Theorem limcperiod 41916

Description: If 𝐹 is a periodic function with period 𝑇, the limit doesn't change if we shift the limiting point by 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcperiod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
limcperiod.assc	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcperiod.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
limcperiod.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
limcperiod.b	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
limcperiod.bss	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom 𝐹)
limcperiod.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦))
limcperiod.clim	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
limcperiod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝐷 + 𝑇)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem limcperiod

Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 24475	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
2		limcperiod.clim	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷))
3	1, 2	sseldi 3967	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		limcperiod.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
5		limcperiod.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
6	4, 5	fssresd 6547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶ℂ)
7		limcperiod.assc	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
8		limcrcl 24474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷) → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
9	2, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
10	9	simp3d 1140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
11	6, 7, 10	ellimc3 24479	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))))
12	2, 11	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)))
13	12	simprd 498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
14	13	r19.21bi 3210	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
15		simpl1l 1220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝜑)
16	15	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → 𝜑)
17		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
18		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ 𝐵)
19		limcperiod.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
20		oveq1 7165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + 𝑇) = (𝑧 + 𝑇))
21	20	eqeq2d 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
22	21	cbvrexvw 3452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
23		eqeq1 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
24	23	rexbidv 3299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
25	22, 24	syl5bb 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
26	25	cbvrabv 3493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
27	19, 26	eqtri 2846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
28	18, 27	eleqtrdi 2925	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
29		eqeq1 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
30	29	rexbidv 3299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
31	30	elrab 3682	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
32	28, 31	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (𝑏 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
33	32	simprd 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇))
34	33	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇))
35		oveq1 7165	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏 − 𝑇) = ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇))
36	35	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏 − 𝑇) = ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇))
37	7	sselda 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
38		limcperiod.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
39	38	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
40	37, 39	pncand 11000	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑧)
41	40	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑧)
42	36, 41	eqtrd 2858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏 − 𝑇) = 𝑧)
43		simp2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
44	42, 43	eqeltrd 2915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴)
45	44	3exp 1115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴)))
46	45	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴)))
47	46	rexlimdv 3285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴))
48	34, 47	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴)
49	19	ssrab3 4059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 ⊆ ℂ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
51	50	sselda 3969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℂ)
52	38	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
53	51, 52	npcand 11003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏 − 𝑇) + 𝑇) = 𝑏)
54	53	eqcomd 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 = ((𝑏 − 𝑇) + 𝑇))
55		oveq1 7165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑏 − 𝑇) → (𝑥 + 𝑇) = ((𝑏 − 𝑇) + 𝑇))
56	55	rspceeqv 3640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = ((𝑏 − 𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
57	48, 54, 56	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
58	16, 17, 57	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
59		nfv 1915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
60		nfrab1 3386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
61	19, 60	nfcxfr 2977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
62	61	nfcri 2973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ 𝐵
63	59, 62	nfan 1900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)
64		nfv 1915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)
65	63, 64	nfan 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧))
66		nfcv 2979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥abs
67		nfcv 2979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
68	67, 61	nfres 5857	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹 ↾ 𝐵)
69		nfcv 2979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑏
70	68, 69	nffv 6682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏)
71		nfcv 2979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥 −
72		nfcv 2979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
73	70, 71, 72	nfov 7188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)
74	66, 73	nffv 6682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶))
75		nfcv 2979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 <
76		nfcv 2979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
77	74, 75, 76	nfbr 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤
78		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
79	78	fveq2d 6676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) = ((𝐹 ↾ 𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)))
80	17	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
81	78, 80	eqeltrrd 2916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ 𝐵)
82	81	fvresd 6692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
83	16	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝜑)
84		simp2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
85		eleq1w 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
86	85	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
87		fvoveq1 7181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
88		fveq2 6672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
89	87, 88	eqeq12d 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥)))
90	86, 89	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))))
91		limcperiod.fper	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦))
92	90, 91	chvarvv 2005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
93	83, 84, 92	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
94	84	fvresd 6692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
95	93, 94	eqtr4d 2861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥))
96	79, 82, 95	3eqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥))
97	96	fvoveq1d 7180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) = (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶)))
98		simpll3 1210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
99	98	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
100	99, 84	jca 514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
101		simp1rl 1234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇))
102	101	neneqd 3023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ¬ 𝑏 = (𝐷 + 𝑇))
103		oveq1 7165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝑥 + 𝑇) = (𝐷 + 𝑇))
104	78, 103	sylan9eq 2878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) ∧ 𝑥 = 𝐷) → 𝑏 = (𝐷 + 𝑇))
105	102, 104	mtand 814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ¬ 𝑥 = 𝐷)
106	105	neqned 3025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ≠ 𝐷)
107	78	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑏 − (𝐷 + 𝑇)) = ((𝑥 + 𝑇) − (𝐷 + 𝑇)))
108	7	sselda 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
109	83, 84, 108	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℂ)
110	83, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝐷 ∈ ℂ)
111	83, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℂ)
112	109, 110, 111	pnpcan2d 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) − (𝐷 + 𝑇)) = (𝑥 − 𝐷))
113	107, 112	eqtr2d 2859	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥 − 𝐷) = (𝑏 − (𝐷 + 𝑇)))
114	113	fveq2d 6676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑥 − 𝐷)) = (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))))
115		simp1rr 1235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)
116	114, 115	eqbrtrd 5090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧)
117	106, 116	jca 514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧))
118		neeq1 3080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≠ 𝐷 ↔ 𝑥 ≠ 𝐷))
119		fvoveq1 7181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝑦 − 𝐷)) = (abs‘(𝑥 − 𝐷)))
120	119	breq1d 5078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧))
121	118, 120	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) ↔ (𝑥 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧)))
122	121	imbrov2fvoveq 7183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ↔ ((𝑥 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤)))
123	122	rspccva 3624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤))
124	100, 117, 123	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤)
125	97, 124	eqbrtrd 5090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)
126	125	3exp 1115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑏 = (𝑥 + 𝑇) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)))
127	65, 77, 126	rexlimd 3319	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
128	58, 127	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)
129	128	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
130	129	ralrimiva 3184	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
131	130	3exp 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))))
132	131	reximdvai 3274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)))
133	14, 132	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
134	133	ralrimiva 3184	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
135		limcperiod.bss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom 𝐹)
136	4, 135	fssresd 6547	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ)
137	10, 38	addcld 10662	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 𝑇) ∈ ℂ)
138	136, 50, 137	ellimc3 24479	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝐷 + 𝑇)) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))))
139	3, 134, 138	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝐷 + 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  {crab 3144   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068  dom cdm 5557   ↾ cres 5559  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537   + caddc 10542   < clt 10677   − cmin 10872  ℝ⁺crp 12392  abscabs 14595   lim_ℂ climc 24462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-rest 16698  df-topn 16699  df-topgen 16719  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cnp 21838  df-xms 22932  df-ms 22933  df-limc 24466

This theorem is referenced by:  fourierdlem48  42446  fourierdlem49  42447  fourierdlem81  42479  fourierdlem89  42487  fourierdlem91  42489  fourierdlem92  42490