MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcresi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem limcresi 25402
Description: Any limit of 𝐹 is also a limit of the restriction of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
limcresi (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡)
Proof of Theorem limcresi
Dummy variables 𝑣 𝑒 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 25391 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
21simp1d 1143 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
31simp2d 1144 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ dom 𝐹 βŠ† β„‚)
41simp3d 1145 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
5 eqid 2733 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
62, 3, 4, 5ellimc2 25394 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))))
76ibi 267 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
8 inss2 4230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡})) βŠ† ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡})
9 difss 4132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}) βŠ† (dom 𝐹 ∩ 𝐢)
10 inss2 4230 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐹 ∩ 𝐢) βŠ† 𝐢
119, 10sstri 3992 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}) βŠ† 𝐢
128, 11sstri 3992 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡})) βŠ† 𝐢
13 resima2 6017 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡})) βŠ† 𝐢 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) = (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) = (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡})))
15 inss1 4229 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝐹 ∩ 𝐢) βŠ† dom 𝐹
16 ssdif 4140 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βŠ† dom 𝐹 β†’ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}) βŠ† (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}) βŠ† (dom 𝐹 βˆ– {𝐡})
18 sslin 4235 . . . . . . . . . . . 12 (((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}) βŠ† (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}) β†’ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡})) βŠ† (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡})))
19 imass2 6102 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡})) βŠ† (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡})) β†’ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))))
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡})))
2114, 20eqsstri 4017 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡})))
22 sstr 3991 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)
2321, 22mpan 689 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)
2423anim2i 618 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒) β†’ (𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))
2524reximi 3085 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))
2625imim2i 16 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
2726ralimi 3084 . . . . 5 (βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))
2827anim2i 618 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 β€œ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
297, 28syl 17 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒))))
30 fresin 6761 . . . . 5 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):(dom 𝐹 ∩ 𝐢)βŸΆβ„‚)
312, 30syl 17 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):(dom 𝐹 ∩ 𝐢)βŸΆβ„‚)
3215, 3sstrid 3994 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝐢) βŠ† β„‚)
3331, 32, 4, 5ellimc2 25394 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(π‘₯ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)(𝐡 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) β€œ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐢) βˆ– {𝐡}))) βŠ† 𝑒)))))
3429, 33mpbird 257 . 2 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡))
3534ssriv 3987 1 (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944   limβ„‚ climc 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cnp 22732  df-xms 23826  df-ms 23827  df-limc 25383
This theorem is referenced by:  limciun  25411  dvres2lem  25427  dvidlem  25432  dvcnp2  25437  dvcobr  25463  dvcnvlem  25493  lhop1lem  25530  lhop2  25532  lhop  25533  taylthlem2  25886  gg-dvcnp2  35174  gg-dvcobr  35176  fourierdlem32  44855  fourierdlem33  44856  fourierdlem46  44868  fourierdlem74  44896  fourierdlem75  44897  fourierdlem84  44906  fourierdlem85  44907  fourierdlem88  44910  fouriercnp  44942  fouriercn  44948
  Copyright terms: Public domain W3C validator