Theorem ellimc 25820

Description: Value of the limit predicate. 𝐶 is the limit of the function 𝐹 at 𝐵 if the function 𝐺, formed by adding 𝐵 to the domain of 𝐹 and setting it to 𝐶, is continuous at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcval.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcval.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
ellimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)))
ellimc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
ellimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
ellimc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ellimc	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝑧,𝐾   𝑧,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐺(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem ellimc

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellimc.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		ellimc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
3		ellimc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		limcval.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
5		limcval.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
6	4, 5	limcfval 25819	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ∧ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ∧ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ))
8	7	simpld 493	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)})
9	8	eleq2d 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)}))
10		ellimc.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)))
11	4, 5, 10	limcvallem 25818	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))
13		ifeq1 4534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)))
14	13	mpteq2dv 5252	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧))))
15	14, 10	eqtr4di 2785	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) = 𝐺)
16	15	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
17	16	elab3g 3674	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
18	12, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
19	9, 18	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2704   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  ifcif 4530  {csn 4630   ↦ cmpt 5233  ⟶wf 6547  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  ℂcc 11142   ↾_t crest 17407  TopOpenctopn 17408  ℂ_fldccnfld 21284   CnP ccnp 23147   lim_ℂ climc 25809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-fz 13523  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-struct 17121  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-rest 17409  df-topn 17410  df-topgen 17430  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-cnfld 21285  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cnp 23150  df-xms 24244  df-ms 24245  df-limc 25813

This theorem is referenced by:  limcdif  25823  ellimc2  25824  limcmpt  25830  limcres  25833  cnplimc  25834  limccnp  25838  dirkercncflem2  45494  fourierdlem93  45589  fourierdlem101  45597