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Theorem mullimc 40486
Description: Limit of the product of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mullimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
mullimc.g 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
mullimc.h 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
mullimc.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
mullimc.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
mullimc.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
mullimc.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Assertion
Ref Expression
mullimc (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem mullimc
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑒 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 23930 . . . 4 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ℂ
2 mullimc.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
31, 2sseldi 3759 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4 limccl 23930 . . . 4 (𝐺 lim 𝐷) ⊆ ℂ
5 mullimc.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
64, 5sseldi 3759 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
73, 6mulcld 10314 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ)
8 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
93adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
106adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ ℂ)
11 mulcn2 14611 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
128, 9, 10, 11syl3anc 1490 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
13 mullimc.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14 mullimc.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
1513, 14fmptd 6574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
1614, 13dmmptd 6202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
17 limcrcl 23929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
182, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
1918simp2d 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
2016, 19eqsstr3d 3800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
2118simp3d 1174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2215, 20, 21ellimc3 23934 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))))
232, 22mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)))
2423simprd 489 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
2524r19.21bi 3079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
2625adantrr 708 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
27 mullimc.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
28 mullimc.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺 = (𝑥𝐴𝐶)
2927, 28fmptd 6574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℂ)
3029, 20, 21ellimc3 23934 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐺 lim 𝐷) ↔ (𝑌 ∈ ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
315, 30mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
3231simprd 489 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
3332r19.21bi 3079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
3433adantrl 707 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
35 reeanv 3254 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ↔ (∃𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
3626, 34, 35sylanbrc 578 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
37 ifcl 4287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+)
38373ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+)
39 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+))
40 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)
41 nfra1 3088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)
42 nfra1 3088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)
4341, 42nfan 1998 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
4439, 40, 43nf3an 2000 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
45 simp11l 1383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
46 simp1rl 1319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℝ+)
47463ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑎 ∈ ℝ+)
4845, 47jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝜑𝑎 ∈ ℝ+))
49 simp12 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
50 simp13l 1387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
5148, 49, 50jca31 510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)))
52 simp1r 1255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
53 simp2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐴)
54 simp3l 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐷)
55 simplll 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) → 𝜑)
56553ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
57 simp1lr 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
58 simp3r 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))
59 simp1l 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝜑)
60 simp2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑧𝐴)
6120sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
6259, 60, 61syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑧 ∈ ℂ)
6359, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝐷 ∈ ℂ)
6462, 63subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (𝑧𝐷) ∈ ℂ)
6564abscld 14460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) ∈ ℝ)
66 rpre 12036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ)
6766ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ)
68673ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑒 ∈ ℝ)
69 rpre 12036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ)
7069ad2antll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) → 𝑓 ∈ ℝ)
71703ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑓 ∈ ℝ)
7268, 71ifcld 4288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ)
73 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))
74 min1 12222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑒)
7568, 71, 74syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑒)
7665, 72, 68, 73, 75ltletrd 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒)
7756, 57, 53, 58, 76syl211anc 1495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒)
7854, 77jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒))
79 rsp 3076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)))
8052, 53, 78, 79syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)
8151, 80syld3an1 1529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)
82 simp1l 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → 𝜑)
8382, 46jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (𝜑𝑎 ∈ ℝ+))
84 simp2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
85 simp3r 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
8683, 84, 85jca31 510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
87 simp1r 1255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
88 simp2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐴)
89 simp3l 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐷)
90 simplll 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → 𝜑)
91903ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
92 simp1lr 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
93 simp3r 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))
94 min2 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑓)
9568, 71, 94syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑓)
9665, 72, 71, 73, 95ltletrd 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓)
9791, 92, 88, 93, 96syl211anc 1495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓)
9889, 97jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓))
99 rsp 3076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
10087, 88, 98, 99syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)
10186, 100syl3an1 1202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)
10281, 101jca 507 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
1031023exp 1148 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
10444, 103ralrimi 3104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
105 brimralrspcev 4870 . . . . . . . . . . . . 13 ((if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
10638, 104, 105syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
1071063exp 1148 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ((𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) → ((∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))))
108107rexlimdvv 3184 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (∃𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
10936, 108mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
110109adantlr 706 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
1111103adant3 1162 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
112 nfv 2009 . . . . . . . . . . 11 𝑧(((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
113 nfra1 3088 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
114112, 113nfan 1998 . . . . . . . . . 10 𝑧((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
115 simp1l 1254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) → 𝜑)
116115ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → 𝜑)
1171163ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → 𝜑)
118 simp2 1167 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → 𝑧𝐴)
119 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝜑𝑧𝐴)
120 mullimc.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
121 nfmpt1 4906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
122120, 121nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥𝐻
123 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥𝑧
124122, 123nffv 6385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(𝐻𝑧)
125 nfmpt1 4906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
12614, 125nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝐹
127126, 123nffv 6385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝐹𝑧)
128 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 ·
129 nfmpt1 4906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝑥𝐴𝐶)
13028, 129nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝐺
131130, 123nffv 6385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝐺𝑧)
132127, 128, 131nfov 6872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))
133124, 132nfeq 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝐻𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))
134119, 133nfim 1995 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥((𝜑𝑧𝐴) → (𝐻𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
135 eleq1w 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴𝑧𝐴))
136135anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑧𝐴)))
137 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑧))
138 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
139 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
140138, 139oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
141137, 140eqeq12d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐻𝑥) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) ↔ (𝐻𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))))
142136, 141imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ↔ ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐻𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))))
143 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
14413, 27mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
145120fvmpt2 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐻𝑥) = (𝐵 · 𝐶))
146143, 144, 145syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = (𝐵 · 𝐶))
14714fvmpt2 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
148143, 13, 147syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
149148eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = (𝐹𝑥))
15028fvmpt2 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥𝐴𝐶 ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = 𝐶)
151143, 27, 150syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = 𝐶)
152151eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 = (𝐺𝑥))
153149, 152oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 · 𝐶) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
154146, 153eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
155134, 142, 154chvar 2368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐻𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
156155fvoveq1d 6864 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))))
157117, 118, 156syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))))
15815ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
15929ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
160158, 159jca 507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ))
161117, 118, 160syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ))
162 simpll3 1273 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
1631623ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
164 rsp 3076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
1651643imp 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
1661653adant1l 1221 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
167 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (abs‘(𝑐𝑋)) = (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)))
168167breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (𝐹𝑧) → ((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
169168anbi1d 623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) ↔ ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏)))
170 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (𝑐 · 𝑑) = ((𝐹𝑧) · 𝑑))
171170fvoveq1d 6864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))))
172171breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = (𝐹𝑧) → ((abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
173169, 172imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = (𝐹𝑧) → ((((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) ↔ (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
174 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (abs‘(𝑑𝑌)) = (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)))
175174breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏 ↔ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
176175anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) ↔ ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
177 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑧) · 𝑑) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
178177fvoveq1d 6864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))))
179178breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
180176, 179imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) ↔ (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
181173, 180rspc2v 3474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ) → (∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) → (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
182161, 163, 166, 181syl3c 66 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)
183157, 182eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)
1841833exp 1148 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
185114, 184ralrimi 3104 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
186185ex 401 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
187186reximdva 3163 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
188111, 187mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
1891883exp 1148 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))))
190189rexlimdvv 3184 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
19112, 190mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
192191ralrimiva 3113 . 2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
193144, 120fmptd 6574 . . 3 (𝜑𝐻:𝐴⟶ℂ)
194193, 20, 21ellimc3 23934 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐻 lim 𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))))
1957, 192, 194mpbir2and 704 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3732  ifcif 4243   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  +crp 12028  abscabs 14259   lim climc 23917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-rest 16349  df-topn 16350  df-topgen 16370  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cnp 21312  df-xms 22404  df-ms 22405  df-limc 23921
This theorem is referenced by:  reclimc  40523  divlimc  40526  fourierdlem73  41033  fourierdlem76  41036  fourierdlem84  41044  fourierdlem85  41045  fourierdlem88  41048
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