MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcun 24485
Description: A point is a limit of 𝐹 on 𝐴𝐵 iff it is the limit of the restriction of 𝐹 to 𝐴 and to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcun.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcun.2 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
limcun.3 (𝜑𝐹:(𝐴𝐵)⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
limcun (𝜑 → (𝐹 lim 𝐶) = (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)))

Proof of Theorem limcun
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 24464 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
21simp3d 1139 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ))
4 elinel1 4170 . . . . 5 (𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶))
5 limcrcl 24464 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) → ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
65simp3d 1139 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
74, 6syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ))
9 prfi 8785 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
109a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
11 limcun.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1211adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13 limcun.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
1413adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
15 cnex 10610 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
1615ssex 5216 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐴 ∈ V)
1712, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ V)
1815ssex 5216 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ⊆ ℂ → 𝐵 ∈ V)
1914, 18syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ V)
20 sseq1 3990 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ⊆ ℂ ↔ 𝐴 ⊆ ℂ))
21 sseq1 3990 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ⊆ ℂ ↔ 𝐵 ⊆ ℂ))
2220, 21ralprg 4624 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)))
2317, 19, 22syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)))
2412, 14, 23mpbir2and 711 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ)
25 limcun.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(𝐴𝐵)⟶ℂ)
2625adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐹:(𝐴𝐵)⟶ℂ)
27 uniiun 4973 . . . . . . . . . 10 {𝐴, 𝐵} = 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦
28 uniprg 4844 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
2917, 19, 28syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
3027, 29syl5eqr 2868 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 = (𝐴𝐵))
3130feq2d 6493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝐹: 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦⟶ℂ ↔ 𝐹:(𝐴𝐵)⟶ℂ))
3226, 31mpbird 259 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐹: 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦⟶ℂ)
33 simpr 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
3410, 24, 32, 33limciun 24484 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝐹 lim 𝐶) = (ℂ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹𝑦) lim 𝐶)))
3534eleq2d 2896 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (ℂ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹𝑦) lim 𝐶))))
36 reseq2 5841 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
3736oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹𝑦) lim 𝐶) = ((𝐹𝐴) lim 𝐶))
3837eleq2d 2896 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶)))
39 reseq2 5841 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
4039oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐹𝑦) lim 𝐶) = ((𝐹𝐵) lim 𝐶))
4140eleq2d 2896 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)))
4238, 41ralprg 4624 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
4317, 19, 42syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
4443anbi2d 630 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)))))
45 limccl 24465 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ⊆ ℂ
4645sseli 3961 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
4746adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4847pm4.71ri 563 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
4944, 48syl6bbr 291 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
50 elriin 4994 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℂ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹𝑦) lim 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹𝑦) lim 𝐶)))
51 elin 4167 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)))
5249, 50, 513bitr4g 316 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (ℂ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹𝑦) lim 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
5335, 52bitrd 281 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
5453ex 415 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)))))
553, 8, 54pm5.21ndd 383 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶))))
5655eqrdv 2817 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐶) = (((𝐹𝐴) lim 𝐶) ∩ ((𝐹𝐵) lim 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  wral 3136  Vcvv 3493  cun 3932  cin 3933  wss 3934  {cpr 4561   cuni 4830   ciun 4910   ciin 4911  dom cdm 5548  cres 5550  wf 6344  (class class class)co 7148  Fincfn 8501  cc 10527   lim climc 24452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-fz 12885  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cnp 21828  df-xms 22922  df-ms 22923  df-limc 24456
This theorem is referenced by:  lhop  24605
  Copyright terms: Public domain W3C validator