MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcres 24202
Description: If 𝐵 is an interior point of 𝐶 ∪ {𝐵} relative to the domain 𝐴, then a limit point of 𝐹𝐶 extends to a limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcres.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcres.c (𝜑𝐶𝐴)
limcres.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcres.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcres.j 𝐽 = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcres.i (𝜑𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
Assertion
Ref Expression
limcres (𝜑 → ((𝐹𝐶) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))

Proof of Theorem limcres
Dummy variables 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 24190 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → ((𝐹𝐶):dom (𝐹𝐶)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐶) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
21simp3d 1125 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 limccl 24191 . . . . . 6 ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ⊆ ℂ
43sseli 3856 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
52, 4jca 504 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
65a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)))
7 limcrcl 24190 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
87simp3d 1125 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 limccl 24191 . . . . . 6 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ
109sseli 3856 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
118, 10jca 504 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)))
13 limcres.j . . . . . . . 8 𝐽 = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
14 limcres.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
1514cnfldtopon 23109 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
16 limcres.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1716adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
18 simprl 759 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1918snssd 4621 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
2017, 19unssd 4053 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
21 resttopon 21488 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
2215, 20, 21sylancr 579 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
2313, 22syl5eqel 2872 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
24 topontop 21240 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐽 ∈ Top)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐽 ∈ Top)
26 limcres.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐴)
2726adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐶𝐴)
28 unss1 4046 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}))
30 toponuni 21241 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐽)
3123, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐽)
3229, 31sseqtrd 3899 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ 𝐽)
33 limcres.i . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
3433adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
35 elun 4016 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵}))
36 simplrr 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
37 limcres.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3837adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3938ffvelrnda 6682 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
4036, 39ifcld 4398 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧𝐴) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
41 elsni 4461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ {𝐵} → 𝑧 = 𝐵)
4241adantl 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → 𝑧 = 𝐵)
4342iftrued 4361 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) = 𝑥)
44 simplrr 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → 𝑥 ∈ ℂ)
4543, 44eqeltrd 2868 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
4640, 45jaodan 941 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ (𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
4735, 46sylan2b 585 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
4847fmpttd 6708 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ)
4931feq2d 6335 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))): 𝐽⟶ℂ))
5048, 49mpbid 224 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))): 𝐽⟶ℂ)
51 eqid 2780 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
5215toponunii 21243 . . . . . . 7 ℂ = 𝐾
5351, 52cnprest 21616 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ 𝐽) ∧ (𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))): 𝐽⟶ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
5425, 32, 34, 50, 53syl22anc 827 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
55 eqid 2780 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
5613, 14, 55, 38, 17, 18ellimc 24189 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
57 eqid 2780 . . . . . . 7 (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵}))
58 eqid 2780 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧)))
5938, 27fssresd 6379 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℂ)
6027, 17sstrd 3870 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
6157, 14, 58, 59, 60, 18ellimc 24189 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) ∈ (((𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
6229resmptd 5758 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))))
63 elun 4016 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐶𝑧 ∈ {𝐵}))
64 velsn 4460 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
6564orbi2i 897 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐶𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐶𝑧 = 𝐵))
6663, 65bitri 267 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐶𝑧 = 𝐵))
67 pm5.61 984 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝐶𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧𝐶 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
68 fvres 6523 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
6968adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐶 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹𝐶)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
7067, 69sylbi 209 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧𝐶𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹𝐶)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
7170ifeq2da 4384 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐶𝑧 = 𝐵) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
7266, 71sylbi 209 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
7372mpteq2ia 5023 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
7462, 73syl6reqr 2835 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})))
7513oveq1i 6992 . . . . . . . . . 10 (𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) = ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵}))
76 cnex 10422 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
7776ssex 5085 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V)
7820, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V)
79 restabs 21492 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
8015, 29, 78, 79mp3an2i 1446 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
8175, 80syl5req 2829 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})))
8281oveq1d 6997 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾) = ((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾))
8382fveq1d 6506 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (((𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) = (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
8474, 83eleq12d 2862 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) ∈ (((𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
8561, 84bitrd 271 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
8654, 56, 853bitr4rd 304 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
8786ex 405 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
886, 12, 87pm5.21ndd 372 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
8988eqrdv 2778 1 (𝜑 → ((𝐹𝐶) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  wo 834   = wceq 1508  wcel 2051  Vcvv 3417  cun 3829  wss 3831  ifcif 4353  {csn 4444   cuni 4717  cmpt 5013  dom cdm 5411  cres 5413  wf 6189  cfv 6193  (class class class)co 6982  cc 10339  t crest 16556  TopOpenctopn 16557  fldccnfld 20262  Topctop 21220  TopOnctopon 21237  intcnt 21344   CnP ccnp 21552   lim climc 24178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418  ax-pre-sup 10419
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-int 4755  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-1o 7911  df-oadd 7915  df-er 8095  df-map 8214  df-pm 8215  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-fin 8316  df-fi 8676  df-sup 8707  df-inf 8708  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-div 11105  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-4 11511  df-5 11512  df-6 11513  df-7 11514  df-8 11515  df-9 11516  df-n0 11714  df-z 11800  df-dec 11918  df-uz 12065  df-q 12169  df-rp 12211  df-xneg 12330  df-xadd 12331  df-xmul 12332  df-fz 12715  df-seq 13191  df-exp 13251  df-cj 14325  df-re 14326  df-im 14327  df-sqrt 14461  df-abs 14462  df-struct 16347  df-ndx 16348  df-slot 16349  df-base 16351  df-plusg 16440  df-mulr 16441  df-starv 16442  df-tset 16446  df-ple 16447  df-ds 16449  df-unif 16450  df-rest 16558  df-topn 16559  df-topgen 16579  df-psmet 20254  df-xmet 20255  df-met 20256  df-bl 20257  df-mopn 20258  df-cnfld 20263  df-top 21221  df-topon 21238  df-topsp 21260  df-bases 21273  df-ntr 21347  df-cnp 21555  df-xms 22648  df-ms 22649  df-limc 24182
This theorem is referenced by:  dvreslem  24225  dvaddbr  24253  dvmulbr  24254  lhop2  24330  lhop  24331  limciccioolb  41368  limcicciooub  41384  limcresiooub  41389  limcresioolb  41390  ioccncflimc  41633  icocncflimc  41637  dirkercncflem3  41856  fourierdlem32  41890  fourierdlem33  41891  fourierdlem48  41905  fourierdlem49  41906  fourierdlem62  41919  fouriersw  41982
  Copyright terms: Public domain W3C validator