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Theorem mullimc 45033
Description: Limit of the product of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mullimc.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
mullimc.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
mullimc.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))
mullimc.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
mullimc.c ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
mullimc.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷))
mullimc.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷))
Assertion
Ref Expression
mullimc (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐷))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)

Proof of Theorem mullimc
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑒 𝑓 𝑦 𝑧 𝑀 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25824 . . . 4 (𝐹 limβ„‚ 𝐷) βŠ† β„‚
2 mullimc.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷))
31, 2sselid 3980 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
4 limccl 25824 . . . 4 (𝐺 limβ„‚ 𝐷) βŠ† β„‚
5 mullimc.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷))
64, 5sselid 3980 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
73, 6mulcld 11272 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ β„‚)
8 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
93adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
106adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
11 mulcn2 15580 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ β„‚ ∧ π‘Œ ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀))
128, 9, 10, 11syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀))
13 mullimc.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
14 mullimc.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
1513, 14fmptd 7129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1614, 13dmmptd 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
17 limcrcl 25823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚))
182, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚))
1918simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† β„‚)
2016, 19eqsstrrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
2118simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
2215, 20, 21ellimc3 25828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) ↔ (𝑋 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž))))
232, 22mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž)))
2423simprd 494 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž))
2524r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž))
2625adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž))
27 mullimc.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
28 mullimc.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
2927, 28fmptd 7129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚)
3029, 20, 21ellimc3 25828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷) ↔ (π‘Œ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))))
315, 30mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)))
3231simprd 494 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))
3332r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))
3433adantrl 714 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))
35 reeanv 3224 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)) ↔ (βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)))
3626, 34, 35sylanbrc 581 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)))
37 ifcl 4577 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+)
38373ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) β†’ if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+)
39 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑧(πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+))
40 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑧(𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)
41 nfra1 3279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘§βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž)
42 nfra1 3279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘§βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)
4341, 42nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑧(βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))
4439, 40, 43nf3an 1896 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑧((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)))
45 simp11l 1281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ πœ‘)
46 simp1rl 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
47463ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
4845, 47jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+))
49 simp12 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+))
50 simp13l 1285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž))
5148, 49, 50jca31 513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž)))
52 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž))
53 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
54 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ 𝑧 β‰  𝐷)
55 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž)) β†’ πœ‘)
56553ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ πœ‘)
57 simp1lr 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+))
58 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))
59 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ πœ‘)
60 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
6120sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
6259, 60, 61syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
6359, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
6462, 63subcld 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐷) ∈ β„‚)
6564abscld 15423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) ∈ ℝ)
66 rpre 13022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
6766ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
68673ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
69 rpre 13022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 ∈ ℝ+ β†’ 𝑓 ∈ ℝ)
7069ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑓 ∈ ℝ)
71703ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ 𝑓 ∈ ℝ)
7268, 71ifcld 4578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ)
73 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))
74 min1 13208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) β†’ if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≀ 𝑒)
7568, 71, 74syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≀ 𝑒)
7665, 72, 68, 73, 75ltletrd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒)
7756, 57, 53, 58, 76syl211anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒)
7854, 77jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒))
79 rsp 3242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž)))
8052, 53, 78, 79syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž)
8151, 80syld3an1 1407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž)
82 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) β†’ πœ‘)
8382, 46jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) β†’ (πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+))
84 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+))
85 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))
8683, 84, 85jca31 513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)))
87 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))
88 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
89 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ 𝑧 β‰  𝐷)
90 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)) β†’ πœ‘)
91903ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ πœ‘)
92 simp1lr 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+))
93 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))
94 min2 13209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) β†’ if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≀ 𝑓)
9568, 71, 94syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≀ 𝑓)
9665, 72, 71, 73, 95ltletrd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓)
9791, 92, 88, 93, 96syl211anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓)
9889, 97jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓))
99 rsp 3242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)))
10087, 88, 98, 99syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)
10186, 100syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)
10281, 101jca 510 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))
1031023exp 1116 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))))
10444, 103ralrimi 3252 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)))
105 brimralrspcev 5213 . . . . . . . . . . . . 13 ((if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)))
10638, 104, 105syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)))
1071063exp 1116 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) β†’ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)))))
108107rexlimdvv 3208 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))))
10936, 108mpd 15 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)))
110109adantlr 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)))
1111103adant3 1129 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)))
112 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑧(((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
113 nfra1 3279 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘§βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))
114112, 113nfan 1894 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑧((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)))
115 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) β†’ πœ‘)
116115ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) β†’ πœ‘)
1171163ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦)) β†’ πœ‘)
118 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
119 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)
120 mullimc.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))
121 nfmpt1 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢))
122120, 121nfcxfr 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯𝐻
123 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯𝑧
124122, 123nffv 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯(π»β€˜π‘§)
125 nfmpt1 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
12614, 125nfcxfr 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯𝐹
127126, 123nffv 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘§)
128 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯ Β·
129 nfmpt1 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
13028, 129nfcxfr 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯𝐺
131130, 123nffv 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯(πΊβ€˜π‘§)
132127, 128, 131nfov 7456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))
133124, 132nfeq 2913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯(π»β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))
134119, 133nfim 1891 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
135 eleq1w 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
136135anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
137 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘§))
138 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§))
139 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘§))
140138, 139oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
141137, 140eqeq12d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π»β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ↔ (π»β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
142136, 141imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))))
143 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
14413, 27mulcld 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 Β· 𝐢) ∈ β„‚)
145120fvmpt2 7021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝐡 Β· 𝐢) ∈ β„‚) β†’ (π»β€˜π‘₯) = (𝐡 Β· 𝐢))
146143, 144, 145syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = (𝐡 Β· 𝐢))
14714fvmpt2 7021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝐡)
148143, 13, 147syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 𝐡)
149148eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 = (πΉβ€˜π‘₯))
15028fvmpt2 7021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = 𝐢)
151143, 27, 150syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = 𝐢)
152151eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 = (πΊβ€˜π‘₯))
153149, 152oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 Β· 𝐢) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))
154146, 153eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))
155134, 142, 154chvarfv 2228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
156155fvoveq1d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))))
157117, 118, 156syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))))
15815ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
15929ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
160158, 159jca 510 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚))
161117, 118, 160syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚))
162 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀))
1631623ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦)) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀))
164 rsp 3242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)) β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))))
1651643imp 1108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))
1661653adant1l 1173 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))
167 fvoveq1 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)))
168167breq1d 5162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž))
169168anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)))
170 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (𝑐 Β· 𝑑) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· 𝑑))
171170fvoveq1d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))))
172171breq1d 5162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀 ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀))
173169, 172imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀) ↔ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)))
174 fvoveq1 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)))
175174breq1d 5162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏 ↔ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))
176175anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)))
177 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· 𝑑) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
178177fvoveq1d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))))
179178breq1d 5162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀 ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀))
180176, 179imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀) ↔ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)))
181173, 180rspc2v 3622 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀) β†’ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)))
182161, 163, 166, 181syl3c 66 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)
183157, 182eqbrtrd 5174 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)
1841833exp 1116 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)))
185114, 184ralrimi 3252 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀))
186185ex 411 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)))
187186reximdva 3165 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)))
188111, 187mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀))
1891883exp 1116 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀))))
190189rexlimdvv 3208 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑋)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ π‘Œ)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀)))
19112, 190mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀))
192191ralrimiva 3143 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀))
193144, 120fmptd 7129 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:π΄βŸΆβ„‚)
194193, 20, 21ellimc3 25828 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐷) ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝑋 Β· π‘Œ))) < 𝑀))))
1957, 192, 194mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3949  ifcif 4532   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„cr 11145   Β· cmul 11151   < clt 11286   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482  β„+crp 13014  abscabs 15221   limβ„‚ climc 25811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-rest 17411  df-topn 17412  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cnp 23152  df-xms 24246  df-ms 24247  df-limc 25815
This theorem is referenced by:  reclimc  45070  divlimc  45073  fourierdlem73  45596  fourierdlem76  45599  fourierdlem84  45607  fourierdlem85  45608  fourierdlem88  45611
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