MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcresi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcresi 23862
Description: Any limit of 𝐹 is also a limit of the restriction of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
limcresi (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ((𝐹𝐶) lim 𝐵)

Proof of Theorem limcresi
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 23851 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
21simp1d 1136 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
31simp2d 1137 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
41simp3d 1138 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 eqid 2771 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
62, 3, 4, 5ellimc2 23854 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
76ibi 256 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
8 inss2 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵})
9 difss 3888 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹𝐶)
10 inss2 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐹𝐶) ⊆ 𝐶
119, 10sstri 3761 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐶
128, 11sstri 3761 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ 𝐶
13 resima2 5571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ 𝐶 → ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵})))
15 inss1 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝐹𝐶) ⊆ dom 𝐹
16 ssdif 3896 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹𝐶) ⊆ dom 𝐹 → ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})
18 sslin 3987 . . . . . . . . . . . 12 (((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}) → (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})))
19 imass2 5640 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})) → (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))))
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})))
2114, 20eqsstri 3784 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})))
22 sstr 3760 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)
2321, 22mpan 670 . . . . . . . . 9 ((𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢 → ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)
2423anim2i 603 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → (𝐵𝑣 ∧ ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
2524reximi 3159 . . . . . . 7 (∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
2625imim2i 16 . . . . . 6 ((𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → (𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
2726ralimi 3101 . . . . 5 (∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
2827anim2i 603 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
297, 28syl 17 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
30 fresin 6211 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹𝐶):(dom 𝐹𝐶)⟶ℂ)
312, 30syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹𝐶):(dom 𝐹𝐶)⟶ℂ)
3215, 3syl5ss 3763 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (dom 𝐹𝐶) ⊆ ℂ)
3331, 32, 4, 5ellimc2 23854 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
3429, 33mpbird 247 . 2 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵))
3534ssriv 3756 1 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ((𝐹𝐶) lim 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  cdif 3720  cin 3722  wss 3723  {csn 4316  dom cdm 5249  cres 5251  cima 5252  wf 6025  cfv 6029  (class class class)co 6791  cc 10134  TopOpenctopn 16283  fldccnfld 19954   lim climc 23839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-fz 12527  df-seq 13002  df-exp 13061  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-rest 16284  df-topn 16285  df-topgen 16305  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cnp 21246  df-xms 22338  df-ms 22339  df-limc 23843
This theorem is referenced by:  limciun  23871  dvres2lem  23887  dvidlem  23892  dvcnp2  23896  dvcobr  23922  dvcnvlem  23952  lhop1lem  23989  lhop2  23991  lhop  23992  taylthlem2  24341  fourierdlem32  40866  fourierdlem33  40867  fourierdlem46  40879  fourierdlem74  40907  fourierdlem75  40908  fourierdlem84  40917  fourierdlem85  40918  fourierdlem88  40921  fouriercnp  40953  fouriercn  40959
  Copyright terms: Public domain W3C validator