Theorem limcres 25787

Description: If 𝐵 is an interior point of 𝐶 ∪ {𝐵} relative to the domain 𝐴, then a limit point of 𝐹 ↾ 𝐶 extends to a limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcres.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
limcres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcres.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcres.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcres.i	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))

Assertion

Ref	Expression
limcres	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcres

Dummy variables 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 25775	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶):dom (𝐹 ↾ 𝐶)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2	1	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		limccl 25776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
4	3	sseli 3942	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
5	2, 4	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)))
7		limcrcl 25775	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
8	7	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		limccl 25776	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
10	9	sseli 3942	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
11	8, 10	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)))
13		limcres.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
14		limcres.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
15	14	cnfldtopon 24670	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
16		limcres.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
18		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	snssd 4773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
20	17, 19	unssd 4155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
21		resttopon 23048	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
22	15, 20, 21	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
23	13, 22	eqeltrid 2832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
24		topontop 22800	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐽 ∈ Top)
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐽 ∈ Top)
26		limcres.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐶 ⊆ 𝐴)
28		unss1 4148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}))
30		toponuni 22801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = ∪ 𝐽)
31	23, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = ∪ 𝐽)
32	29, 31	sseqtrd 3983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ ∪ 𝐽)
33		limcres.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
35		elun 4116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
36		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
37		limcres.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
39	38	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
40	36, 39	ifcld 4535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
41		elsni 4606	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} → 𝑧 = 𝐵)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → 𝑧 = 𝐵)
43	42	iftrued 4496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) = 𝑥)
44		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → 𝑥 ∈ ℂ)
45	43, 44	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
46	40, 45	jaodan 959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
47	35, 46	sylan2b 594	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
48	47	fmpttd 7087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ)
49	31	feq2d 6672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):∪ 𝐽⟶ℂ))
50	48, 49	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):∪ 𝐽⟶ℂ)
51		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
52	15	toponunii 22803	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
53	51, 52	cnprest 23176	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):∪ 𝐽⟶ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
54	25, 32, 34, 50, 53	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
55		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
56	13, 14, 55, 38, 17, 18	ellimc 25774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
57		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵}))
58		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧)))
59	38, 27	fssresd 6727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ)
60	27, 17	sstrd 3957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
61	57, 14, 58, 59, 60, 18	ellimc 25774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) ∈ (((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
62		elun 4116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
63		velsn 4605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
64	63	orbi2i 912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵))
65	62, 64	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵))
66		pm5.61 1002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
67		fvres 6877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
69	66, 68	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
70	69	ifeq2da 4521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
71	65, 70	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
72	71	mpteq2ia 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
73	29	resmptd 6011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))))
74	72, 73	eqtr4id 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})))
75	13	oveq1i 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = ((𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵}))
76		cnex 11149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
77	76	ssex 5276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V)
78	20, 77	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V)
79		restabs 23052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
80	15, 29, 78, 79	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
81	75, 80	eqtr2id 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
82	81	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾) = ((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾))
83	82	fveq1d 6860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) = (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
84	74, 83	eleq12d 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) ∈ (((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
85	61, 84	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
86	54, 56, 85	3bitr4rd 312	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
87	86	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
88	6, 12, 87	pm5.21ndd 379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
89	88	eqrdv 2727	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  ifcif 4488  {csn 4589  ∪ cuni 4871   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638   ↾ cres 5640  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  ℂ_fldccnfld 21264  Topctop 22780  TopOnctopon 22797  intcnt 22904   CnP ccnp 23112   lim_ℂ climc 25763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-ntr 22907  df-cnp 23115  df-xms 24208  df-ms 24209  df-limc 25767

This theorem is referenced by:  dvreslem  25810  dvaddbr  25840  dvmulbr  25841  dvmulbrOLD  25842  lhop2  25920  lhop  25921  limciccioolb  45619  limcicciooub  45635  limcresiooub  45640  limcresioolb  45641  ioccncflimc  45883  icocncflimc  45887  dirkercncflem3  46103  fourierdlem32  46137  fourierdlem33  46138  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem62  46166  fouriersw  46229