Theorem limcun 25840

Description: A point is a limit of 𝐹 on 𝐴 ∪ 𝐵 iff it is the limit of the restriction of 𝐹 to 𝐴 and to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcun.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
limcun.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcun	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐶) = (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))

Proof of Theorem limcun

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 25819	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp3d 1145	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ))
4		elinel1 4142	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶))
5		limcrcl 25819	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
6	5	simp3d 1145	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ))
9		prfi 9225	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
11		limcun.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		limcun.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
15		cnex 11108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
16	15	ssex 5256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐴 ∈ V)
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ V)
18	15	ssex 5256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊆ ℂ → 𝐵 ∈ V)
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ V)
20		sseq1 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ⊆ ℂ ↔ 𝐴 ⊆ ℂ))
21		sseq1 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ⊆ ℂ ↔ 𝐵 ⊆ ℂ))
22	20, 21	ralprg 4641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)))
23	17, 19, 22	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)))
24	12, 14, 23	mpbir2and 714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ)
25		limcun.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ)
27		uniiun 5002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ {𝐴, 𝐵} = ∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦
28		uniprg 4867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
29	17, 19, 28	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
30	27, 29	eqtr3id 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 = (𝐴 ∪ 𝐵))
31	30	feq2d 6644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐹:∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦⟶ℂ ↔ 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ))
32	26, 31	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐹:∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦⟶ℂ)
33		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	10, 24, 32, 33	limciun 25839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐹 limℂ 𝐶) = (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)))
35	34	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶))))
36		reseq2 5931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝐴))
37	36	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) = ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶))
38	37	eleq2d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶)))
39		reseq2 5931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐹 ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝐵))
40	39	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) = ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))
41	40	eleq2d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))
42	38, 41	ralprg 4641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
43	17, 19, 42	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
44	43	anbi2d 631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))))
45		limccl 25820	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ⊆ ℂ
46	45	sseli 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
47	46	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	47	pm4.71ri 560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
49	44, 48	bitr4di 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
50		elriin 5024	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)))
51		elin 3906	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))
52	49, 50, 51	3bitr4g 314	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
53	35, 52	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
54	53	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))))
55	3, 8, 54	pm5.21ndd 379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
56	55	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐶) = (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {cpr 4570  ∪ cuni 4851  ∪ ciun 4934  ∩ ciin 4935  dom cdm 5622   ↾ cres 5624  ⟶wf 6486  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  ℂcc 11025   lim_ℂ climc 25807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-q 12863  df-rp 12907  df-xneg 13027  df-xadd 13028  df-xmul 13029  df-fz 13425  df-seq 13926  df-exp 13986  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-struct 17075  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-rest 17343  df-topn 17344  df-topgen 17364  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-cnfld 21312  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cnp 23171  df-xms 24263  df-ms 24264  df-limc 25811

This theorem is referenced by:  lhop  25962