Theorem ellimc 25840

Description: Value of the limit predicate. 𝐶 is the limit of the function 𝐹 at 𝐵 if the function 𝐺, formed by adding 𝐵 to the domain of 𝐹 and setting it to 𝐶, is continuous at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcval.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcval.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
ellimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)))
ellimc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
ellimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
ellimc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ellimc	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝑧,𝐾   𝑧,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐺(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem ellimc

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellimc.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		ellimc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
3		ellimc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		limcval.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
5		limcval.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
6	4, 5	limcfval 25839	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ∧ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ∧ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ))
8	7	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)})
9	8	eleq2d 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)}))
10		ellimc.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)))
11	4, 5, 10	limcvallem 25838	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))
13		ifeq1 4470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)))
14	13	mpteq2dv 5179	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧))))
15	14, 10	eqtr4di 2789	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) = 𝐺)
16	15	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
17	16	elab3g 3628	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
18	12, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
19	9, 18	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2714   ∪ cun 3887   ⊆ wss 3889  ifcif 4466  {csn 4567   ↦ cmpt 5166  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  ℂ_fldccnfld 21352   CnP ccnp 23190   lim_ℂ climc 25829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cnp 23193  df-xms 24285  df-ms 24286  df-limc 25833

This theorem is referenced by:  limcdif  25843  ellimc2  25844  limcmpt  25850  limcres  25853  cnplimc  25854  limccnp  25858  dirkercncflem2  46532  fourierdlem93  46627  fourierdlem101  46635