Theorem limcun 26123

Description: A point is a limit of 𝐹 on 𝐴 ∪ 𝐵 iff it is the limit of the restriction of 𝐹 to 𝐴 and to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcun.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
limcun.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcun	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐶) = (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))

Proof of Theorem limcun

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 26102	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ))
4		elinel1 4147	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶))
5		limcrcl 26102	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
6	5	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	4, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ))
9		prfi 9294	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
11		limcun.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
12	11	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		limcun.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
14	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
15		cnex 11206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
16	15	ssex 5285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐴 ∈ V)
17	12, 16	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ V)
18	15	ssex 5285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊆ ℂ → 𝐵 ∈ V)
19	14, 18	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ V)
20		sseq1 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ⊆ ℂ ↔ 𝐴 ⊆ ℂ))
21		sseq1 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ⊆ ℂ ↔ 𝐵 ⊆ ℂ))
22	20, 21	ralprg 4657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)))
23	17, 19, 22	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)))
24	12, 14, 23	mpbir2and 726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ)
25		limcun.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ)
26	25	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ)
27		uniiun 5017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ {𝐴, 𝐵} = ∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦
28		uniprg 4883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
29	17, 19, 28	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
30	27, 29	eqtr3id 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 = (𝐴 ∪ 𝐵))
31	30	feq2d 6687	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐹:∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦⟶ℂ ↔ 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ))
32	26, 31	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐹:∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦⟶ℂ)
33		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	10, 24, 32, 33	limciun 26122	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐹 limℂ 𝐶) = (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)))
35	34	eleq2d 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶))))
36		reseq2 5967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝐴))
37	36	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) = ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶))
38	37	eleq2d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶)))
39		reseq2 5967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐹 ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝐵))
40	39	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) = ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))
41	40	eleq2d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))
42	38, 41	ralprg 4657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
43	17, 19, 42	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
44	43	anbi2d 642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))))
45		limccl 26103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ⊆ ℂ
46	45	sseli 3927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
47	46	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	47	pm4.71ri 570	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
49	44, 48	bitr4di 292	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
50		elriin 5041	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)))
51		elin 3915	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))
52	49, 50, 51	3bitr4g 317	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
53	35, 52	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
54	53	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))))
55	3, 8, 54	pm5.21ndd 382	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
56	55	eqrdv 2758	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐶) = (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {cpr 4586  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951  ∩ ciin 4952  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  ⟶wf 6529  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  ℂcc 11123   lim_ℂ climc 26090

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-fz 13563  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-struct 17240  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-rest 17508  df-topn 17509  df-topgen 17529  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cnp 23454  df-xms 24547  df-ms 24548  df-limc 26094

This theorem is used by:  lhop  26244