MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcresi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcresi 25934
Description: Any limit of 𝐹 is also a limit of the restriction of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
limcresi (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ((𝐹𝐶) lim 𝐵)

Proof of Theorem limcresi
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 25923 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
21simp1d 1141 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
31simp2d 1142 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
41simp3d 1143 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 eqid 2734 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
62, 3, 4, 5ellimc2 25926 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
76ibi 267 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
8 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵})
9 difss 4145 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹𝐶)
10 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐹𝐶) ⊆ 𝐶
119, 10sstri 4004 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐶
128, 11sstri 4004 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ 𝐶
13 resima2 6035 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ 𝐶 → ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵})))
15 inss1 4244 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝐹𝐶) ⊆ dom 𝐹
16 ssdif 4153 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹𝐶) ⊆ dom 𝐹 → ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})
18 sslin 4250 . . . . . . . . . . . 12 (((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}) → (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})))
19 imass2 6122 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})) → (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))))
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})))
2114, 20eqsstri 4029 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})))
22 sstr 4003 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)
2321, 22mpan 690 . . . . . . . . 9 ((𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢 → ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)
2423anim2i 617 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → (𝐵𝑣 ∧ ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
2524reximi 3081 . . . . . . 7 (∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
2625imim2i 16 . . . . . 6 ((𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → (𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
2726ralimi 3080 . . . . 5 (∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
2827anim2i 617 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
297, 28syl 17 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
30 fresin 6777 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹𝐶):(dom 𝐹𝐶)⟶ℂ)
312, 30syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹𝐶):(dom 𝐹𝐶)⟶ℂ)
3215, 3sstrid 4006 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (dom 𝐹𝐶) ⊆ ℂ)
3331, 32, 4, 5ellimc2 25926 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵𝑣 ∧ ((𝐹𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
3429, 33mpbird 257 . 2 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵))
3534ssriv 3998 1 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ((𝐹𝐶) lim 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  cdif 3959  cin 3961  wss 3962  {csn 4630  dom cdm 5688  cres 5690  cima 5691  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21381   lim climc 25911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cnp 23251  df-xms 24345  df-ms 24346  df-limc 25915
This theorem is referenced by:  limciun  25943  dvres2lem  25959  dvidlem  25964  dvcnp2  25969  dvcnp2OLD  25970  dvcobr  25997  dvcobrOLD  25998  dvcnvlem  26028  lhop1lem  26066  lhop2  26068  lhop  26069  taylthlem2  26430  taylthlem2OLD  26431  fourierdlem32  46094  fourierdlem33  46095  fourierdlem46  46107  fourierdlem74  46135  fourierdlem75  46136  fourierdlem84  46145  fourierdlem85  46146  fourierdlem88  46149  fouriercnp  46181  fouriercn  46187
  Copyright terms: Public domain W3C validator