MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcun Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem limcun 25636
Description: A point is a limit of 𝐹 on 𝐴 βˆͺ 𝐡 iff it is the limit of the restriction of 𝐹 to 𝐴 and to 𝐡. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcun.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
limcun.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
limcun.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴 βˆͺ 𝐡)βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
limcun (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) = (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)))
Proof of Theorem limcun
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 25615 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚))
21simp3d 1144 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
4 elinel1 4195 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢))
5 limcrcl 25615 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚))
65simp3d 1144 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
74, 6syl 17 . . . 4 (π‘₯ ∈ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
9 prfi 9324 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐡} ∈ Fin
109a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ {𝐴, 𝐡} ∈ Fin)
11 limcun.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
13 limcun.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
1413adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
15 cnex 11193 . . . . . . . . . . 11 β„‚ ∈ V
1615ssex 5321 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ 𝐴 ∈ V)
1712, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ V)
1815ssex 5321 . . . . . . . . . 10 (𝐡 βŠ† β„‚ β†’ 𝐡 ∈ V)
1914, 18syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ V)
20 sseq1 4007 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝑦 βŠ† β„‚ ↔ 𝐴 βŠ† β„‚))
21 sseq1 4007 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝑦 βŠ† β„‚ ↔ 𝐡 βŠ† β„‚))
2220, 21ralprg 4698 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴, 𝐡}𝑦 βŠ† β„‚ ↔ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚)))
2317, 19, 22syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴, 𝐡}𝑦 βŠ† β„‚ ↔ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚)))
2412, 14, 23mpbir2and 711 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴, 𝐡}𝑦 βŠ† β„‚)
25 limcun.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴 βˆͺ 𝐡)βŸΆβ„‚)
2625adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴 βˆͺ 𝐡)βŸΆβ„‚)
27 uniiun 5061 . . . . . . . . . 10 βˆͺ {𝐴, 𝐡} = βˆͺ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐡}𝑦
28 uniprg 4925 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ βˆͺ {𝐴, 𝐡} = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
2917, 19, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ βˆͺ {𝐴, 𝐡} = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
3027, 29eqtr3id 2786 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐡}𝑦 = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
3130feq2d 6703 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐹:βˆͺ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐡}π‘¦βŸΆβ„‚ ↔ 𝐹:(𝐴 βˆͺ 𝐡)βŸΆβ„‚))
3226, 31mpbird 256 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐹:βˆͺ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐡}π‘¦βŸΆβ„‚)
33 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3410, 24, 32, 33limciun 25635 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) = (β„‚ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐡} ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢)))
3534eleq2d 2819 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) ↔ π‘₯ ∈ (β„‚ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐡} ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢))))
36 reseq2 5976 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦) = (𝐹 β†Ύ 𝐴))
3736oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢))
3837eleq2d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢) ↔ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢)))
39 reseq2 5976 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦) = (𝐹 β†Ύ 𝐡))
4039oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐡 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢) = ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢))
4140eleq2d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢) ↔ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)))
4238, 41ralprg 4698 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴, 𝐡}π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢) ↔ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢))))
4317, 19, 42syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴, 𝐡}π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢) ↔ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢))))
4443anbi2d 629 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴, 𝐡}π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)))))
45 limccl 25616 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) βŠ† β„‚
4645sseli 3978 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4746adantr 481 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4847pm4.71ri 561 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢))))
4944, 48bitr4di 288 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴, 𝐡}π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢)) ↔ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢))))
50 elriin 5084 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β„‚ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐡} ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴, 𝐡}π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢)))
51 elin 3964 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)) ↔ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)))
5249, 50, 513bitr4g 313 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (β„‚ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐡} ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢)) ↔ π‘₯ ∈ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢))))
5335, 52bitrd 278 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) ↔ π‘₯ ∈ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢))))
5453ex 413 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) ↔ π‘₯ ∈ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)))))
553, 8, 54pm5.21ndd 380 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) ↔ π‘₯ ∈ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢))))
5655eqrdv 2730 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) = (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {cpr 4630  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997  βˆ© ciin 4998  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110   limβ„‚ climc 25603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-topn 17373  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cnp 22952  df-xms 24046  df-ms 24047  df-limc 25607
This theorem is referenced by:  lhop  25757
  Copyright terms: Public domain W3C validator