Theorem limcun 25950

Description: A point is a limit of 𝐹 on 𝐴 ∪ 𝐵 iff it is the limit of the restriction of 𝐹 to 𝐴 and to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcun.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
limcun.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcun	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐶) = (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))

Proof of Theorem limcun

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 25929	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ))
4		elinel1 4224	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶))
5		limcrcl 25929	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
6	5	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ))
9		prfi 9391	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
11		limcun.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		limcun.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
15		cnex 11265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
16	15	ssex 5339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐴 ∈ V)
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ V)
18	15	ssex 5339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊆ ℂ → 𝐵 ∈ V)
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ V)
20		sseq1 4034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ⊆ ℂ ↔ 𝐴 ⊆ ℂ))
21		sseq1 4034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ⊆ ℂ ↔ 𝐵 ⊆ ℂ))
22	20, 21	ralprg 4719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)))
23	17, 19, 22	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)))
24	12, 14, 23	mpbir2and 712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ)
25		limcun.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ)
27		uniiun 5081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ {𝐴, 𝐵} = ∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦
28		uniprg 4947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
29	17, 19, 28	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
30	27, 29	eqtr3id 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 = (𝐴 ∪ 𝐵))
31	30	feq2d 6733	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐹:∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦⟶ℂ ↔ 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ))
32	26, 31	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐹:∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦⟶ℂ)
33		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	10, 24, 32, 33	limciun 25949	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐹 limℂ 𝐶) = (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)))
35	34	eleq2d 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶))))
36		reseq2 6004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝐴))
37	36	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) = ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶))
38	37	eleq2d 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶)))
39		reseq2 6004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐹 ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝐵))
40	39	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) = ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))
41	40	eleq2d 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))
42	38, 41	ralprg 4719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
43	17, 19, 42	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
44	43	anbi2d 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))))
45		limccl 25930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ⊆ ℂ
46	45	sseli 4004	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
47	46	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	47	pm4.71ri 560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
49	44, 48	bitr4di 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
50		elriin 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)))
51		elin 3992	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))
52	49, 50, 51	3bitr4g 314	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
53	35, 52	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
54	53	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))))
55	3, 8, 54	pm5.21ndd 379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
56	55	eqrdv 2738	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐶) = (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  {cpr 4650  ∪ cuni 4931  ∪ ciun 5015  ∩ ciin 5016  dom cdm 5700   ↾ cres 5702  ⟶wf 6569  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℂcc 11182   lim_ℂ climc 25917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17482  df-topn 17483  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cnp 23257  df-xms 24351  df-ms 24352  df-limc 25921

This theorem is referenced by:  lhop  26075