Theorem limccl 25890

Description: Closure of the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limccl	⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ

Proof of Theorem limccl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 25889	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (dom 𝐹 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (dom 𝐹 ∪ {𝐵}))
3		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	limcfval 25887	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (dom 𝐹 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)} ∧ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ))
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → ((𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (dom 𝐹 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)} ∧ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ))
6	5	simprd 494	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ)
7		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
8	6, 7	sseldd 3980	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
9	8	ssriv 3983	1 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ

Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2703   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  ifcif 4524  {csn 4624   ↦ cmpt 5227  dom cdm 5673  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414  ℂcc 11145   ↾_t crest 17428  TopOpenctopn 17429  ℂ_fldccnfld 21337   CnP ccnp 23215   lim_ℂ climc 25877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9445  df-sup 9476  df-inf 9477  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-fz 13531  df-seq 14014  df-exp 14074  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-struct 17142  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-starv 17274  df-tset 17278  df-ple 17279  df-ds 17281  df-unif 17282  df-rest 17430  df-topn 17431  df-topgen 17451  df-psmet 21329  df-xmet 21330  df-met 21331  df-bl 21332  df-mopn 21333  df-cnfld 21338  df-top 22882  df-topon 22899  df-topsp 22921  df-bases 22935  df-cnp 23218  df-xms 24312  df-ms 24313  df-limc 25881

This theorem is referenced by:  ellimc2  25892  limcres  25901  limcco  25908  limciun  25909  limcun  25910  dvfval  25912  dvcl  25914  lhop1lem  26032  mullimc  45271  limcdm0  45273  limccog  45275  mullimcf  45278  limcperiod  45283  limcrecl  45284  limcleqr  45299  neglimc  45302  addlimc  45303  limclner  45306  sublimc  45307  reclimc  45308  divlimc  45311  cncfiooicclem1  45548  cncfiooicc  45549  itgioocnicc  45632  iblcncfioo  45633  fourierdlem60  45821  fourierdlem61  45822  fourierdlem73  45834  fourierdlem74  45835  fourierdlem75  45836  fourierdlem81  45842  fourierdlem103  45864  fourierdlem104  45865  fourierdlem112  45873