Theorem limcun 25059

Description: A point is a limit of 𝐹 on 𝐴 ∪ 𝐵 iff it is the limit of the restriction of 𝐹 to 𝐴 and to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcun.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
limcun.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcun	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐶) = (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))

Proof of Theorem limcun

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 25038	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2	1	simp3d 1143	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ))
4		elinel1 4129	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶))
5		limcrcl 25038	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) → ((𝐹 ↾ 𝐴):dom (𝐹 ↾ 𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
6	5	simp3d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ))
9		prfi 9089	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
11		limcun.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
12	11	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		limcun.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
14	13	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
15		cnex 10952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
16	15	ssex 5245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐴 ∈ V)
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ V)
18	15	ssex 5245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ⊆ ℂ → 𝐵 ∈ V)
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ V)
20		sseq1 3946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ⊆ ℂ ↔ 𝐴 ⊆ ℂ))
21		sseq1 3946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ⊆ ℂ ↔ 𝐵 ⊆ ℂ))
22	20, 21	ralprg 4630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)))
23	17, 19, 22	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)))
24	12, 14, 23	mpbir2and 710	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ⊆ ℂ)
25		limcun.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ)
26	25	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ)
27		uniiun 4988	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ {𝐴, 𝐵} = ∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦
28		uniprg 4856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
29	17, 19, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
30	27, 29	eqtr3id 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 = (𝐴 ∪ 𝐵))
31	30	feq2d 6586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐹:∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦⟶ℂ ↔ 𝐹:(𝐴 ∪ 𝐵)⟶ℂ))
32	26, 31	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐹:∪ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦⟶ℂ)
33		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	10, 24, 32, 33	limciun 25058	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐹 limℂ 𝐶) = (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)))
35	34	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶))))
36		reseq2 5886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝐴))
37	36	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) = ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶))
38	37	eleq2d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶)))
39		reseq2 5886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐹 ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝐵))
40	39	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) = ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))
41	40	eleq2d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))
42	38, 41	ralprg 4630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
43	17, 19, 42	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
44	43	anbi2d 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))))
45		limccl 25039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ⊆ ℂ
46	45	sseli 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
47	46	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℂ)
48	47	pm4.71ri 561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
49	44, 48	bitr4di 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
50		elriin 5010	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)))
51		elin 3903	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))
52	49, 50, 51	3bitr4g 314	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (ℂ ∩ ∩ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ((𝐹 ↾ 𝑦) limℂ 𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
53	35, 52	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
54	53	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))))
55	3, 8, 54	pm5.21ndd 381	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶))))
56	55	eqrdv 2736	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐶) = (((𝐹 ↾ 𝐴) limℂ 𝐶) ∩ ((𝐹 ↾ 𝐵) limℂ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  {cpr 4563  ∪ cuni 4839  ∪ ciun 4924  ∩ ciin 4925  dom cdm 5589   ↾ cres 5591  ⟶wf 6429  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℂcc 10869   lim_ℂ climc 25026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-rest 17133  df-topn 17134  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cnp 22379  df-xms 23473  df-ms 23474  df-limc 25030

This theorem is referenced by:  lhop  25180