Theorem limccl 25911

Description: Closure of the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limccl	⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ

Proof of Theorem limccl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 25910	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (dom 𝐹 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (dom 𝐹 ∪ {𝐵}))
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	limcfval 25908	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (dom 𝐹 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)} ∧ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ))
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → ((𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (dom 𝐹 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)} ∧ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ))
6	5	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ)
7		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
8	6, 7	sseldd 3983	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
9	8	ssriv 3986	1 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {cab 2713   ∪ cun 3948   ⊆ wss 3950  ifcif 4524  {csn 4625   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5684  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154   ↾_t crest 17466  TopOpenctopn 17467  ℂ_fldccnfld 21365   CnP ccnp 23234   lim_ℂ climc 25898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-fz 13549  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cnp 23237  df-xms 24331  df-ms 24332  df-limc 25902

This theorem is referenced by:  ellimc2  25913  limcres  25922  limcco  25929  limciun  25930  limcun  25931  dvfval  25933  dvcl  25935  lhop1lem  26053  mullimc  45636  limcdm0  45638  limccog  45640  mullimcf  45643  limcperiod  45648  limcrecl  45649  limcleqr  45664  neglimc  45667  addlimc  45668  limclner  45671  sublimc  45672  reclimc  45673  divlimc  45676  cncfiooicclem1  45913  cncfiooicc  45914  itgioocnicc  45997  iblcncfioo  45998  fourierdlem60  46186  fourierdlem61  46187  fourierdlem73  46199  fourierdlem74  46200  fourierdlem75  46201  fourierdlem81  46207  fourierdlem103  46229  fourierdlem104  46230  fourierdlem112  46238