MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcres 25250
Description: If 𝐵 is an interior point of 𝐶 ∪ {𝐵} relative to the domain 𝐴, then a limit point of 𝐹𝐶 extends to a limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcres.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcres.c (𝜑𝐶𝐴)
limcres.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcres.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcres.j 𝐽 = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcres.i (𝜑𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
Assertion
Ref Expression
limcres (𝜑 → ((𝐹𝐶) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))

Proof of Theorem limcres
Dummy variables 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 25238 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → ((𝐹𝐶):dom (𝐹𝐶)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐶) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
21simp3d 1144 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 limccl 25239 . . . . . 6 ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ⊆ ℂ
43sseli 3940 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
52, 4jca 512 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
65a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)))
7 limcrcl 25238 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
87simp3d 1144 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 limccl 25239 . . . . . 6 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ
109sseli 3940 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
118, 10jca 512 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)))
13 limcres.j . . . . . . . 8 𝐽 = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
14 limcres.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
1514cnfldtopon 24146 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
16 limcres.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1716adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
18 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1918snssd 4769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
2017, 19unssd 4146 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
21 resttopon 22512 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
2215, 20, 21sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
2313, 22eqeltrid 2842 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
24 topontop 22262 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐽 ∈ Top)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐽 ∈ Top)
26 limcres.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐴)
2726adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐶𝐴)
28 unss1 4139 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}))
30 toponuni 22263 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐽)
3123, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐽)
3229, 31sseqtrd 3984 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ 𝐽)
33 limcres.i . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
3433adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
35 elun 4108 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵}))
36 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
37 limcres.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3938ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
4036, 39ifcld 4532 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧𝐴) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
41 elsni 4603 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ {𝐵} → 𝑧 = 𝐵)
4241adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → 𝑧 = 𝐵)
4342iftrued 4494 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) = 𝑥)
44 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → 𝑥 ∈ ℂ)
4543, 44eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
4640, 45jaodan 956 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ (𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
4735, 46sylan2b 594 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
4847fmpttd 7063 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ)
4931feq2d 6654 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))): 𝐽⟶ℂ))
5048, 49mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))): 𝐽⟶ℂ)
51 eqid 2736 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
5215toponunii 22265 . . . . . . 7 ℂ = 𝐾
5351, 52cnprest 22640 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ 𝐽) ∧ (𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))): 𝐽⟶ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
5425, 32, 34, 50, 53syl22anc 837 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
55 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
5613, 14, 55, 38, 17, 18ellimc 25237 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
57 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵}))
58 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧)))
5938, 27fssresd 6709 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℂ)
6027, 17sstrd 3954 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
6157, 14, 58, 59, 60, 18ellimc 25237 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) ∈ (((𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
62 elun 4108 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐶𝑧 ∈ {𝐵}))
63 velsn 4602 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
6463orbi2i 911 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐶𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐶𝑧 = 𝐵))
6562, 64bitri 274 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐶𝑧 = 𝐵))
66 pm5.61 999 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝐶𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧𝐶 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
67 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐶 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹𝐶)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
6966, 68sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧𝐶𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹𝐶)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
7069ifeq2da 4518 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐶𝑧 = 𝐵) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
7165, 70sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
7271mpteq2ia 5208 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
7329resmptd 5994 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))))
7472, 73eqtr4id 2795 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})))
7513oveq1i 7367 . . . . . . . . . 10 (𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) = ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵}))
76 cnex 11132 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
7776ssex 5278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V)
7820, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V)
79 restabs 22516 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
8015, 29, 78, 79mp3an2i 1466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
8175, 80eqtr2id 2789 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})))
8281oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾) = ((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾))
8382fveq1d 6844 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (((𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) = (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
8474, 83eleq12d 2832 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) ∈ (((𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
8561, 84bitrd 278 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
8654, 56, 853bitr4rd 311 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
8786ex 413 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
886, 12, 87pm5.21ndd 380 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
8988eqrdv 2734 1 (𝜑 → ((𝐹𝐶) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cun 3908  wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586   cuni 4865  cmpt 5188  dom cdm 5633  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  fldccnfld 20796  Topctop 22242  TopOnctopon 22259  intcnt 22368   CnP ccnp 22576   lim climc 25226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-ntr 22371  df-cnp 22579  df-xms 23673  df-ms 23674  df-limc 25230
This theorem is referenced by:  dvreslem  25273  dvaddbr  25302  dvmulbr  25303  lhop2  25379  lhop  25380  limciccioolb  43852  limcicciooub  43868  limcresiooub  43873  limcresioolb  43874  ioccncflimc  44116  icocncflimc  44120  dirkercncflem3  44336  fourierdlem32  44370  fourierdlem33  44371  fourierdlem48  44385  fourierdlem49  44386  fourierdlem62  44399  fouriersw  44462
  Copyright terms: Public domain W3C validator