Theorem limcres 26010

Description: If 𝐵 is an interior point of 𝐶 ∪ {𝐵} relative to the domain 𝐴, then a limit point of 𝐹 ↾ 𝐶 extends to a limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcres.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
limcres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcres.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcres.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcres.i	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))

Assertion

Ref	Expression
limcres	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcres

Dummy variables 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 25998	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶):dom (𝐹 ↾ 𝐶)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2	1	simp3d 1160	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		limccl 25999	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
4	3	sseli 3941	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
5	2, 4	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)))
7		limcrcl 25998	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
8	7	simp3d 1160	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		limccl 25999	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
10	9	sseli 3941	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
11	8, 10	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)))
13		limcres.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
14		limcres.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
15	14	cnfldtopon 24904	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
16		limcres.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
17	16	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
18		simprl 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	snssd 4754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
20	17, 19	unssd 4153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
21		resttopon 23283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
22	15, 20, 21	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
23	13, 22	eqeltrid 2873	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
24		topontop 23035	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐽 ∈ Top)
25	23, 24	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐽 ∈ Top)
26		limcres.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
27	26	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐶 ⊆ 𝐴)
28		unss1 4146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}))
29	27, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}))
30		toponuni 23036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = ∪ 𝐽)
31	23, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = ∪ 𝐽)
32	29, 31	sseqtrd 3981	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ ∪ 𝐽)
33		limcres.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
34	33	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
35		elun 4115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
36		simplrr 789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
37		limcres.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
38	37	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
39	38	ffvelcdmda 7077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
40	36, 39	ifcld 4536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
41		elsni 4608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} → 𝑧 = 𝐵)
42	41	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → 𝑧 = 𝐵)
43	42	iftrued 4497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) = 𝑥)
44		simplrr 789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → 𝑥 ∈ ℂ)
45	43, 44	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
46	40, 45	jaodan 972	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
47	35, 46	sylan2b 605	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
48	47	fmpttd 7108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ)
49	31	feq2d 6687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):∪ 𝐽⟶ℂ))
50	48, 49	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):∪ 𝐽⟶ℂ)
51		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
52	15	toponunii 23038	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
53	51, 52	cnprest 23411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):∪ 𝐽⟶ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
54	25, 32, 34, 50, 53	syl22anc 851	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
55		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
56	13, 14, 55, 38, 17, 18	ellimc 25997	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
57		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵}))
58		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧)))
59	38, 27	fssresd 6743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ)
60	27, 17	sstrd 3955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
61	57, 14, 58, 59, 60, 18	ellimc 25997	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) ∈ (((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
62		elun 4115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
63		velsn 4607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
64	63	orbi2i 925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵))
65	62, 64	bitri 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵))
66		pm5.61 1016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
67		fvres 6898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
68	67	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
69	66, 68	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
70	69	ifeq2da 4522	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
71	65, 70	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
72	71	mpteq2ia 5207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
73	29	resmptd 6040	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))))
74	72, 73	eqtr4id 2823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})))
75	13	oveq1i 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = ((𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵}))
76		cnex 11177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
77	76	ssex 5289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V)
78	20, 77	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V)
79		restabs 23287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
80	15, 29, 78, 79	mp3an2i 1492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
81	75, 80	eqtr2id 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
82	81	oveq1d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾) = ((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾))
83	82	fveq1d 6881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) = (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
84	74, 83	eleq12d 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) ∈ (((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
85	61, 84	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
86	54, 56, 85	3bitr4rd 315	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
87	86	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
88	6, 12, 87	pm5.21ndd 382	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
89	88	eqrdv 2767	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  ifcif 4489  {csn 4591  ∪ cuni 4873   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℂcc 11094   ↾_t crest 17469  TopOpenctopn 17470  ℂ_fldccnfld 21487  Topctop 23015  TopOnctopon 23032  intcnt 23139   CnP ccnp 23347   lim_ℂ climc 25986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-fz 13532  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-rest 17471  df-topn 17472  df-topgen 17492  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-ntr 23142  df-cnp 23350  df-xms 24442  df-ms 24443  df-limc 25990

This theorem is referenced by:  dvreslem  26033  dvaddbr  26062  dvmulbr  26063  lhop2  26139  lhop  26140  limciccioolb  46224  limcicciooub  46238  limcresiooub  46243  limcresioolb  46244  ioccncflimc  46486  icocncflimc  46490  dirkercncflem3  46706  fourierdlem32  46740  fourierdlem33  46741  fourierdlem48  46755  fourierdlem49  46756  fourierdlem62  46769  fouriersw  46832