Theorem limcperiod 45816

Description: If 𝐹 is a periodic function with period 𝑇, the limit doesn't change if we shift the limiting point by 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcperiod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
limcperiod.assc	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcperiod.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
limcperiod.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
limcperiod.b	⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
limcperiod.bss	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom 𝐹)
limcperiod.fper	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦))
limcperiod.clim	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
limcperiod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝐷 + 𝑇)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem limcperiod

Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 25830	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
2		limcperiod.clim	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷))
3	1, 2	sselid 3929	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		limcperiod.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
5		limcperiod.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
6	4, 5	fssresd 6699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶ℂ)
7		limcperiod.assc	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
8		limcrcl 25829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷) → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
9	2, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
10	9	simp3d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
11	6, 7, 10	ellimc3 25834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))))
12	2, 11	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)))
13	12	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
14	13	r19.21bi 3226	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
15		simpl1l 1225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝜑)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → 𝜑)
17		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
18		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ 𝐵)
19		limcperiod.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
20		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + 𝑇) = (𝑧 + 𝑇))
21	20	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
22	21	cbvrexvw 3213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
23		eqeq1 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
24	23	rexbidv 3158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
25	22, 24	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
26	25	cbvrabv 3407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
27	19, 26	eqtri 2757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
28	18, 27	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
29		eqeq1 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
30	29	rexbidv 3158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
31	30	elrab 3644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
32	28, 31	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (𝑏 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
33	32	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇))
35		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏 − 𝑇) = ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇))
36	35	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏 − 𝑇) = ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇))
37	7	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
38		limcperiod.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
40	37, 39	pncand 11491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑧)
41	40	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑧)
42	36, 41	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏 − 𝑇) = 𝑧)
43		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
44	42, 43	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴)
45	44	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴)))
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴)))
47	46	rexlimdv 3133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴))
48	34, 47	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴)
49	19	ssrab3 4032	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 ⊆ ℂ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
51	50	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ ℂ)
52	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
53	51, 52	npcand 11494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏 − 𝑇) + 𝑇) = 𝑏)
54	53	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 = ((𝑏 − 𝑇) + 𝑇))
55		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑏 − 𝑇) → (𝑥 + 𝑇) = ((𝑏 − 𝑇) + 𝑇))
56	55	rspceeqv 3597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 − 𝑇) ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = ((𝑏 − 𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
57	48, 54, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
58	16, 17, 57	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
59		nfv 1915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
60		nfrab1 3417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
61	19, 60	nfcxfr 2894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
62	61	nfcri 2888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑏 ∈ 𝐵
63	59, 62	nfan 1900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)
64		nfv 1915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)
65	63, 64	nfan 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧))
66		nfcv 2896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥abs
67		nfcv 2896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
68	67, 61	nfres 5938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹 ↾ 𝐵)
69		nfcv 2896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑏
70	68, 69	nffv 6842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏)
71		nfcv 2896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥 −
72		nfcv 2896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
73	70, 71, 72	nfov 7386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)
74	66, 73	nffv 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶))
75		nfcv 2896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 <
76		nfcv 2896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
77	74, 75, 76	nfbr 5143	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤
78		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
79	78	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) = ((𝐹 ↾ 𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)))
80	17	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
81	78, 80	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ 𝐵)
82	81	fvresd 6852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
83	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝜑)
84		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
85		eleq1w 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
86	85	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
87		fvoveq1 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
88		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
89	87, 88	eqeq12d 2750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥)))
90	86, 89	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))))
91		limcperiod.fper	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑦))
92	90, 91	chvarvv 1990	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
93	83, 84, 92	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
94	84	fvresd 6852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
95	93, 94	eqtr4d 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥))
96	79, 82, 95	3eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) = ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥))
97	96	fvoveq1d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) = (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶)))
98		simpll3 1215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
99	98	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
100	99, 84	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
101		simp1rl 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇))
102	101	neneqd 2935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ¬ 𝑏 = (𝐷 + 𝑇))
103		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝐷 → (𝑥 + 𝑇) = (𝐷 + 𝑇))
104	78, 103	sylan9eq 2789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) ∧ 𝑥 = 𝐷) → 𝑏 = (𝐷 + 𝑇))
105	102, 104	mtand 815	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ¬ 𝑥 = 𝐷)
106	105	neqned 2937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ≠ 𝐷)
107	78	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑏 − (𝐷 + 𝑇)) = ((𝑥 + 𝑇) − (𝐷 + 𝑇)))
108	7	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
109	83, 84, 108	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℂ)
110	83, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝐷 ∈ ℂ)
111	83, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℂ)
112	109, 110, 111	pnpcan2d 11528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) − (𝐷 + 𝑇)) = (𝑥 − 𝐷))
113	107, 112	eqtr2d 2770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥 − 𝐷) = (𝑏 − (𝐷 + 𝑇)))
114	113	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑥 − 𝐷)) = (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))))
115		simp1rr 1240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)
116	114, 115	eqbrtrd 5118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧)
117	106, 116	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧))
118		neeq1 2992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≠ 𝐷 ↔ 𝑥 ≠ 𝐷))
119		fvoveq1 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝑦 − 𝐷)) = (abs‘(𝑥 − 𝐷)))
120	119	breq1d 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧))
121	118, 120	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) ↔ (𝑥 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧)))
122	121	imbrov2fvoveq 7381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ↔ ((𝑥 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤)))
123	122	rspccva 3573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤))
124	100, 117, 123	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤)
125	97, 124	eqbrtrd 5118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)
126	125	3exp 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑏 = (𝑥 + 𝑇) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)))
127	65, 77, 126	rexlimd 3241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
128	58, 127	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)
129	128	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
130	129	ralrimiva 3126	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
131	130	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))))
132	131	reximdvai 3145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑦 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)))
133	14, 132	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
134	133	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
135		limcperiod.bss	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom 𝐹)
136	4, 135	fssresd 6699	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ)
137	10, 38	addcld 11149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + 𝑇) ∈ ℂ)
138	136, 50, 137	ellimc3 25834	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝐷 + 𝑇)) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))))
139	3, 134, 138	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ (𝐷 + 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  {crab 3397   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5096  dom cdm 5622   ↾ cres 5624  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022   + caddc 11027   < clt 11164   − cmin 11362  ℝ⁺crp 12903  abscabs 15155   lim_ℂ climc 25817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-fz 13422  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-struct 17072  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-rest 17340  df-topn 17341  df-topgen 17361  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cnp 23170  df-xms 24262  df-ms 24263  df-limc 25821

This theorem is referenced by:  fourierdlem48  46340  fourierdlem49  46341  fourierdlem81  46373  fourierdlem89  46381  fourierdlem91  46383  fourierdlem92  46384