Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcco 24607
 Description: Composition of two limits. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcco.r ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅𝐶)) → 𝑅𝐵)
limcco.s ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
limcco.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝑋))
limcco.d (𝜑𝐷 ∈ ((𝑦𝐵𝑆) lim 𝐶))
limcco.1 (𝑦 = 𝑅𝑆 = 𝑇)
limcco.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅 = 𝐶)) → 𝑇 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
limcco (𝜑𝐷 ∈ ((𝑥𝐴𝑇) lim 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆   𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem limcco
StepHypRef Expression
1 limcco.r . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅𝐶)) → 𝑅𝐵)
21expr 460 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑅𝐶𝑅𝐵))
32necon1bd 2970 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (¬ 𝑅𝐵𝑅 = 𝐶))
4 limccl 24589 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝑋) ⊆ ℂ
5 limcco.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝑋))
64, 5sseldi 3893 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
76adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 elsn2g 4564 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℂ → (𝑅 ∈ {𝐶} ↔ 𝑅 = 𝐶))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑅 ∈ {𝐶} ↔ 𝑅 = 𝐶))
103, 9sylibrd 262 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (¬ 𝑅𝐵𝑅 ∈ {𝐶}))
1110orrd 860 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑅𝐵𝑅 ∈ {𝐶}))
12 elun 4057 . . . . 5 (𝑅 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↔ (𝑅𝐵𝑅 ∈ {𝐶}))
1311, 12sylibr 237 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}))
1413fmpttd 6877 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶(𝐵 ∪ {𝐶}))
15 eqid 2759 . . . . . 6 (𝑦𝐵𝑆) = (𝑦𝐵𝑆)
16 limcco.s . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
1715, 16dmmptd 6482 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑦𝐵𝑆) = 𝐵)
18 limcco.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ((𝑦𝐵𝑆) lim 𝐶))
19 limcrcl 24588 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ((𝑦𝐵𝑆) lim 𝐶) → ((𝑦𝐵𝑆):dom (𝑦𝐵𝑆)⟶ℂ ∧ dom (𝑦𝐵𝑆) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆):dom (𝑦𝐵𝑆)⟶ℂ ∧ dom (𝑦𝐵𝑆) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2120simp2d 1141 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑦𝐵𝑆) ⊆ ℂ)
2217, 21eqsstrrd 3934 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
236snssd 4703 . . . 4 (𝜑 → {𝐶} ⊆ ℂ)
2422, 23unssd 4094 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∪ {𝐶}) ⊆ ℂ)
25 eqid 2759 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
26 eqid 2759 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐵 ∪ {𝐶})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐵 ∪ {𝐶}))
2722, 6, 16, 26, 25limcmpt 24597 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝑦𝐵𝑆) lim 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐵 ∪ {𝐶})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶)))
2818, 27mpbid 235 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐵 ∪ {𝐶})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶))
2914, 24, 25, 26, 5, 28limccnp 24605 . 2 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆))‘𝐶) ∈ (((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) lim 𝑋))
30 eqid 2759 . . 3 (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆))
31 iftrue 4430 . . 3 (𝑦 = 𝐶 → if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆) = 𝐷)
32 ssun2 4081 . . . 4 {𝐶} ⊆ (𝐵 ∪ {𝐶})
33 snssg 4679 . . . . 5 (𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝑋) → (𝐶 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↔ {𝐶} ⊆ (𝐵 ∪ {𝐶})))
345, 33syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↔ {𝐶} ⊆ (𝐵 ∪ {𝐶})))
3532, 34mpbiri 261 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}))
3630, 31, 35, 18fvmptd3 6788 . 2 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆))‘𝐶) = 𝐷)
37 eqidd 2760 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) = (𝑥𝐴𝑅))
38 eqidd 2760 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)))
39 eqeq1 2763 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑅 → (𝑦 = 𝐶𝑅 = 𝐶))
40 limcco.1 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑅𝑆 = 𝑇)
4139, 40ifbieq2d 4450 . . . . 5 (𝑦 = 𝑅 → if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆) = if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇))
4213, 37, 38, 41fmptco 6889 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) = (𝑥𝐴 ↦ if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇)))
43 ifid 4464 . . . . . 6 if(𝑅 = 𝐶, 𝑇, 𝑇) = 𝑇
44 limcco.2 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅 = 𝐶)) → 𝑇 = 𝐷)
4544anassrs 471 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑅 = 𝐶) → 𝑇 = 𝐷)
4645ifeq1da 4455 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑅 = 𝐶, 𝑇, 𝑇) = if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇))
4743, 46syl5reqr 2809 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇) = 𝑇)
4847mpteq2dva 5132 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇)) = (𝑥𝐴𝑇))
4942, 48eqtrd 2794 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) = (𝑥𝐴𝑇))
5049oveq1d 7172 . 2 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) lim 𝑋) = ((𝑥𝐴𝑇) lim 𝑋))
5129, 36, 503eltr3d 2867 1 (𝜑𝐷 ∈ ((𝑥𝐴𝑇) lim 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952   ∪ cun 3859   ⊆ wss 3861  ifcif 4424  {csn 4526   ↦ cmpt 5117  dom cdm 5529   ∘ ccom 5533  ⟶wf 6337  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  ℂcc 10587   ↾t crest 16767  TopOpenctopn 16768  ℂfldccnfld 20181   CnP ccnp 21940   limℂ climc 24576 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666  ax-pre-sup 10667 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-er 8306  df-map 8425  df-pm 8426  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-fi 8922  df-sup 8953  df-inf 8954  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-div 11350  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-7 11756  df-8 11757  df-9 11758  df-n0 11949  df-z 12035  df-dec 12152  df-uz 12297  df-q 12403  df-rp 12445  df-xneg 12562  df-xadd 12563  df-xmul 12564  df-fz 12954  df-seq 13433  df-exp 13494  df-cj 14520  df-re 14521  df-im 14522  df-sqrt 14656  df-abs 14657  df-struct 16558  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-plusg 16651  df-mulr 16652  df-starv 16653  df-tset 16657  df-ple 16658  df-ds 16660  df-unif 16661  df-rest 16769  df-topn 16770  df-topgen 16790  df-psmet 20173  df-xmet 20174  df-met 20175  df-bl 20176  df-mopn 20177  df-cnfld 20182  df-top 21609  df-topon 21626  df-topsp 21648  df-bases 21661  df-cnp 21943  df-xms 23037  df-ms 23038  df-limc 24580 This theorem is referenced by:  dvcobr  24660  dvcnvlem  24690  lhop2  24729  fourierdlem60  43220  fourierdlem61  43221  fourierdlem62  43222  fourierdlem73  43233  fourierdlem76  43236
 Copyright terms: Public domain W3C validator