MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcresi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem limcresi 25409
Description: Any limit of 𝐹 is also a limit of the restriction of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
limcresi (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡)
Proof of Theorem limcresi
Dummy variables 𝑣 𝑒 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 25398 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
21simp1d 1142 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
31simp2d 1143 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ dom 𝐹 βŠ† β„‚)
41simp3d 1144 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
5 eqid 2732 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
62, 3, 4, 5ellimc2 25401 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))))
76ibi 266 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
8 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡})) βŠ† ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡})
9 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}) βŠ† (dom 𝐹 ∩ 𝐢)
10 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐹 ∩ 𝐢) βŠ† 𝐢
119, 10sstri 3991 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}) βŠ† 𝐢
128, 11sstri 3991 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡})) βŠ† 𝐢
13 resima2 6016 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡})) βŠ† 𝐢 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) = (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) = (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡})))
15 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝐹 ∩ 𝐢) βŠ† dom 𝐹
16 ssdif 4139 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βŠ† dom 𝐹 β†’ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}) βŠ† (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}) βŠ† (dom 𝐹 βˆ– {𝐡})
18 sslin 4234 . . . . . . . . . . . 12 (((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}) βŠ† (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}) β†’ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡})) βŠ† (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡})))
19 imass2 6101 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡})) βŠ† (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡})) β†’ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))))
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡})))
2114, 20eqsstri 4016 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡})))
22 sstr 3990 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)
2321, 22mpan 688 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)
2423anim2i 617 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒) β†’ (𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))
2524reximi 3084 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))
2625imim2i 16 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
2726ralimi 3083 . . . . 5 (βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
2827anim2i 617 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
297, 28syl 17 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
30 fresin 6760 . . . . 5 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):(dom 𝐹 ∩ 𝐢)βŸΆβ„‚)
312, 30syl 17 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):(dom 𝐹 ∩ 𝐢)βŸΆβ„‚)
3215, 3sstrid 3993 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝐢) βŠ† β„‚)
3331, 32, 4, 5ellimc2 25401 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))))
3429, 33mpbird 256 . 2 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡))
3534ssriv 3986 1 (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  TopOpenctopn 17369  β„‚fldccnfld 20950   limβ„‚ climc 25386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-fz 13487  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-rest 17370  df-topn 17371  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cnp 22739  df-xms 23833  df-ms 23834  df-limc 25390
This theorem is referenced by:  limciun  25418  dvres2lem  25434  dvidlem  25439  dvcnp2  25444  dvcobr  25470  dvcnvlem  25500  lhop1lem  25537  lhop2  25539  lhop  25540  taylthlem2  25893  gg-dvcnp2  35243  gg-dvcobr  35245  fourierdlem32  44934  fourierdlem33  44935  fourierdlem46  44947  fourierdlem74  44975  fourierdlem75  44976  fourierdlem84  44985  fourierdlem85  44986  fourierdlem88  44989  fouriercnp  45021  fouriercn  45027
  Copyright terms: Public domain W3C validator