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Theorem mullimcf 44911
Description: Limit of the multiplication of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mullimcf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
mullimcf.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚)
mullimcf.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))
mullimcf.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷))
mullimcf.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷))
Assertion
Ref Expression
mullimcf (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· 𝐢) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐷))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐻(π‘₯)

Proof of Theorem mullimcf
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑒 𝑓 𝑦 𝑧 𝑀 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 25759 . . . 4 (𝐹 limβ„‚ 𝐷) βŠ† β„‚
2 mullimcf.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷))
31, 2sselid 3975 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4 limccl 25759 . . . 4 (𝐺 limβ„‚ 𝐷) βŠ† β„‚
5 mullimcf.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷))
64, 5sselid 3975 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
73, 6mulcld 11238 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· 𝐢) ∈ β„‚)
8 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
93adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
106adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
11 mulcn2 15546 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀))
128, 9, 10, 11syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀))
13 mullimcf.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1413fdmd 6722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
15 limcrcl 25758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐡 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚))
162, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚))
1716simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† β„‚)
1814, 17eqsstrrd 4016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
1916simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
2013, 18, 19ellimc3 25763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐷) ↔ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž))))
212, 20mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)))
2221simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž))
2322r19.21bi 3242 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž))
2423adantrr 714 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž))
25 mullimcf.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„‚)
2625, 18, 19ellimc3 25763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐺 limβ„‚ 𝐷) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))))
275, 26mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)))
2827simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))
2928r19.21bi 3242 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))
3029adantrl 713 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))
31 reeanv 3220 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)) ↔ (βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)))
3224, 30, 31sylanbrc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)))
33 ifcl 4568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+)
34333ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) β†’ if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+)
35 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑧(πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+))
36 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑧(𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)
37 nfra1 3275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘§βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)
38 nfra1 3275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘§βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)
3937, 38nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑧(βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))
4035, 36, 39nf3an 1896 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑧((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)))
41 simp11l 1281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ πœ‘)
42 simp1rl 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
43423ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
4441, 43jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+))
45 simp12 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+))
46 simp13l 1285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž))
4744, 45, 46jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)))
48 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž))
49 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
50 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ 𝑧 β‰  𝐷)
51 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)) β†’ πœ‘)
52513ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ πœ‘)
53 simp1lr 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+))
54 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))
55 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ πœ‘)
56 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
5718sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
5855, 56, 57syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
5955, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
6058, 59subcld 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐷) ∈ β„‚)
6160abscld 15389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) ∈ ℝ)
62 rpre 12988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
6362ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
64633ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
65 rpre 12988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 ∈ ℝ+ β†’ 𝑓 ∈ ℝ)
6665ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑓 ∈ ℝ)
67663ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ 𝑓 ∈ ℝ)
6864, 67ifcld 4569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ)
69 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))
70 min1 13174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) β†’ if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≀ 𝑒)
7164, 67, 70syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≀ 𝑒)
7261, 68, 64, 69, 71ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒)
7352, 53, 49, 54, 72syl211anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒)
7450, 73jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒))
75 rsp 3238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)))
7648, 49, 74, 75syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)
7747, 76syld3an1 1407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž)
78 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) β†’ πœ‘)
7978, 42jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) β†’ (πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+))
80 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+))
81 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))
8279, 80, 81jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)))
83 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))
84 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
85 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ 𝑧 β‰  𝐷)
86 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)) β†’ πœ‘)
87863ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ πœ‘)
88 simp1lr 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+))
89 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))
90 min2 13175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) β†’ if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≀ 𝑓)
9164, 67, 90syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≀ 𝑓)
9261, 68, 67, 69, 91ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓)
9387, 88, 84, 89, 92syl211anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓)
9485, 93jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓))
95 rsp 3238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)))
9683, 84, 94, 95syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)
9782, 96syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)
9877, 97jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))
99983exp 1116 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))))
10040, 99ralrimi 3248 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)))
101 brimralrspcev 5202 . . . . . . . . . . . . 13 ((if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < if(𝑒 ≀ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)))
10234, 100, 101syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)))
1031023exp 1116 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) β†’ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)))))
104103rexlimdvv 3204 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))))
10532, 104mpd 15 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)))
106105adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)))
1071063adant3 1129 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)))
108 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑧(((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)
109 nfra1 3275 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘§βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))
110108, 109nfan 1894 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑧((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)))
111 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) β†’ πœ‘)
112111ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) β†’ πœ‘)
1131123ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦)) β†’ πœ‘)
114 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
115 mullimcf.h . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))
116 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§))
117 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘§))
118116, 117oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
119 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
12013ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
12125ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
122120, 121mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
123115, 118, 119, 122fvmptd3 7015 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
124123fvoveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))))
125113, 114, 124syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))))
126120, 121jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚))
127113, 114, 126syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚))
128 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀))
1291283ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦)) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀))
130 rsp 3238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)) β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))))
1311303imp 1108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))
1321313adant1l 1173 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))
133 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)))
134133breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž))
135134anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)))
136 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (𝑐 Β· 𝑑) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· 𝑑))
137136fvoveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))))
138137breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀 ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀))
139135, 138imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀) ↔ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)))
140 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) = (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)))
141140breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏 ↔ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))
142141anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)))
143 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· 𝑑) = ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
144143fvoveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))))
145144breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀 ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀))
146142, 145imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (πΊβ€˜π‘§) β†’ ((((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀) ↔ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)))
147139, 146rspc2v 3617 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀) β†’ (((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)))
148127, 129, 132, 147syl3c 66 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)
149125, 148eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)
1501493exp 1116 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)))
151110, 150ralrimi 3248 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀))
152151ex 412 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)))
153152reximdva 3162 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑏)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)))
154107, 153mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀))
1551543exp 1116 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀))))
156155rexlimdvv 3204 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘‘ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝐡)) < π‘Ž ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝐢)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 Β· 𝑑) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀)))
15712, 156mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀))
158157ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀))
15913ffvelcdmda 7080 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
16025ffvelcdmda 7080 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
161159, 160mulcld 11238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
162161, 115fmptd 7109 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:π΄βŸΆβ„‚)
163162, 18, 19ellimc3 25763 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Β· 𝐢) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐷) ↔ ((𝐡 Β· 𝐢) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐷 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐷)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (𝐡 Β· 𝐢))) < 𝑀))))
1647, 158, 163mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· 𝐢) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„+crp 12980  abscabs 15187   limβ„‚ climc 25746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-rest 17377  df-topn 17378  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cnp 23087  df-xms 24181  df-ms 24182  df-limc 25750
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