MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem limcres 25403
Description: If 𝐡 is an interior point of 𝐢 βˆͺ {𝐡} relative to the domain 𝐴, then a limit point of 𝐹 β†Ύ 𝐢 extends to a limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcres.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
limcres.c (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
limcres.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
limcres.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
limcres.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
limcres.i (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(𝐢 βˆͺ {𝐡})))
Assertion
Ref Expression
limcres (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) = (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Proof of Theorem limcres
Dummy variables 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 25391 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢):dom (𝐹 β†Ύ 𝐢)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐢) βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
21simp3d 1145 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3 limccl 25392 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
43sseli 3979 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
52, 4jca 513 . . . 4 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚))
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)))
7 limcrcl 25391 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
87simp3d 1145 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
9 limccl 25392 . . . . . 6 (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
109sseli 3979 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
118, 10jca 513 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚))
1211a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)))
13 limcres.j . . . . . . . 8 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
14 limcres.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1514cnfldtopon 24299 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
16 limcres.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
1716adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
18 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1918snssd 4813 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ {𝐡} βŠ† β„‚)
2017, 19unssd 4187 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚)
21 resttopon 22665 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
2215, 20, 21sylancr 588 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
2313, 22eqeltrid 2838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
24 topontop 22415 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
26 limcres.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
2726adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
28 unss1 4180 . . . . . . . 8 (𝐢 βŠ† 𝐴 β†’ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
30 toponuni 22416 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = βˆͺ 𝐽)
3123, 30syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = βˆͺ 𝐽)
3229, 31sseqtrd 4023 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) βŠ† βˆͺ 𝐽)
33 limcres.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(𝐢 βˆͺ {𝐡})))
3433adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(𝐢 βˆͺ {𝐡})))
35 elun 4149 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐡}))
36 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
37 limcres.f . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3837adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3938ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
4036, 39ifcld 4575 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
41 elsni 4646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ {𝐡} β†’ 𝑧 = 𝐡)
4241adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐡}) β†’ 𝑧 = 𝐡)
4342iftrued 4537 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐡}) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)) = π‘₯)
44 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐡}) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4543, 44eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐡}) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
4640, 45jaodan 957 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐡})) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
4735, 46sylan2b 595 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
4847fmpttd 7115 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))):(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚)
4931feq2d 6704 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))):(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚ ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))):βˆͺ π½βŸΆβ„‚))
5048, 49mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))):βˆͺ π½βŸΆβ„‚)
51 eqid 2733 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5215toponunii 22418 . . . . . . 7 β„‚ = βˆͺ 𝐾
5351, 52cnprest 22793 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ (𝐡 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(𝐢 βˆͺ {𝐡})) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))):βˆͺ π½βŸΆβ„‚)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐢 βˆͺ {𝐡})) ∈ (((𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
5425, 32, 34, 50, 53syl22anc 838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐢 βˆͺ {𝐡})) ∈ (((𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
55 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)))
5613, 14, 55, 38, 17, 18ellimc 25390 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)))
57 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡}))
58 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§)))
5938, 27fssresd 6759 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):πΆβŸΆβ„‚)
6027, 17sstrd 3993 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐢 βŠ† β„‚)
6157, 14, 58, 59, 60, 18ellimc 25390 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
62 elun 4149 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 ∈ {𝐡}))
63 velsn 4645 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ {𝐡} ↔ 𝑧 = 𝐡)
6463orbi2i 912 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 ∈ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 = 𝐡))
6562, 64bitri 275 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 = 𝐡))
66 pm5.61 1000 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 = 𝐡) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡))
67 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ 𝐢 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
6867adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
6966, 68sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 = 𝐡) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
7069ifeq2da 4561 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 = 𝐡) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§)) = if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)))
7165, 70sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§)) = if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)))
7271mpteq2ia 5252 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)))
7329resmptd 6041 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐢 βˆͺ {𝐡})) = (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))))
7472, 73eqtr4id 2792 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§))) = ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐢 βˆͺ {𝐡})))
7513oveq1i 7419 . . . . . . . . . 10 (𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) = ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡}))
76 cnex 11191 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ ∈ V
7776ssex 5322 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V)
7820, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V)
79 restabs 22669 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∧ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V) β†’ ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})))
8015, 29, 78, 79mp3an2i 1467 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})))
8175, 80eqtr2id 2786 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) = (𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})))
8281oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾) = ((𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾))
8382fveq1d 6894 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (((𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅) = (((𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
8474, 83eleq12d 2828 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐢 βˆͺ {𝐡})) ∈ (((𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
8561, 84bitrd 279 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐢 βˆͺ {𝐡})) ∈ (((𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
8654, 56, 853bitr4rd 312 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
8786ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
886, 12, 87pm5.21ndd 381 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
8988eqrdv 2731 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) = (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  intcnt 22521   CnP ccnp 22729   limβ„‚ climc 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-ntr 22524  df-cnp 22732  df-xms 23826  df-ms 23827  df-limc 25383
This theorem is referenced by:  dvreslem  25426  dvaddbr  25455  dvmulbr  25456  lhop2  25532  lhop  25533  gg-dvmulbr  35175  limciccioolb  44337  limcicciooub  44353  limcresiooub  44358  limcresioolb  44359  ioccncflimc  44601  icocncflimc  44605  dirkercncflem3  44821  fourierdlem32  44855  fourierdlem33  44856  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  fourierdlem62  44884  fouriersw  44947
  Copyright terms: Public domain W3C validator