MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem limcres 25394
Description: If 𝐡 is an interior point of 𝐢 βˆͺ {𝐡} relative to the domain 𝐴, then a limit point of 𝐹 β†Ύ 𝐢 extends to a limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcres.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
limcres.c (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
limcres.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
limcres.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
limcres.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
limcres.i (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(𝐢 βˆͺ {𝐡})))
Assertion
Ref Expression
limcres (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) = (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Proof of Theorem limcres
Dummy variables 𝑧 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 25382 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢):dom (𝐹 β†Ύ 𝐢)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝐹 β†Ύ 𝐢) βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
21simp3d 1144 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3 limccl 25383 . . . . . 6 ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
43sseli 3977 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
52, 4jca 512 . . . 4 (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚))
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)))
7 limcrcl 25382 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
87simp3d 1144 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
9 limccl 25383 . . . . . 6 (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
109sseli 3977 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
118, 10jca 512 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚))
1211a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)))
13 limcres.j . . . . . . . 8 𝐽 = (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
14 limcres.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1514cnfldtopon 24290 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
16 limcres.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
1716adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
18 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1918snssd 4811 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ {𝐡} βŠ† β„‚)
2017, 19unssd 4185 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚)
21 resttopon 22656 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
2215, 20, 21sylancr 587 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
2313, 22eqeltrid 2837 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})))
24 topontop 22406 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
26 limcres.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
2726adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
28 unss1 4178 . . . . . . . 8 (𝐢 βŠ† 𝐴 β†’ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡}))
30 toponuni 22407 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = βˆͺ 𝐽)
3123, 30syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) = βˆͺ 𝐽)
3229, 31sseqtrd 4021 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) βŠ† βˆͺ 𝐽)
33 limcres.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(𝐢 βˆͺ {𝐡})))
3433adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐡 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(𝐢 βˆͺ {𝐡})))
35 elun 4147 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐡}))
36 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
37 limcres.f . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3938ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
4036, 39ifcld 4573 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
41 elsni 4644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ {𝐡} β†’ 𝑧 = 𝐡)
4241adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐡}) β†’ 𝑧 = 𝐡)
4342iftrued 4535 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐡}) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)) = π‘₯)
44 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐡}) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4543, 44eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐡}) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
4640, 45jaodan 956 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∨ 𝑧 ∈ {𝐡})) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
4735, 46sylan2b 594 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
4847fmpttd 7111 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))):(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚)
4931feq2d 6700 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))):(𝐴 βˆͺ {𝐡})βŸΆβ„‚ ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))):βˆͺ π½βŸΆβ„‚))
5048, 49mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))):βˆͺ π½βŸΆβ„‚)
51 eqid 2732 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5215toponunii 22409 . . . . . . 7 β„‚ = βˆͺ 𝐾
5351, 52cnprest 22784 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ (𝐡 ∈ ((intβ€˜π½)β€˜(𝐢 βˆͺ {𝐡})) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))):βˆͺ π½βŸΆβ„‚)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐢 βˆͺ {𝐡})) ∈ (((𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
5425, 32, 34, 50, 53syl22anc 837 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐢 βˆͺ {𝐡})) ∈ (((𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
55 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)))
5613, 14, 55, 38, 17, 18ellimc 25381 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π΅)))
57 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡}))
58 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§)))
5938, 27fssresd 6755 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):πΆβŸΆβ„‚)
6027, 17sstrd 3991 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ 𝐢 βŠ† β„‚)
6157, 14, 58, 59, 60, 18ellimc 25381 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
62 elun 4147 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 ∈ {𝐡}))
63 velsn 4643 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ {𝐡} ↔ 𝑧 = 𝐡)
6463orbi2i 911 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 ∈ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 = 𝐡))
6562, 64bitri 274 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 = 𝐡))
66 pm5.61 999 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 = 𝐡) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡) ↔ (𝑧 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡))
67 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ 𝐢 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
6867adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ 𝐢 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
6966, 68sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 = 𝐡) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝐡) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
7069ifeq2da 4559 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ 𝐢 ∨ 𝑧 = 𝐡) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§)) = if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)))
7165, 70sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) β†’ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§)) = if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)))
7271mpteq2ia 5250 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§)))
7329resmptd 6038 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐢 βˆͺ {𝐡})) = (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))))
7472, 73eqtr4id 2791 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§))) = ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐢 βˆͺ {𝐡})))
7513oveq1i 7415 . . . . . . . . . 10 (𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) = ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡}))
76 cnex 11187 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ ∈ V
7776ssex 5320 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 βˆͺ {𝐡}) βŠ† β„‚ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V)
7820, 77syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V)
79 restabs 22660 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∧ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ∈ V) β†’ ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})))
8015, 29, 78, 79mp3an2i 1466 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((𝐾 β†Ύt (𝐴 βˆͺ {𝐡})) β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) = (𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})))
8175, 80eqtr2id 2785 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) = (𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})))
8281oveq1d 7420 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾) = ((𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾))
8382fveq1d 6890 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (((𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅) = (((𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅))
8474, 83eleq12d 2827 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐢 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, ((𝐹 β†Ύ 𝐢)β€˜π‘§))) ∈ (((𝐾 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐢 βˆͺ {𝐡})) ∈ (((𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
8561, 84bitrd 278 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝐡}) ↦ if(𝑧 = 𝐡, π‘₯, (πΉβ€˜π‘§))) β†Ύ (𝐢 βˆͺ {𝐡})) ∈ (((𝐽 β†Ύt (𝐢 βˆͺ {𝐡})) CnP 𝐾)β€˜π΅)))
8654, 56, 853bitr4rd 311 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
8786ex 413 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
886, 12, 87pm5.21ndd 380 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) ↔ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
8988eqrdv 2730 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢) limβ„‚ 𝐡) = (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104   β†Ύt crest 17362  TopOpenctopn 17363  β„‚fldccnfld 20936  Topctop 22386  TopOnctopon 22403  intcnt 22512   CnP ccnp 22720   limβ„‚ climc 25370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-rest 17364  df-topn 17365  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-ntr 22515  df-cnp 22723  df-xms 23817  df-ms 23818  df-limc 25374
This theorem is referenced by:  dvreslem  25417  dvaddbr  25446  dvmulbr  25447  lhop2  25523  lhop  25524  gg-dvmulbr  35163  limciccioolb  44323  limcicciooub  44339  limcresiooub  44344  limcresioolb  44345  ioccncflimc  44587  icocncflimc  44591  dirkercncflem3  44807  fourierdlem32  44841  fourierdlem33  44842  fourierdlem48  44856  fourierdlem49  44857  fourierdlem62  44870  fouriersw  44933
  Copyright terms: Public domain W3C validator