Theorem limccl 25867

Description: Closure of the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limccl	⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ

Proof of Theorem limccl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 25866	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (dom 𝐹 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (dom 𝐹 ∪ {𝐵}))
3		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4	2, 3	limcfval 25864	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (dom 𝐹 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)} ∧ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ))
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → ((𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (dom 𝐹 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)} ∧ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ))
6	5	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ)
7		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
8	6, 7	sseldd 3923	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
9	8	ssriv 3926	1 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2718   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ifcif 4461  {csn 4562   ↦ cmpt 5160  dom cdm 5625  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   ↾_t crest 17381  TopOpenctopn 17382  ℂ_fldccnfld 21354   CnP ccnp 23215   lim_ℂ climc 25854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-fz 13460  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-rest 17383  df-topn 17384  df-topgen 17404  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cnp 23218  df-xms 24310  df-ms 24311  df-limc 25858

This theorem is referenced by:  ellimc2  25869  limcres  25878  limcco  25885  limciun  25886  limcun  25887  dvfval  25889  dvcl  25891  lhop1lem  26005  mullimc  46062  limcdm0  46064  limccog  46066  mullimcf  46069  limcperiod  46074  limcrecl  46075  limcleqr  46088  neglimc  46091  addlimc  46092  limclner  46095  sublimc  46096  reclimc  46097  divlimc  46100  cncfiooicclem1  46337  cncfiooicc  46338  itgioocnicc  46421  iblcncfioo  46422  fourierdlem60  46610  fourierdlem61  46611  fourierdlem73  46623  fourierdlem74  46624  fourierdlem75  46625  fourierdlem81  46631  fourierdlem103  46653  fourierdlem104  46654  fourierdlem112  46662