Theorem ellimc 25811

Description: Value of the limit predicate. 𝐶 is the limit of the function 𝐹 at 𝐵 if the function 𝐺, formed by adding 𝐵 to the domain of 𝐹 and setting it to 𝐶, is continuous at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcval.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcval.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
ellimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)))
ellimc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
ellimc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
ellimc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ellimc	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝑧,𝐾   𝑧,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐺(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem ellimc

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellimc.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		ellimc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
3		ellimc.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		limcval.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
5		limcval.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
6	4, 5	limcfval 25810	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ∧ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ∧ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ))
8	7	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) = {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)})
9	8	eleq2d 2819	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)}))
10		ellimc.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)))
11	4, 5, 10	limcvallem 25809	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))
13		ifeq1 4502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧)))
14	13	mpteq2dv 5212	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, (𝐹‘𝑧))))
15	14, 10	eqtr4di 2787	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) = 𝐺)
16	15	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
17	16	elab3g 3662	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
18	12, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ {𝑦 ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑦, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)} ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
19	9, 18	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {cab 2712   ∪ cun 3922   ⊆ wss 3924  ifcif 4498  {csn 4599   ↦ cmpt 5198  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  ℂcc 11119   ↾_t crest 17419  TopOpenctopn 17420  ℂ_fldccnfld 21300   CnP ccnp 23148   lim_ℂ climc 25800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-er 8713  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9417  df-sup 9448  df-inf 9449  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13120  df-xadd 13121  df-xmul 13122  df-fz 13514  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15105  df-re 15106  df-im 15107  df-sqrt 15241  df-abs 15242  df-struct 17151  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-starv 17271  df-tset 17275  df-ple 17276  df-ds 17278  df-unif 17279  df-rest 17421  df-topn 17422  df-topgen 17442  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-cnfld 21301  df-top 22817  df-topon 22834  df-topsp 22856  df-bases 22869  df-cnp 23151  df-xms 24244  df-ms 24245  df-limc 25804

This theorem is referenced by:  limcdif  25814  ellimc2  25815  limcmpt  25821  limcres  25824  cnplimc  25825  limccnp  25829  dirkercncflem2  46063  fourierdlem93  46158  fourierdlem101  46166