MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellimc 25753
Description: Value of the limit predicate. 𝐢 is the limit of the function 𝐹 at 𝐡 if the function 𝐺, formed by adding 𝐡 to the domain of 𝐹 and setting it to 𝐢, is continuous at 𝐡. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcval.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
limcval.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
ellimc.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))
ellimc.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
ellimc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
ellimc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
ellimc (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐡   𝑧,𝐹   𝑧,𝐾   𝑧,𝐢
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐺(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem ellimc
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellimc.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
2 ellimc.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
3 ellimc.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4 limcval.j . . . . . 6 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
5 limcval.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
64, 5limcfval 25752 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((𝐹 limβ„‚ 𝐡) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝑦, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)} ∧ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚))
71, 2, 3, 6syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 limβ„‚ 𝐡) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝑦, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)} ∧ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚))
87simpld 494 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝑦, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)})
98eleq2d 2813 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ 𝐢 ∈ {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝑦, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)}))
10 ellimc.g . . . . 5 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))
114, 5, 10limcvallem 25751 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
121, 2, 3, 11syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
13 ifeq1 4527 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐢 β†’ if(𝑧 = 𝐡, 𝑦, (πΉβ€˜π‘§)) = if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§)))
1413mpteq2dv 5243 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐢 β†’ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝑦, (πΉβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝐢, (πΉβ€˜π‘§))))
1514, 10eqtr4di 2784 . . . . 5 (𝑦 = 𝐢 β†’ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝑦, (πΉβ€˜π‘§))) = 𝐺)
1615eleq1d 2812 . . . 4 (𝑦 = 𝐢 β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝑦, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)))
1716elab3g 3670 . . 3 ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) β†’ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝐢 ∈ {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝑦, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)} ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)))
1812, 17syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, 𝑦, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)} ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)))
199, 18bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  {csn 4623   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107   β†Ύt crest 17373  TopOpenctopn 17374  β„‚fldccnfld 21236   CnP ccnp 23080   limβ„‚ climc 25742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-topgen 17396  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cnp 23083  df-xms 24177  df-ms 24178  df-limc 25746
This theorem is referenced by:  limcdif  25756  ellimc2  25757  limcmpt  25763  limcres  25766  cnplimc  25767  limccnp  25771  dirkercncflem2  45373  fourierdlem93  45468  fourierdlem101  45476
  Copyright terms: Public domain W3C validator