏)
71		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥 −
72		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
73	70, 71, 72	nfov 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)
74	66, 73	nffv 6849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶))
75		nfcv 2905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 <
76		nfcv 2905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
77	74, 75, 76	nfbr 5150	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤
78		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
79	78	fveq2d 6843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) = ((𝐹 ↾ 𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)))
80	17	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
81	78, 80	eqeltrrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ 𝐵)
82	81	fvresd 6859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
83	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝜑)
84		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
85		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
86	85	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
87		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
88		fveq2 6839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
89	87, 88	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥)))
90	86, 89	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))))
91		limcperiod.fper	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦))
92	90, 91	chvarvv 2002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
93	83, 84, 92	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
94	84	fvresd 6859	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
95	93, 94	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥))
96	79, 82, 95	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥))
97	96	fvoveq1d 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) = (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶)))
98		simpll3 1214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
99	98	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
100	99, 84	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
101		simp1rl 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇))
102	101	neneqd 2946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ¬ 𝑏 = (𝐷 + 𝑇))
103		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝑥 + 𝑇) = (𝐷 + 𝑇))
104	78, 103	sylan9eq 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) ∧ 𝑥 = 𝐷) → 𝑏 = (𝐷 + 𝑇))
105	102, 104	mtand 814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ¬ 𝑥 = 𝐷)
106	105	neqned 2948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ≠ 𝐷)
107	78	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑏 − (𝐷 + 𝑇)) = ((𝑥 + 𝑇) − (𝐷 + 𝑇)))
108	7	sselda 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
109	83, 84, 108	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℂ)
110	83, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝐷 ∈ ℂ)
111	83, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℂ)
112	109, 110, 111	pnpcan2d 11546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) − (𝐷 + 𝑇)) = (𝑥 − 𝐷))
113	107, 112	eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥 − 𝐷) = (𝑏 − (𝐷 + 𝑇)))
114	113	fveq2d 6843	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑥 − 𝐷)) = (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))))
115		simp1rr 1239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)
116	114, 115	eqbrtrd 5125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧)
117	106, 116	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧))
118		neeq1 3004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≠ 𝐷 ↔ 𝑥 ≠ 𝐷))
119		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝑦 − 𝐷)) = (abs‘(𝑥 − 𝐷)))
120	119	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧))
121	118, 120	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) ↔ (𝑥 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧)))
122	121	imbrov2fvoveq 7378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ↔ ((𝑥 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤)))
123	122	rspccva 3578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤))
124	100, 117, 123	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤)
125	97, 124	eqbrtrd 5125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)
126	125	3exp 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑏 = (𝑥 + 𝑇) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)))
127	65, 77, 126	rexlimd 3247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
128	58, 127	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)
129	128	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
130	129	ralrimiva 3141	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
131	130	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))))
132	131	reximdvai 3160	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)))
133	14, 132	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
134	133	ralrimiva 3141	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
135		limcperiod.bss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom 𝐹)
136	4, 135	fssresd 6706	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ)
137	10, 38	addcld 11170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 𝑇) ∈ ℂ)
138	136, 50, 137	ellimc3 25227	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝐷 + 𝑇)) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))))
139	3, 134, 138	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝐷 + 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3405   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5103  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7353  ℂcc 11045   + caddc 11050   < clt 11185   − cmin 11381  ℝ⁺crp 12907  abscabs 15111   lim_ℂ climc 25210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-fz 13417  df-seq 13899  df-exp 13960  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-struct 17011  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-unif 17148  df-rest 17296  df-topn 17297  df-topgen 17317  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-cnfld 20782  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-cnp 22563  df-xms 23657  df-ms 23658  df-limc 25214

This theorem is referenced by:  fourierdlem48  44327  fourierdlem49  44328  fourierdlem81  44360  fourierdlem89  44368  fourierdlem91  44370  fourierdlem92  44371