MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem limcres 25410
Description: If 𝐡 is an interior point of 𝐢 βˆͺ {𝐡} relative to the domain 𝐴, then a limit point of 𝐹 β†Ύ 𝐢 extends to a limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcres.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
limcres.c (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
limcres.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
limcres.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
limcres.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
limcres.i (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(𝐢 βˆͺ {𝐡})))
Assertion
Ref Expression
limcres (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) = (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Proof of Theorem limcres
Dummy variables 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 25398 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢):dom (𝐹 β†Ύ 𝐢)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐢) βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
21simp3d 1144 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3 limccl 25399 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
43sseli 3978 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
52, 4jca 512 . . . 4 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚))
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)))
7 limcrcl 25398 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
87simp3d 1144 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
9 limccl 25399 . . . . . 6 (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
109sseli 3978 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
118, 10jca 512 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚))
1211a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)))
13 limcres.j . . . . . . . 8 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
14 limcres.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1514cnfldtopon 24306 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
16 limcres.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
1716adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
18 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1918snssd 4812 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ {𝐡} βŠ† β„‚)
2017, 19unssd 4186 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚)
21 resttopon 22672 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
2215, 20, 21sylancr 587 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
2313, 22eqeltrid 2837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
24 topontop 22422 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
26 limcres.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
2726adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
28 unss1 4179 . . . . . . . 8 (𝐢 βŠ† 𝐴 β†’ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
30 toponuni 22423 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = βˆͺ 𝐽)
3123, 30syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = βˆͺ 𝐽)
3229, 31sseqtrd 4022 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) βŠ† βˆͺ 𝐽)
33 limcres.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(𝐢 βˆͺ {𝐡})))
3433adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(𝐢 βˆͺ {𝐡})))
35 elun 4148 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐡}))
36 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
37 limcres.f . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3938ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
4036, 39ifcld 4574 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
41 elsni 4645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ {𝐡} β†’ 𝑧 = 𝐡)
4241adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐡}) β†’ 𝑧 = 𝐡)
4342iftrued 4536 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐡}) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)) = π‘₯)
44 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐡}) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4543, 44eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐡}) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
4640, 45jaodan 956 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐡})) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
4735, 46sylan2b 594 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
4847fmpttd 7116 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))):(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚)
4931feq2d 6703 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))):(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚ ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))):βˆͺ π½βŸΆβ„‚))
5048, 49mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))):βˆͺ π½βŸΆβ„‚)
51 eqid 2732 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5215toponunii 22425 . . . . . . 7 β„‚ = βˆͺ 𝐾
5351, 52cnprest 22800 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ (𝐡 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(𝐢 βˆͺ {𝐡})) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))):βˆͺ π½βŸΆβ„‚)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐢 βˆͺ {𝐡})) ∈ (((𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
5425, 32, 34, 50, 53syl22anc 837 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐢 βˆͺ {𝐡})) ∈ (((𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
55 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)))
5613, 14, 55, 38, 17, 18ellimc 25397 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)))
57 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡}))
58 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§)))
5938, 27fssresd 6758 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):πΆβŸΆβ„‚)
6027, 17sstrd 3992 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐢 βŠ† β„‚)
6157, 14, 58, 59, 60, 18ellimc 25397 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
62 elun 4148 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 ∈ {𝐡}))
63 velsn 4644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ {𝐡} ↔ 𝑧 = 𝐡)
6463orbi2i 911 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 ∈ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 = 𝐡))
6562, 64bitri 274 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 = 𝐡))
66 pm5.61 999 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 = 𝐡) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡))
67 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ 𝐢 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
6966, 68sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 = 𝐡) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
7069ifeq2da 4560 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 = 𝐡) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§)) = if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)))
7165, 70sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§)) = if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)))
7271mpteq2ia 5251 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)))
7329resmptd 6040 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐢 βˆͺ {𝐡})) = (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))))
7472, 73eqtr4id 2791 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§))) = ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐢 βˆͺ {𝐡})))
7513oveq1i 7421 . . . . . . . . . 10 (𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) = ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡}))
76 cnex 11193 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ ∈ V
7776ssex 5321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V)
7820, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V)
79 restabs 22676 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∧ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V) β†’ ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})))
8015, 29, 78, 79mp3an2i 1466 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})))
8175, 80eqtr2id 2785 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) = (𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})))
8281oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾) = ((𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾))
8382fveq1d 6893 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (((𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅) = (((𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
8474, 83eleq12d 2827 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐢 βˆͺ {𝐡})) ∈ (((𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
8561, 84bitrd 278 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐢 βˆͺ {𝐡})) ∈ (((𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
8654, 56, 853bitr4rd 311 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
8786ex 413 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
886, 12, 87pm5.21ndd 380 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
8988eqrdv 2730 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) = (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110   β†Ύt crest 17368  TopOpenctopn 17369  β„‚fldccnfld 20950  Topctop 22402  TopOnctopon 22419  intcnt 22528   CnP ccnp 22736   limβ„‚ climc 25386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-fz 13487  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-rest 17370  df-topn 17371  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-ntr 22531  df-cnp 22739  df-xms 23833  df-ms 23834  df-limc 25390
This theorem is referenced by:  dvreslem  25433  dvaddbr  25462  dvmulbr  25463  lhop2  25539  lhop  25540  gg-dvmulbr  35244  limciccioolb  44416  limcicciooub  44432  limcresiooub  44437  limcresioolb  44438  ioccncflimc  44680  icocncflimc  44684  dirkercncflem3  44900  fourierdlem32  44934  fourierdlem33  44935  fourierdlem48  44949  fourierdlem49  44950  fourierdlem62  44963  fouriersw  45026
  Copyright terms: Public domain W3C validator