Theorem limcres 23941

Description: If 𝐵 is an interior point of 𝐶 ∪ {𝐵} relative to the domain 𝐴, then a limit point of 𝐹 ↾ 𝐶 extends to a limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcres.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
limcres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcres.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcres.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcres.i	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))

Assertion

Ref	Expression
limcres	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limcres

Dummy variables 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 23929	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶):dom (𝐹 ↾ 𝐶)⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2	1	simp3d 1174	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		limccl 23930	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
4	3	sseli 3757	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
5	2, 4	jca 507	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)))
7		limcrcl 23929	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
8	7	simp3d 1174	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		limccl 23930	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ℂ
10	9	sseli 3757	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
11	8, 10	jca 507	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)))
13		limcres.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
14		limcres.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
15	14	cnfldtopon 22865	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
16		limcres.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
17	16	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
18		simprl 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	snssd 4494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
20	17, 19	unssd 3951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
21		resttopon 21245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
22	15, 20, 21	sylancr 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
23	13, 22	syl5eqel 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
24		topontop 20997	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐽 ∈ Top)
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐽 ∈ Top)
26		limcres.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
27	26	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐶 ⊆ 𝐴)
28		unss1 3944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}))
30		toponuni 20998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = ∪ 𝐽)
31	23, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = ∪ 𝐽)
32	29, 31	sseqtrd 3801	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ ∪ 𝐽)
33		limcres.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
34	33	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
35		elun 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
36		simplrr 796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
37		limcres.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
38	37	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
39	38	ffvelrnda 6549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
40	36, 39	ifcld 4288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
41		elsni 4351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} → 𝑧 = 𝐵)
42	41	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → 𝑧 = 𝐵)
43	42	iftrued 4251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) = 𝑥)
44		simplrr 796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → 𝑥 ∈ ℂ)
45	43, 44	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
46	40, 45	jaodan 980	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
47	35, 46	sylan2b 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
48	47	fmpttd 6575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ)
49	31	feq2d 6209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):∪ 𝐽⟶ℂ))
50	48, 49	mpbid 223	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):∪ 𝐽⟶ℂ)
51		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
52	15	toponunii 21000	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ 𝐾
53	51, 52	cnprest 21373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ ∪ 𝐽) ∧ (𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))):∪ 𝐽⟶ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
54	25, 32, 34, 50, 53	syl22anc 867	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
55		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
56	13, 14, 55, 38, 17, 18	ellimc 23928	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
57		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵}))
58		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧)))
59	38, 27	fssresd 6253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℂ)
60	27, 17	sstrd 3771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
61	57, 14, 58, 59, 60, 18	ellimc 23928	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) ∈ (((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
62	29	resmptd 5629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))))
63		elun 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
64		velsn 4350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
65	64	orbi2i 936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵))
66	63, 65	bitri 266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵))
67		pm5.61 1023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
68		fvres 6394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
69	68	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
70	67, 69	sylbi 208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
71	70	ifeq2da 4274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∨ 𝑧 = 𝐵) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
72	66, 71	sylbi 208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
73	72	mpteq2ia 4899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧)))
74	62, 73	syl6reqr 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})))
75	13	oveq1i 6852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = ((𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵}))
76	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
77		cnex 10270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
78	77	ssex 4963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V)
79	20, 78	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V)
80		restabs 21249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
81	76, 29, 79, 80	syl3anc 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝐾 ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
82	75, 81	syl5req 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
83	82	oveq1d 6857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾) = ((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾))
84	83	fveq1d 6377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) = (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
85	74, 84	eleq12d 2838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑧))) ∈ (((𝐾 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
86	61, 85	bitrd 270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹‘𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽 ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
87	54, 56, 86	3bitr4rd 303	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
88	87	ex 401	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
89	6, 12, 88	pm5.21ndd 370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
90	89	eqrdv 2763	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∨ wo 873   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  Vcvv 3350   ∪ cun 3730   ⊆ wss 3732  ifcif 4243  {csn 4334  ∪ cuni 4594   ↦ cmpt 4888  dom cdm 5277   ↾ cres 5279  ⟶wf 6064  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  ℂcc 10187   ↾_t crest 16347  TopOpenctopn 16348  ℂ_fldccnfld 20019  Topctop 20977  TopOnctopon 20994  intcnt 21101   CnP ccnp 21309   lim_ℂ climc 23917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-rest 16349  df-topn 16350  df-topgen 16370  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-ntr 21104  df-cnp 21312  df-xms 22404  df-ms 22405  df-limc 23921

This theorem is referenced by:  dvreslem  23964  dvaddbr  23992  dvmulbr  23993  lhop2  24069  lhop  24070  limciccioolb  40491  limcicciooub  40507  limcresiooub  40512  limcresioolb  40513  ioccncflimc  40736  icocncflimc  40740  dirkercncflem3  40959  fourierdlem32  40993  fourierdlem33  40994  fourierdlem48  41008  fourierdlem49  41009  fourierdlem62  41022  fouriersw  41085