Theorem limcun 26054

Description: A point is a limit of 𝐹 on 𝐴 ∪ 𝐵 iff it is the limit of the restriction of 𝐹 to 𝐴 and to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcun.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
limcun.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcun	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐶) = (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))

Proof of Theorem limcun

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 26033	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ))
4		elinel1 4154	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶))
5		limcrcl 26033	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
6	5	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	4, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ))
9		prfi 9279	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
11		limcun.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
12	11	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		limcun.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
14	13	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
15		cnex 11176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
16	15	ssex 5291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐴 ∈ V)
17	12, 16	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ V)
18	15	ssex 5291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊆ ℂ → 𝐵 ∈ V)
19	14, 18	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ V)
20		sseq1 3962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ⊆ ℂ ↔ 𝐴 ⊆ ℂ))
21		sseq1 3962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ⊆ ℂ ↔ 𝐵 ⊆ ℂ))
22	20, 21	ralprg 4662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)))
23	17, 19, 22	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)))
24	12, 14, 23	mpbir2and 725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ)
25		limcun.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ)
26	25	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ)
27		uniiun 5023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ {𝐴, 𝐵} = ∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦
28		uniprg 4888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
29	17, 19, 28	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
30	27, 29	eqtr3id 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 = (𝐴 ∪ 𝐵))
31	30	feq2d 6689	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐹:∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦⟶ℂ ↔ 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ))
32	26, 31	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐹:∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦⟶ℂ)
33		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	10, 24, 32, 33	limciun 26053	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐹 limℂ 𝐶) = (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)))
35	34	eleq2d 2849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶))))
36		reseq2 5973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝐴))
37	36	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) = ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶))
38	37	eleq2d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶)))
39		reseq2 5973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐹 ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝐵))
40	39	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) = ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))
41	40	eleq2d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))
42	38, 41	ralprg 4662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
43	17, 19, 42	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
44	43	anbi2d 641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))))
45		limccl 26034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ⊆ ℂ
46	45	sseli 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
47	46	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	47	pm4.71ri 569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
49	44, 48	bitr4di 292	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
50		elriin 5047	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)))
51		elin 3921	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))
52	49, 50, 51	3bitr4g 317	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
53	35, 52	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
54	53	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))))
55	3, 8, 54	pm5.21ndd 382	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
56	55	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐶) = (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {cpr 4591  ∪ cuni 4872  ∪ ciun 4956  ∩ ciin 4957  dom cdm 5661   ↾ cres 5663  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  ℂcc 11093   lim_ℂ climc 26021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-fz 13531  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-rest 17470  df-topn 17471  df-topgen 17491  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cnp 23385  df-xms 24477  df-ms 24478  df-limc 26025

This theorem is referenced by:  lhop  26175