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Theorem limcperiod 42844
Description: If 𝐹 is a periodic function with period 𝑇, the limit doesn't change if we shift the limiting point by 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcperiod.f (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
limcperiod.assc (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcperiod.3 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
limcperiod.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
limcperiod.b 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
limcperiod.bss (𝜑𝐵 ⊆ dom 𝐹)
limcperiod.fper ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))
limcperiod.clim (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐷))
Assertion
Ref Expression
limcperiod (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝐷 + 𝑇)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem limcperiod
Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 24772 . . 3 ((𝐹𝐴) lim 𝐷) ⊆ ℂ
2 limcperiod.clim . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐷))
31, 2sseldi 3899 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 limcperiod.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
5 limcperiod.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
64, 5fssresd 6586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴):𝐴⟶ℂ)
7 limcperiod.assc . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
8 limcrcl 24771 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐷) → ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
92, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
109simp3d 1146 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
116, 7, 10ellimc3 24776 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))))
122, 11mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)))
1312simprd 499 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
1413r19.21bi 3130 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
15 simpl1l 1226 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝜑)
1615adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → 𝜑)
17 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → 𝑏𝐵)
18 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝐵𝑏𝐵)
19 limcperiod.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
20 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + 𝑇) = (𝑧 + 𝑇))
2120eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
2221cbvrexvw 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
23 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
2423rexbidv 3216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
2522, 24syl5bb 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
2625cbvrabv 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
2719, 26eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
2818, 27eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏𝐵𝑏 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
29 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3029rexbidv 3216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑏 → (∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3130elrab 3602 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3228, 31sylib 221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝐵 → (𝑏 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3332simprd 499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝐵 → ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇))
3433adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇))
35 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏𝑇) = ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇))
36353ad2ant3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏𝑇) = ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇))
377sselda 3901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
38 limcperiod.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
3938adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
4037, 39pncand 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑧)
41403adant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑧)
4236, 41eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏𝑇) = 𝑧)
43 simp2 1139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑧𝐴)
4442, 43eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴)
45443exp 1121 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑧𝐴 → (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴)))
4645adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑧𝐴 → (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴)))
4746rexlimdv 3202 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → (∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴))
4834, 47mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴)
4919ssrab3 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 ⊆ ℂ
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
5150sselda 3901 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℂ)
5238adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
5351, 52npcand 11193 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → ((𝑏𝑇) + 𝑇) = 𝑏)
5453eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 = ((𝑏𝑇) + 𝑇))
55 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑏𝑇) → (𝑥 + 𝑇) = ((𝑏𝑇) + 𝑇))
5655rspceeqv 3552 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏𝑇) ∈ 𝐴𝑏 = ((𝑏𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑥𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
5748, 54, 56syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
5816, 17, 57syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → ∃𝑥𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
59 nfv 1922 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
60 nfrab1 3296 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥{𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
6119, 60nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵
6261nfcri 2891 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑏𝐵
6359, 62nfan 1907 . . . . . . . . . . 11 𝑥(((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵)
64 nfv 1922 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)
6563, 64nfan 1907 . . . . . . . . . 10 𝑥((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧))
66 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 𝑥abs
67 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐹
6867, 61nfres 5853 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝐹𝐵)
69 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑏
7068, 69nffv 6727 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝐹𝐵)‘𝑏)
71 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥
72 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐶
7370, 71, 72nfov 7243 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)
7466, 73nffv 6727 . . . . . . . . . . 11 𝑥(abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶))
75 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑥 <
76 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑤
7774, 75, 76nfbr 5100 . . . . . . . . . 10 𝑥(abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤
78 simp3 1140 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
7978fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹𝐵)‘𝑏) = ((𝐹𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)))
80173ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏𝐵)
8178, 80eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ 𝐵)
8281fvresd 6737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
83163ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝜑)
84 simp2 1139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥𝐴)
85 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐴𝑥𝐴))
8685anbi2d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → ((𝜑𝑦𝐴) ↔ (𝜑𝑥𝐴)))
87 fvoveq1 7236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
88 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
8987, 88eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)))
9086, 89imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦)) ↔ ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))))
91 limcperiod.fper . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))
9290, 91chvarvv 2007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
9383, 84, 92syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
9484fvresd 6737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
9593, 94eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐹𝐴)‘𝑥))
9679, 82, 953eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹𝐵)‘𝑏) = ((𝐹𝐴)‘𝑥))
9796fvoveq1d 7235 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)))
98 simpll3 1216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
99983ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
10099, 84jca 515 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ∧ 𝑥𝐴))
101 simp1rl 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇))
102101neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ¬ 𝑏 = (𝐷 + 𝑇))
103 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝐷 → (𝑥 + 𝑇) = (𝐷 + 𝑇))
10478, 103sylan9eq 2798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) ∧ 𝑥 = 𝐷) → 𝑏 = (𝐷 + 𝑇))
105102, 104mtand 816 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ¬ 𝑥 = 𝐷)
106105neqned 2947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥𝐷)
10778oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑏 − (𝐷 + 𝑇)) = ((𝑥 + 𝑇) − (𝐷 + 𝑇)))
1087sselda 3901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
10983, 84, 108syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℂ)
11083, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝐷 ∈ ℂ)
11183, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℂ)
112109, 110, 111pnpcan2d 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) − (𝐷 + 𝑇)) = (𝑥𝐷))
113107, 112eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥𝐷) = (𝑏 − (𝐷 + 𝑇)))
114113fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑥𝐷)) = (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))))
115 simp1rr 1241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)
116114, 115eqbrtrd 5075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧)
117106, 116jca 515 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥𝐷 ∧ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧))
118 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐷𝑥𝐷))
119 fvoveq1 7236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝑦𝐷)) = (abs‘(𝑥𝐷)))
120119breq1d 5063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧))
121118, 120anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧)))
122121imbrov2fvoveq 7238 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ↔ ((𝑥𝐷 ∧ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤)))
123122rspccva 3536 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥𝐷 ∧ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤))
124100, 117, 123sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤)
12597, 124eqbrtrd 5075 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)
1261253exp 1121 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (𝑥𝐴 → (𝑏 = (𝑥 + 𝑇) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)))
12765, 77, 126rexlimd 3236 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (∃𝑥𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
12858, 127mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)
129128ex 416 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) → ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
130129ralrimiva 3105 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) → ∀𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
1311303exp 1121 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) → ∀𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))))
132131reximdvai 3191 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)))
13314, 132mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
134133ralrimiva 3105 . 2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
135 limcperiod.bss . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ dom 𝐹)
1364, 135fssresd 6586 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
13710, 38addcld 10852 . . 3 (𝜑 → (𝐷 + 𝑇) ∈ ℂ)
138136, 50, 137ellimc3 24776 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝐷 + 𝑇)) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))))
1393, 134, 138mpbir2and 713 1 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝐷 + 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  wss 3866   class class class wbr 5053  dom cdm 5551  cres 5553  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727   + caddc 10732   < clt 10867  cmin 11062  +crp 12586  abscabs 14797   lim climc 24759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-fz 13096  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-struct 16700  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-rest 16927  df-topn 16928  df-topgen 16948  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cnp 22125  df-xms 23218  df-ms 23219  df-limc 24763
This theorem is referenced by:  fourierdlem48  43370  fourierdlem49  43371  fourierdlem81  43403  fourierdlem89  43411  fourierdlem91  43413  fourierdlem92  43414
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