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Theorem limcperiod 43859
Description: If 𝐹 is a periodic function with period 𝑇, the limit doesn't change if we shift the limiting point by 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcperiod.f (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
limcperiod.assc (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcperiod.3 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
limcperiod.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
limcperiod.b 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
limcperiod.bss (𝜑𝐵 ⊆ dom 𝐹)
limcperiod.fper ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))
limcperiod.clim (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐷))
Assertion
Ref Expression
limcperiod (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝐷 + 𝑇)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem limcperiod
Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25239 . . 3 ((𝐹𝐴) lim 𝐷) ⊆ ℂ
2 limcperiod.clim . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐷))
31, 2sselid 3942 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 limcperiod.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
5 limcperiod.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
64, 5fssresd 6709 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴):𝐴⟶ℂ)
7 limcperiod.assc . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
8 limcrcl 25238 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐷) → ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
92, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
109simp3d 1144 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
116, 7, 10ellimc3 25243 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))))
122, 11mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)))
1312simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
1413r19.21bi 3234 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
15 simpl1l 1224 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝜑)
1615adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → 𝜑)
17 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → 𝑏𝐵)
18 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝐵𝑏𝐵)
19 limcperiod.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
20 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + 𝑇) = (𝑧 + 𝑇))
2120eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
2221cbvrexvw 3226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
23 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
2423rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
2522, 24bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
2625cbvrabv 3417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
2719, 26eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
2818, 27eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏𝐵𝑏 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
29 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3029rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑏 → (∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3130elrab 3645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3228, 31sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝐵 → (𝑏 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3332simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝐵 → ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇))
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇))
35 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏𝑇) = ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇))
36353ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏𝑇) = ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇))
377sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
38 limcperiod.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
4037, 39pncand 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑧)
41403adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑧)
4236, 41eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏𝑇) = 𝑧)
43 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑧𝐴)
4442, 43eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴)
45443exp 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑧𝐴 → (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴)))
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑧𝐴 → (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴)))
4746rexlimdv 3150 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → (∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴))
4834, 47mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴)
4919ssrab3 4040 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 ⊆ ℂ
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
5150sselda 3944 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℂ)
5238adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
5351, 52npcand 11516 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → ((𝑏𝑇) + 𝑇) = 𝑏)
5453eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 = ((𝑏𝑇) + 𝑇))
55 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑏𝑇) → (𝑥 + 𝑇) = ((𝑏𝑇) + 𝑇))
5655rspceeqv 3595 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏𝑇) ∈ 𝐴𝑏 = ((𝑏𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑥𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
5748, 54, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
5816, 17, 57syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → ∃𝑥𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
59 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
60 nfrab1 3426 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥{𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
6119, 60nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵
6261nfcri 2894 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑏𝐵
6359, 62nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 𝑥(((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵)
64 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)
6563, 64nfan 1902 . . . . . . . . . 10 𝑥((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧))
66 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑥abs
67 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐹
6867, 61nfres 5939 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝐹𝐵)
69 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑏
7068, 69nffv 6852 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝐹𝐵)‘𝑏)
71 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥
72 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐶
7370, 71, 72nfov 7387 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)
7466, 73nffv 6852 . . . . . . . . . . 11 𝑥(abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶))
75 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑥 <
76 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑤
7774, 75, 76nfbr 5152 . . . . . . . . . 10 𝑥(abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤
78 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
7978fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹𝐵)‘𝑏) = ((𝐹𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)))
80173ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏𝐵)
8178, 80eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ 𝐵)
8281fvresd 6862 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
83163ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝜑)
84 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥𝐴)
85 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐴𝑥𝐴))
8685anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → ((𝜑𝑦𝐴) ↔ (𝜑𝑥𝐴)))
87 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
88 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
8987, 88eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)))
9086, 89imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦)) ↔ ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))))
91 limcperiod.fper . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))
9290, 91chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
9383, 84, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
9484fvresd 6862 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
9593, 94eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐹𝐴)‘𝑥))
9679, 82, 953eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹𝐵)‘𝑏) = ((𝐹𝐴)‘𝑥))
9796fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)))
98 simpll3 1214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
99983ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
10099, 84jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ∧ 𝑥𝐴))
101 simp1rl 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇))
102101neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ¬ 𝑏 = (𝐷 + 𝑇))
103 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝐷 → (𝑥 + 𝑇) = (𝐷 + 𝑇))
10478, 103sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) ∧ 𝑥 = 𝐷) → 𝑏 = (𝐷 + 𝑇))
105102, 104mtand 814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ¬ 𝑥 = 𝐷)
106105neqned 2950 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥𝐷)
10778oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑏 − (𝐷 + 𝑇)) = ((𝑥 + 𝑇) − (𝐷 + 𝑇)))
1087sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
10983, 84, 108syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℂ)
11083, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝐷 ∈ ℂ)
11183, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℂ)
112109, 110, 111pnpcan2d 11550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) − (𝐷 + 𝑇)) = (𝑥𝐷))
113107, 112eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥𝐷) = (𝑏 − (𝐷 + 𝑇)))
114113fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑥𝐷)) = (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))))
115 simp1rr 1239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)
116114, 115eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧)
117106, 116jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥𝐷 ∧ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧))
118 neeq1 3006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐷𝑥𝐷))
119 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝑦𝐷)) = (abs‘(𝑥𝐷)))
120119breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧))
121118, 120anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧)))
122121imbrov2fvoveq 7382 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ↔ ((𝑥𝐷 ∧ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤)))
123122rspccva 3580 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥𝐷 ∧ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤))
124100, 117, 123sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤)
12597, 124eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)
1261253exp 1119 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (𝑥𝐴 → (𝑏 = (𝑥 + 𝑇) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)))
12765, 77, 126rexlimd 3249 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (∃𝑥𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
12858, 127mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)
129128ex 413 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) → ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
130129ralrimiva 3143 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) → ∀𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
1311303exp 1119 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) → ∀𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))))
132131reximdvai 3162 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)))
13314, 132mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
134133ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
135 limcperiod.bss . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ dom 𝐹)
1364, 135fssresd 6709 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
13710, 38addcld 11174 . . 3 (𝜑 → (𝐷 + 𝑇) ∈ ℂ)
138136, 50, 137ellimc3 25243 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝐷 + 𝑇)) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))))
1393, 134, 138mpbir2and 711 1 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝐷 + 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049   + caddc 11054   < clt 11189  cmin 11385  +crp 12915  abscabs 15119   lim climc 25226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cnp 22579  df-xms 23673  df-ms 23674  df-limc 25230
This theorem is referenced by:  fourierdlem48  44385  fourierdlem49  44386  fourierdlem81  44418  fourierdlem89  44426  fourierdlem91  44428  fourierdlem92  44429
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