Theorem ellimc 25997

Description: Value of the limit predicate. 𝐶 is the limit of the function 𝐹 at 𝐵 if the function 𝐺, formed by adding 𝐵 to the domain of 𝐹 and setting it to 𝐶, is continuous at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcval.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcval.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
ellimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)))
ellimc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
ellimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
ellimc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ellimc	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝑧,𝐾   𝑧,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐺(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem ellimc

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellimc.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		ellimc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
3		ellimc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		limcval.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
5		limcval.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
6	4, 5	limcfval 25996	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ∧ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ∧ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ))
8	7	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)})
9	8	eleq2d 2855	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)}))
10		ellimc.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)))
11	4, 5, 10	limcvallem 25995	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))
13		ifeq1 4493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)))
14	13	mpteq2dv 5206	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧))))
15	14, 10	eqtr4di 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) = 𝐺)
16	15	eleq1d 2854	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
17	16	elab3g 3653	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
18	12, 17	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
19	9, 18	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  ifcif 4489  {csn 4591   ↦ cmpt 5193  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094   ↾_t crest 17469  TopOpenctopn 17470  ℂ_fldccnfld 21487   CnP ccnp 23347   lim_ℂ climc 25986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-fz 13532  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-rest 17471  df-topn 17472  df-topgen 17492  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cnp 23350  df-xms 24442  df-ms 24443  df-limc 25990

This theorem is referenced by:  limcdif  26000  ellimc2  26001  limcmpt  26007  limcres  26010  cnplimc  26011  limccnp  26015  dirkercncflem2  46703  fourierdlem93  46798  fourierdlem101  46806