Theorem limcres 25843

Description: If 𝐵 is an interior point of 𝐶 ∪ {𝐵} relative to the domain 𝐴, then a limit point of 𝐹 ↾ 𝐶 extends to a limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcres.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
limcres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcres.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcres.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcres.i	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))

Assertion

Ref	Expression
limcres	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcres

Dummy variables 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 25831	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶):dom (𝐹 ↾ 𝐶)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2	1	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		limccl 25832	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
4	3	sseli 3929	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
5	2, 4	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)))
7		limcrcl 25831	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
8	7	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		limccl 25832	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
10	9	sseli 3929	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
11	8, 10	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)))
13		limcres.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
14		limcres.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
15	14	cnfldtopon 24726	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
16		limcres.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
18		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	snssd 4765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
20	17, 19	unssd 4144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
21		resttopon 23105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
22	15, 20, 21	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
23	13, 22	eqeltrid 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
24		topontop 22857	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐽 ∈ Top)
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐽 ∈ Top)
26		limcres.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐶 ⊆ 𝐴)
28		unss1 4137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}))
30		toponuni 22858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = ∪ 𝐽)
31	23, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = ∪ 𝐽)
32	29, 31	sseqtrd 3970	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ ∪ 𝐽)
33		limcres.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
35		elun 4105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
36		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
37		limcres.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
39	38	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
40	36, 39	ifcld 4526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
41		elsni 4597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} → 𝑧 = 𝐵)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → 𝑧 = 𝐵)
43	42	iftrued 4487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) = 𝑥)
44		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → 𝑥 ∈ ℂ)
45	43, 44	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
46	40, 45	jaodan 959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
47	35, 46	sylan2b 594	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
48	47	fmpttd 7060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ)
49	31	feq2d 6646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):∪ 𝐽⟶ℂ))
50	48, 49	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):∪ 𝐽⟶ℂ)
51		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
52	15	toponunii 22860	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
53	51, 52	cnprest 23233	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):∪ 𝐽⟶ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
54	25, 32, 34, 50, 53	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
55		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
56	13, 14, 55, 38, 17, 18	ellimc 25830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
57		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵}))
58		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧)))
59	38, 27	fssresd 6701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ)
60	27, 17	sstrd 3944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
61	57, 14, 58, 59, 60, 18	ellimc 25830	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) ∈ (((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
62		elun 4105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
63		velsn 4596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
64	63	orbi2i 912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵))
65	62, 64	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵))
66		pm5.61 1002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
67		fvres 6853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
69	66, 68	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
70	69	ifeq2da 4512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
71	65, 70	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
72	71	mpteq2ia 5193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
73	29	resmptd 5999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))))
74	72, 73	eqtr4id 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})))
75	13	oveq1i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = ((𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵}))
76		cnex 11107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
77	76	ssex 5266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V)
78	20, 77	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V)
79		restabs 23109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
80	15, 29, 78, 79	mp3an2i 1468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
81	75, 80	eqtr2id 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
82	81	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾) = ((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾))
83	82	fveq1d 6836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) = (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
84	74, 83	eleq12d 2830	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) ∈ (((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
85	61, 84	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
86	54, 56, 85	3bitr4rd 312	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
87	86	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
88	6, 12, 87	pm5.21ndd 379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
89	88	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  ifcif 4479  {csn 4580  ∪ cuni 4863   ↦ cmpt 5179  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   ↾_t crest 17340  TopOpenctopn 17341  ℂ_fldccnfld 21309  Topctop 22837  TopOnctopon 22854  intcnt 22961   CnP ccnp 23169   lim_ℂ climc 25819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-rest 17342  df-topn 17343  df-topgen 17363  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-ntr 22964  df-cnp 23172  df-xms 24264  df-ms 24265  df-limc 25823

This theorem is referenced by:  dvreslem  25866  dvaddbr  25896  dvmulbr  25897  dvmulbrOLD  25898  lhop2  25976  lhop  25977  limciccioolb  45867  limcicciooub  45881  limcresiooub  45886  limcresioolb  45887  ioccncflimc  46129  icocncflimc  46133  dirkercncflem3  46349  fourierdlem32  46383  fourierdlem33  46384  fourierdlem48  46398  fourierdlem49  46399  fourierdlem62  46412  fouriersw  46475