Theorem limcresi 25947

Description: Any limit of 𝐹 is also a limit of the restriction of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limcresi	⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵)

Proof of Theorem limcresi

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 25936	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2	1	simp1d 1155	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3	1	simp2d 1156	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
4	1	simp3d 1157	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6	2, 3, 4, 5	ellimc2 25939	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
7	6	ibi 269	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
8		inss2 4189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})
9		difss 4089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹 ∩ 𝐶)
10		inss2 4189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶
11	9, 10	sstri 3945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐶
12	8, 11	sstri 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ 𝐶
13		resima2 6002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})))
15		inss1 4188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝐶) ⊆ dom 𝐹
16		ssdif 4097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ⊆ dom 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})
18		sslin 4194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}) → (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})))
19		imass2 6091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})) → (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))))
20	17, 18, 19	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})))
21	14, 20	eqsstri 3982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})))
22		sstr 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)
23	21, 22	mpan 700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢 → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)
24	23	anim2i 626	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
25	24	reximi 3100	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
26	25	imim2i 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
27	26	ralimi 3099	. . . . 5 ⊢ (∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
28	27	anim2i 626	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
29	7, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
30		fresin 6733	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐶):(dom 𝐹 ∩ 𝐶)⟶ℂ)
31	2, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐶):(dom 𝐹 ∩ 𝐶)⟶ℂ)
32	15, 3	sstrid 3947	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (dom 𝐹 ∩ 𝐶) ⊆ ℂ)
33	31, 32, 4, 5	ellimc2 25939	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
34	29, 33	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵))
35	34	ssriv 3940	1 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  {csn 4582  dom cdm 5647   ↾ cres 5649   “ cima 5650  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  TopOpenctopn 17450  ℂ_fldccnfld 21424   lim_ℂ climc 25924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-fz 13513  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-rest 17451  df-topn 17452  df-topgen 17472  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cnp 23288  df-xms 24380  df-ms 24381  df-limc 25928

This theorem is referenced by:  limciun  25956  dvres2lem  25972  dvidlem  25977  dvcnp2  25982  dvcobr  26008  dvcnvlem  26038  lhop1lem  26075  lhop2  26077  lhop  26078  taylthlem2  26437  fourierdlem32  46713  fourierdlem33  46714  fourierdlem46  46726  fourierdlem74  46754  fourierdlem75  46755  fourierdlem84  46764  fourierdlem85  46765  fourierdlem88  46768  fouriercnp  46800  fouriercn  46806