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Theorem mullimcf 42252
Description: Limit of the multiplication of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mullimcf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
mullimcf.g (𝜑𝐺:𝐴⟶ℂ)
mullimcf.h 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
mullimcf.b (𝜑𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
mullimcf.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
Assertion
Ref Expression
mullimcf (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem mullimcf
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑒 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 24481 . . . 4 (𝐹 lim 𝐷) ⊆ ℂ
2 mullimcf.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐷))
31, 2sseldi 3916 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 limccl 24481 . . . 4 (𝐺 lim 𝐷) ⊆ ℂ
5 mullimcf.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷))
64, 5sseldi 3916 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
73, 6mulcld 10654 . 2 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
8 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
93adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
106adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
11 mulcn2 14947 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
128, 9, 10, 11syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
13 mullimcf.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
1413fdmd 6501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
15 limcrcl 24480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
162, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
1716simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
1814, 17eqsstrrd 3957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1916simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2013, 18, 19ellimc3 24485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))))
212, 20mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)))
2221simprd 499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
2322r19.21bi 3176 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
2423adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
25 mullimcf.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℂ)
2625, 18, 19ellimc3 24485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 lim 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
275, 26mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
2827simprd 499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
2928r19.21bi 3176 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
3029adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
31 reeanv 3323 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ↔ (∃𝑒 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
3224, 30, 31sylanbrc 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
33 ifcl 4472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+)
34333ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+)
35 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+))
36 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)
37 nfra1 3186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)
38 nfra1 3186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)
3937, 38nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧(∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
4035, 36, 39nf3an 1902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
41 simp11l 1281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
42 simp1rl 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℝ+)
43423ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑎 ∈ ℝ+)
4441, 43jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝜑𝑎 ∈ ℝ+))
45 simp12 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
46 simp13l 1285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
4744, 45, 46jca31 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)))
48 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
49 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐴)
50 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐷)
51 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) → 𝜑)
52513ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
53 simp1lr 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
54 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))
55 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝜑)
56 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑧𝐴)
5718sselda 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
5855, 56, 57syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑧 ∈ ℂ)
5955, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝐷 ∈ ℂ)
6058, 59subcld 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (𝑧𝐷) ∈ ℂ)
6160abscld 14791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) ∈ ℝ)
62 rpre 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ)
6362ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ)
64633ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑒 ∈ ℝ)
65 rpre 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ)
6665ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) → 𝑓 ∈ ℝ)
67663ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑓 ∈ ℝ)
6864, 67ifcld 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ)
69 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))
70 min1 12574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑒)
7164, 67, 70syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑒)
7261, 68, 64, 69, 71ltletrd 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒)
7352, 53, 49, 54, 72syl211anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒)
7450, 73jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒))
75 rsp 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)))
7648, 49, 74, 75syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)
7747, 76syld3an1 1407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎)
78 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → 𝜑)
7978, 42jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (𝜑𝑎 ∈ ℝ+))
80 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
81 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
8279, 80, 81jca31 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
83 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
84 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐴)
85 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧𝐷)
86 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → 𝜑)
87863ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
88 simp1lr 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+))
89 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))
90 min2 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑓)
9164, 67, 90syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑓)
9261, 68, 67, 69, 91ltletrd 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓)
9387, 88, 84, 89, 92syl211anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓)
9485, 93jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓))
95 rsp 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
9683, 84, 94, 95syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)
9782, 96syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)
9877, 97jca 515 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
99983exp 1116 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
10040, 99ralrimi 3183 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
101 brimralrspcev 5094 . . . . . . . . . . . . 13 ((if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < if(𝑒𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
10234, 100, 101syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
1031023exp 1116 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ((𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+) → ((∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))))
104103rexlimdvv 3255 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (∃𝑒 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
10532, 104mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
106105adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
1071063adant3 1129 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
108 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 𝑧(((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
109 nfra1 3186 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
110108, 109nfan 1900 . . . . . . . . . 10 𝑧((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
111 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) → 𝜑)
112111ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → 𝜑)
1131123ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → 𝜑)
114 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → 𝑧𝐴)
115 mullimcf.h . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐻 = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
116 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
117 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑧))
118116, 117oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
119 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
12013ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
12125ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
122120, 121mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
123115, 118, 119, 122fvmptd3 6772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐻𝑧) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
124123fvoveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))))
125113, 114, 124syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))))
126120, 121jca 515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ))
127113, 114, 126syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ))
128 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
1291283ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
130 rsp 3173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))))
1311303imp 1108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
1321313adant1l 1173 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
133 fvoveq1 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (abs‘(𝑐𝐵)) = (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)))
134133breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (𝐹𝑧) → ((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎))
135134anbi1d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) ↔ ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏)))
136 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (𝑐 · 𝑑) = ((𝐹𝑧) · 𝑑))
137136fvoveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (𝐹𝑧) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))))
138137breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = (𝐹𝑧) → ((abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
139135, 138imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = (𝐹𝑧) → ((((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) ↔ (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
140 fvoveq1 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (abs‘(𝑑𝐶)) = (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)))
141140breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏 ↔ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))
142141anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) ↔ ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)))
143 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((𝐹𝑧) · 𝑑) = ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))
144143fvoveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝐺𝑧) → (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) = (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))))
145144breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
146142, 145imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (𝐺𝑧) → ((((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) ↔ (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
147139, 146rspc2v 3584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ) → (∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) → (((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
148127, 129, 132, 147syl3c 66 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘(((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)
149125, 148eqbrtrd 5055 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)
1501493exp 1116 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
151110, 150ralrimi 3183 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏))) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
152151ex 416 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
153152reximdva 3236 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺𝑧) − 𝐶)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
154107, 153mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
1551543exp 1116 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))))
156155rexlimdvv 3255 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐𝐵)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑𝐶)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤)))
15712, 156mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
158157ralrimiva 3152 . 2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))
15913ffvelrnda 6832 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
16025ffvelrnda 6832 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
161159, 160mulcld 10654 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
162161, 115fmptd 6859 . . 3 (𝜑𝐻:𝐴⟶ℂ)
163162, 18, 19ellimc3 24485 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐷) ↔ ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐵 · 𝐶))) < 𝑤))))
1647, 158, 163mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  wss 3884  ifcif 4428   class class class wbr 5033  cmpt 5113  dom cdm 5523  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  +crp 12381  abscabs 14588   lim climc 24468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-fz 12890  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-rest 16691  df-topn 16692  df-topgen 16712  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cnp 21836  df-xms 22930  df-ms 22931  df-limc 24472
This theorem is referenced by:  fourierdlem101  42836  fourierdlem111  42846
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