Theorem limcresi 24649

Description: Any limit of 𝐹 is also a limit of the restriction of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limcresi	⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵)

Proof of Theorem limcresi

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 24638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2	1	simp1d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3	1	simp2d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
4	1	simp3d 1145	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6	2, 3, 4, 5	ellimc2 24641	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
7	6	ibi 270	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
8		inss2 4130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})
9		difss 4032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹 ∩ 𝐶)
10		inss2 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶
11	9, 10	sstri 3896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐶
12	8, 11	sstri 3896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ 𝐶
13		resima2 5870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})))
15		inss1 4129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝐶) ⊆ dom 𝐹
16		ssdif 4040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ⊆ dom 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})
18		sslin 4135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}) → (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})))
19		imass2 5949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})) → (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))))
20	17, 18, 19	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})))
21	14, 20	eqsstri 3921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})))
22		sstr 3895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)
23	21, 22	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢 → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)
24	23	anim2i 620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
25	24	reximi 3158	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
26	25	imim2i 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
27	26	ralimi 3076	. . . . 5 ⊢ (∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
28	27	anim2i 620	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
29	7, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
30		fresin 6557	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐶):(dom 𝐹 ∩ 𝐶)⟶ℂ)
31	2, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐶):(dom 𝐹 ∩ 𝐶)⟶ℂ)
32	15, 3	sstrid 3898	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (dom 𝐹 ∩ 𝐶) ⊆ ℂ)
33	31, 32, 4, 5	ellimc2 24641	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
34	29, 33	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵))
35	34	ssriv 3891	1 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3054  ∃wrex 3055   ∖ cdif 3850   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853  {csn 4526  dom cdm 5535   ↾ cres 5537   “ cima 5538  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7182  ℂcc 10625  TopOpenctopn 16810  ℂ_fldccnfld 20229   lim_ℂ climc 24626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-map 8451  df-pm 8452  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-fi 8960  df-sup 8991  df-inf 8992  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-9 11798  df-n0 11989  df-z 12075  df-dec 12192  df-uz 12337  df-q 12443  df-rp 12485  df-xneg 12602  df-xadd 12603  df-xmul 12604  df-fz 12994  df-seq 13473  df-exp 13534  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-starv 16695  df-tset 16699  df-ple 16700  df-ds 16702  df-unif 16703  df-rest 16811  df-topn 16812  df-topgen 16832  df-psmet 20221  df-xmet 20222  df-met 20223  df-bl 20224  df-mopn 20225  df-cnfld 20230  df-top 21657  df-topon 21674  df-topsp 21696  df-bases 21709  df-cnp 21991  df-xms 23085  df-ms 23086  df-limc 24630

This theorem is referenced by:  limciun  24658  dvres2lem  24674  dvidlem  24679  dvcnp2  24684  dvcobr  24710  dvcnvlem  24740  lhop1lem  24777  lhop2  24779  lhop  24780  taylthlem2  25133  fourierdlem32  43262  fourierdlem33  43263  fourierdlem46  43275  fourierdlem74  43303  fourierdlem75  43304  fourierdlem84  43313  fourierdlem85  43314  fourierdlem88  43317  fouriercnp  43349  fouriercn  43355