mullimcf - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem mullimcf 43054

Description: Limit of the multiplication of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mullimcf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
mullimcf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
mullimcf.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
mullimcf.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐷))
mullimcf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 lim_ℂ 𝐷))

**Assertion**
Ref	Expression
mullimcf	⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ (𝐻 lim_ℂ 𝐷))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐷 𝑥,𝐹 𝑥,𝐺 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑥) 𝐻(𝑥)

Proof of Theorem mullimcf Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑒 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 24944	. . . 4 ⊢ (𝐹 lim_ℂ 𝐷) ⊆ ℂ
2		mullimcf.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐷))
3	1, 2	sselid 3915	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		limccl 24944	. . . 4 ⊢ (𝐺 lim_ℂ 𝐷) ⊆ ℂ
5		mullimcf.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 lim_ℂ 𝐷))
6	4, 5	sselid 3915	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcld 10926	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
8		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → 𝑤 ∈ ℝ⁺)
9	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → 𝐶 ∈ ℂ)
11		mulcn2 15233	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
13		mullimcf.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
14	13	fdmd 6595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
15		limcrcl 24943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
16	2, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
17	16	simp2d 1141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
18	14, 17	eqsstrrd 3956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
19	16	simp3d 1142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
20	13, 18, 19	ellimc3 24948	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐷) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))))
21	2, 20	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)))
22	21	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
23	22	r19.21bi 3132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
24	23	adantrr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
25		mullimcf.g	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
26	25, 18, 19	ellimc3 24948	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 lim_ℂ 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ⁺ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
27	5, 26	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ⁺ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
28	27	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ⁺ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
29	28	r19.21bi 3132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
30	29	adantrl 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
31		reeanv 3292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ↔ (∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
32	24, 30, 31	sylanbrc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
33		ifcl 4501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ⁺)
34	33	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ⁺)
35		nfv 1918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺))
36		nfv 1918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)
37		nfra1 3142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)
38		nfra1 3142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)
39	37, 38	nfan 1903	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧(∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
40	35, 36, 39	nf3an 1905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
41		simp11l 1282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
42		simp1rl 1236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
43	42	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
44	41, 43	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺))
45		simp12 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺))
46		simp13l 1286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
47	44, 45, 46	jca31 514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)))
48		simp1r 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
49		simp2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
50		simp3l 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧 ≠ 𝐷)
51		simplll 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) → 𝜑)
52	51	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
53		simp1lr 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺))
54		simp3r 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))
55		simp1l 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝜑)
56		simp2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
57	18	sselda 3917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
58	55, 56, 57	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑧 ∈ ℂ)
59	55, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝐷 ∈ ℂ)
60	58, 59	subcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (𝑧 − 𝐷) ∈ ℂ)
61	60	abscld 15076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) ∈ ℝ)
62		rpre 12667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → 𝑒 ∈ ℝ)
63	62	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) → 𝑒 ∈ ℝ)
64	63	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑒 ∈ ℝ)
65		rpre 12667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 ∈ ℝ⁺ → 𝑓 ∈ ℝ)
66	65	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) → 𝑓 ∈ ℝ)
67	66	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑓 ∈ ℝ)
68	64, 67	ifcld 4502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ)
69		simp3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))
70		min1 12852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑒)
71	64, 67, 70	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑒)
72	61, 68, 64, 69, 71	ltletrd 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒)
73	52, 53, 49, 54, 72	syl211anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒)
74	50, 73	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒))
75		rsp 3129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)))
76	48, 49, 74, 75	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)
77	47, 76	syld3an1 1408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)
78		simp1l 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → 𝜑)
79	78, 42	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺))
80		simp2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺))
81		simp3r 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
82	79, 80, 81	jca31 514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
83		simp1r 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
84		simp2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
85		simp3l 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧 ≠ 𝐷)
86		simplll 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → 𝜑)
87	86	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
88		simp1lr 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺))
89		simp3r 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))
90		min2 12853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑓)
91	64, 67, 90	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑓)
92	61, 68, 67, 69, 91	ltletrd 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓)
93	87, 88, 84, 89, 92	syl211anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓)
94	85, 93	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓))
95		rsp 3129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
96	83, 84, 94, 95	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)
97	82, 96	syl3an1 1161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)
98	77, 97	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
99	98	3exp 1117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
100	40, 99	ralrimi 3139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
101		brimralrspcev 5131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
102	34, 100, 101	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
103	102	3exp 1117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → ((𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) → ((∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))))
104	103	rexlimdvv 3221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → (∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
105	32, 104	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
106	105	adantlr 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
107	106	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
108		nfv 1918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺)
109		nfra1 3142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
110	108, 109	nfan 1903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
111		simp1l 1195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) → 𝜑)
112	111	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → 𝜑)
113	112	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → 𝜑)
114		simp2 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
115		mullimcf.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
116		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
117		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧))
118	116, 117	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
119		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
120	13	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
121	25	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
122	120, 121	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
123	115, 118, 119, 122	fvmptd3 6880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
124	123	fvoveq1d 7277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) = (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))))
125	113, 114, 124	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) = (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))))
126	120, 121	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ))
127	113, 114, 126	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ))
128		simpll3 1212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
129	128	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
130		rsp 3129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
131	130	3imp 1109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
132	131	3adant1l 1174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
133		fvoveq1 7278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → (abs‘(𝑐 − 𝐵)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)))
134	133	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → ((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
135	134	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) ↔ ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏)))
136		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → (𝑐 · 𝑑) = ((𝐹‘𝑧) · 𝑑))
137	136	fvoveq1d 7277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) = (abs‘(((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))))
138	137	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → ((abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
139	135, 138	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → ((((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) ↔ (((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
140		fvoveq1 7278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → (abs‘(𝑑 − 𝐶)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)))
141	140	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → ((abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
142	141	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → (((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) ↔ ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
143		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → ((𝐹‘𝑧) · 𝑑) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
144	143	fvoveq1d 7277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → (abs‘(((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) = (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))))
145	144	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → ((abs‘(((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
146	142, 145	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → ((((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) ↔ (((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
147	139, 146	rspc2v 3562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ) → (∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) → (((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
148	127, 129, 132, 147	syl3c 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)
149	125, 148	eqbrtrd 5092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)
150	149	3exp 1117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
151	110, 150	ralrimi 3139	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
152	151	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
153	152	reximdva 3202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) → (∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
154	107, 153	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
155	154	3exp 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → ((𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))))
156	155	rexlimdvv 3221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
157	12, 156	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
158	157	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
159	13	ffvelrnda 6943	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
160	25	ffvelrnda 6943	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
161	159, 160	mulcld 10926	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
162	161, 115	fmptd 6970	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶ℂ)
163	162, 18, 19	ellimc3 24948	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) ∈ (𝐻 lim_ℂ 𝐷) ↔ ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))))
164	7, 158, 163	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ (𝐻 lim_ℂ 𝐷))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1085 = wceq 1539 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2942 ∀wral 3063 ∃wrex 3064 ⊆ wss 3883 ifcif 4456 class class class wbr 5070 ↦ cmpt 5153 dom cdm 5580 ⟶wf 6414 ‘cfv 6418 (class class class)co 7255 ℂcc 10800 ℝcr 10801 · cmul 10807 < clt 10940 ≤ cle 10941 − cmin 11135 ℝ⁺crp 12659 abscabs 14873 lim_ℂ climc 24931

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-rep 5205 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879 ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rmo 3071 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-int 4877 df-iun 4923 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-om 7688 df-1st 7804 df-2nd 7805 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-1o 8267 df-er 8456 df-map 8575 df-pm 8576 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-fin 8695 df-fi 9100 df-sup 9131 df-inf 9132 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-div 11563 df-nn 11904 df-2 11966 df-3 11967 df-4 11968 df-5 11969 df-6 11970 df-7 11971 df-8 11972 df-9 11973 df-n0 12164 df-z 12250 df-dec 12367 df-uz 12512 df-q 12618 df-rp 12660 df-xneg 12777 df-xadd 12778 df-xmul 12779 df-fz 13169 df-seq 13650 df-exp 13711 df-cj 14738 df-re 14739 df-im 14740 df-sqrt 14874 df-abs 14875 df-struct 16776 df-slot 16811 df-ndx 16823 df-base 16841 df-plusg 16901 df-mulr 16902 df-starv 16903 df-tset 16907 df-ple 16908 df-ds 16910 df-unif 16911 df-rest 17050 df-topn 17051 df-topgen 17071 df-psmet 20502 df-xmet 20503 df-met 20504 df-bl 20505 df-mopn 20506 df-cnfld 20511 df-top 21951 df-topon 21968 df-topsp 21990 df-bases 22004 df-cnp 22287 df-xms 23381 df-ms 23382 df-limc 24935

This theorem is referenced by: fourierdlem101 43638 fourierdlem111 43648

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