Theorem limcres 25863

Description: If 𝐵 is an interior point of 𝐶 ∪ {𝐵} relative to the domain 𝐴, then a limit point of 𝐹 ↾ 𝐶 extends to a limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcres.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
limcres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcres.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcres.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcres.i	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))

Assertion

Ref	Expression
limcres	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcres

Dummy variables 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 25851	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶):dom (𝐹 ↾ 𝐶)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2	1	simp3d 1145	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		limccl 25852	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
4	3	sseli 3918	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
5	2, 4	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)))
7		limcrcl 25851	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
8	7	simp3d 1145	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		limccl 25852	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
10	9	sseli 3918	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
11	8, 10	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)))
13		limcres.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
14		limcres.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
15	14	cnfldtopon 24757	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
16		limcres.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
18		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	snssd 4753	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
20	17, 19	unssd 4133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
21		resttopon 23136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
22	15, 20, 21	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
23	13, 22	eqeltrid 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
24		topontop 22888	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐽 ∈ Top)
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐽 ∈ Top)
26		limcres.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐶 ⊆ 𝐴)
28		unss1 4126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}))
30		toponuni 22889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = ∪ 𝐽)
31	23, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = ∪ 𝐽)
32	29, 31	sseqtrd 3959	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ ∪ 𝐽)
33		limcres.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
35		elun 4094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
36		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
37		limcres.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
39	38	ffvelcdmda 7030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
40	36, 39	ifcld 4514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
41		elsni 4585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} → 𝑧 = 𝐵)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → 𝑧 = 𝐵)
43	42	iftrued 4475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) = 𝑥)
44		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → 𝑥 ∈ ℂ)
45	43, 44	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
46	40, 45	jaodan 960	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
47	35, 46	sylan2b 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
48	47	fmpttd 7061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ)
49	31	feq2d 6646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):∪ 𝐽⟶ℂ))
50	48, 49	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):∪ 𝐽⟶ℂ)
51		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
52	15	toponunii 22891	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
53	51, 52	cnprest 23264	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):∪ 𝐽⟶ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
54	25, 32, 34, 50, 53	syl22anc 839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
55		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
56	13, 14, 55, 38, 17, 18	ellimc 25850	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
57		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵}))
58		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧)))
59	38, 27	fssresd 6701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ)
60	27, 17	sstrd 3933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
61	57, 14, 58, 59, 60, 18	ellimc 25850	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) ∈ (((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
62		elun 4094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
63		velsn 4584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
64	63	orbi2i 913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵))
65	62, 64	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵))
66		pm5.61 1003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
67		fvres 6853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
69	66, 68	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
70	69	ifeq2da 4500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
71	65, 70	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
72	71	mpteq2ia 5181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
73	29	resmptd 5999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))))
74	72, 73	eqtr4id 2791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})))
75	13	oveq1i 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = ((𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵}))
76		cnex 11110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
77	76	ssex 5258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V)
78	20, 77	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V)
79		restabs 23140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
80	15, 29, 78, 79	mp3an2i 1469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
81	75, 80	eqtr2id 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
82	81	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾) = ((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾))
83	82	fveq1d 6836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) = (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
84	74, 83	eleq12d 2831	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) ∈ (((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
85	61, 84	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
86	54, 56, 85	3bitr4rd 312	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
87	86	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
88	6, 12, 87	pm5.21ndd 379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
89	88	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ifcif 4467  {csn 4568  ∪ cuni 4851   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   ↾_t crest 17374  TopOpenctopn 17375  ℂ_fldccnfld 21344  Topctop 22868  TopOnctopon 22885  intcnt 22992   CnP ccnp 23200   lim_ℂ climc 25839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-rest 17376  df-topn 17377  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-ntr 22995  df-cnp 23203  df-xms 24295  df-ms 24296  df-limc 25843

This theorem is referenced by:  dvreslem  25886  dvaddbr  25915  dvmulbr  25916  lhop2  25992  lhop  25993  limciccioolb  46069  limcicciooub  46083  limcresiooub  46088  limcresioolb  46089  ioccncflimc  46331  icocncflimc  46335  dirkercncflem3  46551  fourierdlem32  46585  fourierdlem33  46586  fourierdlem48  46600  fourierdlem49  46601  fourierdlem62  46614  fouriersw  46677