MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcun Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem limcun 25412
Description: A point is a limit of 𝐹 on 𝐴 βˆͺ 𝐡 iff it is the limit of the restriction of 𝐹 to 𝐴 and to 𝐡. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcun.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
limcun.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
limcun.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴 βˆͺ 𝐡)βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
limcun (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) = (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)))
Proof of Theorem limcun
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 25391 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚))
21simp3d 1145 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
4 elinel1 4196 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢))
5 limcrcl 25391 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):dom (𝐹 β†Ύ 𝐴)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚))
65simp3d 1145 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
74, 6syl 17 . . . 4 (π‘₯ ∈ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
9 prfi 9322 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐡} ∈ Fin
109a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ {𝐴, 𝐡} ∈ Fin)
11 limcun.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
1211adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
13 limcun.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
1413adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
15 cnex 11191 . . . . . . . . . . 11 β„‚ ∈ V
1615ssex 5322 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† β„‚ β†’ 𝐴 ∈ V)
1712, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ V)
1815ssex 5322 . . . . . . . . . 10 (𝐡 βŠ† β„‚ β†’ 𝐡 ∈ V)
1914, 18syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ V)
20 sseq1 4008 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝑦 βŠ† β„‚ ↔ 𝐴 βŠ† β„‚))
21 sseq1 4008 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝑦 βŠ† β„‚ ↔ 𝐡 βŠ† β„‚))
2220, 21ralprg 4699 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴, 𝐡}𝑦 βŠ† β„‚ ↔ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚)))
2317, 19, 22syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴, 𝐡}𝑦 βŠ† β„‚ ↔ (𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 βŠ† β„‚)))
2412, 14, 23mpbir2and 712 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴, 𝐡}𝑦 βŠ† β„‚)
25 limcun.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴 βˆͺ 𝐡)βŸΆβ„‚)
2625adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴 βˆͺ 𝐡)βŸΆβ„‚)
27 uniiun 5062 . . . . . . . . . 10 βˆͺ {𝐴, 𝐡} = βˆͺ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐡}𝑦
28 uniprg 4926 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ βˆͺ {𝐴, 𝐡} = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
2917, 19, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ βˆͺ {𝐴, 𝐡} = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
3027, 29eqtr3id 2787 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐡}𝑦 = (𝐴 βˆͺ 𝐡))
3130feq2d 6704 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐹:βˆͺ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐡}π‘¦βŸΆβ„‚ ↔ 𝐹:(𝐴 βˆͺ 𝐡)βŸΆβ„‚))
3226, 31mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐹:βˆͺ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐡}π‘¦βŸΆβ„‚)
33 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3410, 24, 32, 33limciun 25411 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) = (β„‚ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐡} ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢)))
3534eleq2d 2820 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) ↔ π‘₯ ∈ (β„‚ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐡} ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢))))
36 reseq2 5977 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦) = (𝐹 β†Ύ 𝐴))
3736oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢) = ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢))
3837eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢) ↔ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢)))
39 reseq2 5977 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦) = (𝐹 β†Ύ 𝐡))
4039oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐡 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢) = ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢))
4140eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢) ↔ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)))
4238, 41ralprg 4699 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴, 𝐡}π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢) ↔ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢))))
4317, 19, 42syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴, 𝐡}π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢) ↔ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢))))
4443anbi2d 630 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴, 𝐡}π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)))))
45 limccl 25392 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) βŠ† β„‚
4645sseli 3979 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4746adantr 482 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4847pm4.71ri 562 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢))))
4944, 48bitr4di 289 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴, 𝐡}π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢)) ↔ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢))))
50 elriin 5085 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β„‚ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐡} ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴, 𝐡}π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢)))
51 elin 3965 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)) ↔ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)))
5249, 50, 513bitr4g 314 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (β„‚ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐡} ((𝐹 β†Ύ 𝑦) limβ„‚ 𝐢)) ↔ π‘₯ ∈ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢))))
5335, 52bitrd 279 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) ↔ π‘₯ ∈ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢))))
5453ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) ↔ π‘₯ ∈ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)))))
553, 8, 54pm5.21ndd 381 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) ↔ π‘₯ ∈ (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢))))
5655eqrdv 2731 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐢) = (((𝐹 β†Ύ 𝐴) limβ„‚ 𝐢) ∩ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) limβ„‚ 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {cpr 4631  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998  βˆ© ciin 4999  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„‚cc 11108   limβ„‚ climc 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cnp 22732  df-xms 23826  df-ms 23827  df-limc 25383
This theorem is referenced by:  lhop  25533
  Copyright terms: Public domain W3C validator