mullimc - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem mullimc 42258

Description: Limit of the product of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mullimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
mullimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
mullimc.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
mullimc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
mullimc.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
mullimc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐷))
mullimc.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 lim_ℂ 𝐷))

**Assertion**
Ref	Expression
mullimc	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐻 lim_ℂ 𝐷))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐷 𝑥,𝑋 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑥) 𝐹(𝑥) 𝐺(𝑥) 𝐻(𝑥) 𝑌(𝑥)

Proof of Theorem mullimc Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑒 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 24478	. . . 4 ⊢ (𝐹 lim_ℂ 𝐷) ⊆ ℂ
2		mullimc.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐷))
3	1, 2	sseldi 3913	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
4		limccl 24478	. . . 4 ⊢ (𝐺 lim_ℂ 𝐷) ⊆ ℂ
5		mullimc.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 lim_ℂ 𝐷))
6	4, 5	sseldi 3913	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcld 10650	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ)
8		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → 𝑤 ∈ ℝ⁺)
9	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → 𝑋 ∈ ℂ)
10	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → 𝑌 ∈ ℂ)
11		mulcn2 14944	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
13		mullimc.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14		mullimc.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
15	13, 14	fmptd 6855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
16	14, 13	dmmptd 6465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
17		limcrcl 24477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
19	18	simp2d 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
20	16, 19	eqsstrrd 3954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
21	18	simp3d 1141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
22	15, 20, 21	ellimc3 24482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐷) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))))
23	2, 22	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)))
24	23	simprd 499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
25	24	r19.21bi 3173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
26	25	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
27		mullimc.c	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
28		mullimc.g	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
29	27, 28	fmptd 6855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
30	29, 20, 21	ellimc3 24482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐺 lim_ℂ 𝐷) ↔ (𝑌 ∈ ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ⁺ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
31	5, 30	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ⁺ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
32	31	simprd 499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ⁺ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
33	32	r19.21bi 3173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
34	33	adantrl 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
35		reeanv 3320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ↔ (∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
36	26, 34, 35	sylanbrc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
37		ifcl 4469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ⁺)
38	37	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ⁺)
39		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺))
40		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)
41		nfra1 3183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)
42		nfra1 3183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)
43	41, 42	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧(∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
44	39, 40, 43	nf3an 1902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
45		simp11l 1281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
46		simp1rl 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
47	46	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
48	45, 47	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺))
49		simp12 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺))
50		simp13l 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
51	48, 49, 50	jca31 518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)))
52		simp1r 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
53		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
54		simp3l 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧 ≠ 𝐷)
55		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) → 𝜑)
56	55	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
57		simp1lr 1234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺))
58		simp3r 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))
59		simp1l 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝜑)
60		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
61	20	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
62	59, 60, 61	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑧 ∈ ℂ)
63	59, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝐷 ∈ ℂ)
64	62, 63	subcld 10986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (𝑧 − 𝐷) ∈ ℂ)
65	64	abscld 14788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) ∈ ℝ)
66		rpre 12385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → 𝑒 ∈ ℝ)
67	66	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) → 𝑒 ∈ ℝ)
68	67	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑒 ∈ ℝ)
69		rpre 12385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 ∈ ℝ⁺ → 𝑓 ∈ ℝ)
70	69	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) → 𝑓 ∈ ℝ)
71	70	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑓 ∈ ℝ)
72	68, 71	ifcld 4470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ)
73		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))
74		min1 12570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑒)
75	68, 71, 74	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑒)
76	65, 72, 68, 73, 75	ltletrd 10789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒)
77	56, 57, 53, 58, 76	syl211anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒)
78	54, 77	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒))
79		rsp 3170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)))
80	52, 53, 78, 79	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)
81	51, 80	syld3an1 1407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)
82		simp1l 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → 𝜑)
83	82, 46	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺))
84		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺))
85		simp3r 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
86	83, 84, 85	jca31 518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
87		simp1r 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
88		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
89		simp3l 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧 ≠ 𝐷)
90		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → 𝜑)
91	90	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
92		simp1lr 1234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺))
93		simp3r 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))
94		min2 12571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑓)
95	68, 71, 94	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑓)
96	65, 72, 71, 73, 95	ltletrd 10789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓)
97	91, 92, 88, 93, 96	syl211anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓)
98	89, 97	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓))
99		rsp 3170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
100	87, 88, 98, 99	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)
101	86, 100	syl3an1 1160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)
102	81, 101	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
103	102	3exp 1116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
104	44, 103	ralrimi 3180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
105		brimralrspcev 5091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
106	38, 104, 105	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
107	106	3exp 1116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → ((𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) → ((∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))))
108	107	rexlimdvv 3252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → (∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
109	36, 108	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
110	109	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
111	110	3adant3 1129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
112		nfv 1915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺)
113		nfra1 3183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
114	112, 113	nfan 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
115		simp1l 1194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) → 𝜑)
116	115	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → 𝜑)
117	116	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → 𝜑)
118		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
119		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)
120		mullimc.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
121		nfmpt1 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
122	120, 121	nfcxfr 2953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥𝐻
123		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
124	122, 123	nffv 6655	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑧)
125		nfmpt1 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
126	14, 125	nfcxfr 2953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
127	126, 123	nffv 6655	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑧)
128		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
129		nfmpt1 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
130	28, 129	nfcxfr 2953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
131	130, 123	nffv 6655	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑧)
132	127, 128, 131	nfov 7165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧))
133	124, 132	nfeq 2968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧))
134	119, 133	nfim 1897	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
135		eleq1w 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
136	135	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
137		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑧))
138		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
139		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧))
140	138, 139	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
141	137, 140	eqeq12d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐻‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ↔ (𝐻‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧))))
142	136, 141	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))))
143		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
144	13, 27	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
145	120	fvmpt2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐻‘𝑥) = (𝐵 · 𝐶))
146	143, 144, 145	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = (𝐵 · 𝐶))
147	14	fvmpt2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
148	143, 13, 147	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
149	148	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = (𝐹‘𝑥))
150	28	fvmpt2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑥) = 𝐶)
151	143, 27, 150	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = 𝐶)
152	151	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 = (𝐺‘𝑥))
153	149, 152	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
154	146, 153	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
155	134, 142, 154	chvarfv 2240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
156	155	fvoveq1d 7157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) = (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))))
157	117, 118, 156	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) = (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))))
158	15	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
159	29	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
160	158, 159	jca 515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ))
161	117, 118, 160	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ))
162		simpll3 1211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
163	162	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
164		rsp 3170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
165	164	3imp 1108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
166	165	3adant1l 1173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
167		fvoveq1 7158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → (abs‘(𝑐 − 𝑋)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)))
168	167	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → ((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
169	168	anbi1d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) ↔ ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏)))
170		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → (𝑐 · 𝑑) = ((𝐹‘𝑧) · 𝑑))
171	170	fvoveq1d 7157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) = (abs‘(((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))))
172	171	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → ((abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
173	169, 172	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → ((((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) ↔ (((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
174		fvoveq1 7158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → (abs‘(𝑑 − 𝑌)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)))
175	174	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → ((abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
176	175	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → (((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) ↔ ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
177		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → ((𝐹‘𝑧) · 𝑑) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
178	177	fvoveq1d 7157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → (abs‘(((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) = (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))))
179	178	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → ((abs‘(((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
180	176, 179	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → ((((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) ↔ (((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
181	173, 180	rspc2v 3581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ) → (∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) → (((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
182	161, 163, 166, 181	syl3c 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)
183	157, 182	eqbrtrd 5052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)
184	183	3exp 1116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
185	114, 184	ralrimi 3180	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
186	185	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
187	186	reximdva 3233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) → (∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
188	111, 187	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
189	188	3exp 1116	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → ((𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))))
190	189	rexlimdvv 3252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
191	12, 190	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
192	191	ralrimiva 3149	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
193	144, 120	fmptd 6855	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶ℂ)
194	193, 20, 21	ellimc3 24482	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐻 lim_ℂ 𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))))
195	7, 192, 194	mpbir2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐻 lim_ℂ 𝐷))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 ∧ w3a 1084 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2987 ∀wral 3106 ∃wrex 3107 ⊆ wss 3881 ifcif 4425 class class class wbr 5030 ↦ cmpt 5110 dom cdm 5519 ⟶wf 6320 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 ℂcc 10524 ℝcr 10525 · cmul 10531 < clt 10664 ≤ cle 10665 − cmin 10859 ℝ⁺crp 12377 abscabs 14585 lim_ℂ climc 24465

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-rep 5154 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603 ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-int 4839 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-1o 8085 df-oadd 8089 df-er 8272 df-map 8391 df-pm 8392 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-fin 8496 df-fi 8859 df-sup 8890 df-inf 8891 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-div 11287 df-nn 11626 df-2 11688 df-3 11689 df-4 11690 df-5 11691 df-6 11692 df-7 11693 df-8 11694 df-9 11695 df-n0 11886 df-z 11970 df-dec 12087 df-uz 12232 df-q 12337 df-rp 12378 df-xneg 12495 df-xadd 12496 df-xmul 12497 df-fz 12886 df-seq 13365 df-exp 13426 df-cj 14450 df-re 14451 df-im 14452 df-sqrt 14586 df-abs 14587 df-struct 16477 df-ndx 16478 df-slot 16479 df-base 16481 df-plusg 16570 df-mulr 16571 df-starv 16572 df-tset 16576 df-ple 16577 df-ds 16579 df-unif 16580 df-rest 16688 df-topn 16689 df-topgen 16709 df-psmet 20083 df-xmet 20084 df-met 20085 df-bl 20086 df-mopn 20087 df-cnfld 20092 df-top 21499 df-topon 21516 df-topsp 21538 df-bases 21551 df-cnp 21833 df-xms 22927 df-ms 22928 df-limc 24469

This theorem is referenced by: reclimc 42295 divlimc 42298 fourierdlem73 42821 fourierdlem76 42824 fourierdlem84 42832 fourierdlem85 42833 fourierdlem88 42836

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