MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcco 25928
Description: Composition of two limits. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcco.r ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅𝐶)) → 𝑅𝐵)
limcco.s ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
limcco.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝑋))
limcco.d (𝜑𝐷 ∈ ((𝑦𝐵𝑆) lim 𝐶))
limcco.1 (𝑦 = 𝑅𝑆 = 𝑇)
limcco.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅 = 𝐶)) → 𝑇 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
limcco (𝜑𝐷 ∈ ((𝑥𝐴𝑇) lim 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆   𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem limcco
StepHypRef Expression
1 limcco.r . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅𝐶)) → 𝑅𝐵)
21expr 456 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑅𝐶𝑅𝐵))
32necon1bd 2958 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (¬ 𝑅𝐵𝑅 = 𝐶))
4 limccl 25910 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝑋) ⊆ ℂ
5 limcco.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝑋))
64, 5sselid 3981 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
76adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 elsn2g 4664 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℂ → (𝑅 ∈ {𝐶} ↔ 𝑅 = 𝐶))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑅 ∈ {𝐶} ↔ 𝑅 = 𝐶))
103, 9sylibrd 259 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (¬ 𝑅𝐵𝑅 ∈ {𝐶}))
1110orrd 864 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑅𝐵𝑅 ∈ {𝐶}))
12 elun 4153 . . . . 5 (𝑅 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↔ (𝑅𝐵𝑅 ∈ {𝐶}))
1311, 12sylibr 234 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}))
1413fmpttd 7135 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶(𝐵 ∪ {𝐶}))
15 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑦𝐵𝑆) = (𝑦𝐵𝑆)
16 limcco.s . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
1715, 16dmmptd 6713 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑦𝐵𝑆) = 𝐵)
18 limcco.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ((𝑦𝐵𝑆) lim 𝐶))
19 limcrcl 25909 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ((𝑦𝐵𝑆) lim 𝐶) → ((𝑦𝐵𝑆):dom (𝑦𝐵𝑆)⟶ℂ ∧ dom (𝑦𝐵𝑆) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆):dom (𝑦𝐵𝑆)⟶ℂ ∧ dom (𝑦𝐵𝑆) ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
2120simp2d 1144 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑦𝐵𝑆) ⊆ ℂ)
2217, 21eqsstrrd 4019 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
236snssd 4809 . . . 4 (𝜑 → {𝐶} ⊆ ℂ)
2422, 23unssd 4192 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∪ {𝐶}) ⊆ ℂ)
25 eqid 2737 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
26 eqid 2737 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐵 ∪ {𝐶})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐵 ∪ {𝐶}))
2722, 6, 16, 26, 25limcmpt 25918 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝑦𝐵𝑆) lim 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐵 ∪ {𝐶})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶)))
2818, 27mpbid 232 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐵 ∪ {𝐶})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐶))
2914, 24, 25, 26, 5, 28limccnp 25926 . 2 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆))‘𝐶) ∈ (((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) lim 𝑋))
30 eqid 2737 . . 3 (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆))
31 iftrue 4531 . . 3 (𝑦 = 𝐶 → if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆) = 𝐷)
32 ssun2 4179 . . . 4 {𝐶} ⊆ (𝐵 ∪ {𝐶})
33 snssg 4783 . . . . 5 (𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝑋) → (𝐶 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↔ {𝐶} ⊆ (𝐵 ∪ {𝐶})))
345, 33syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↔ {𝐶} ⊆ (𝐵 ∪ {𝐶})))
3532, 34mpbiri 258 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}))
3630, 31, 35, 18fvmptd3 7039 . 2 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆))‘𝐶) = 𝐷)
37 eqidd 2738 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅) = (𝑥𝐴𝑅))
38 eqidd 2738 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)))
39 eqeq1 2741 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑅 → (𝑦 = 𝐶𝑅 = 𝐶))
40 limcco.1 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑅𝑆 = 𝑇)
4139, 40ifbieq2d 4552 . . . . 5 (𝑦 = 𝑅 → if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆) = if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇))
4213, 37, 38, 41fmptco 7149 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) = (𝑥𝐴 ↦ if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇)))
43 limcco.2 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑅 = 𝐶)) → 𝑇 = 𝐷)
4443anassrs 467 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑅 = 𝐶) → 𝑇 = 𝐷)
4544ifeq1da 4557 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑅 = 𝐶, 𝑇, 𝑇) = if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇))
46 ifid 4566 . . . . . 6 if(𝑅 = 𝐶, 𝑇, 𝑇) = 𝑇
4745, 46eqtr3di 2792 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇) = 𝑇)
4847mpteq2dva 5242 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑅 = 𝐶, 𝐷, 𝑇)) = (𝑥𝐴𝑇))
4942, 48eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) = (𝑥𝐴𝑇))
5049oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵 ∪ {𝐶}) ↦ if(𝑦 = 𝐶, 𝐷, 𝑆)) ∘ (𝑥𝐴𝑅)) lim 𝑋) = ((𝑥𝐴𝑇) lim 𝑋))
5129, 36, 503eltr3d 2855 1 (𝜑𝐷 ∈ ((𝑥𝐴𝑇) lim 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cun 3949  wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626  cmpt 5225  dom cdm 5685  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  fldccnfld 21364   CnP ccnp 23233   lim climc 25897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901
This theorem is referenced by:  dvcobr  25983  dvcobrOLD  25984  dvcnvlem  26014  lhop2  26054  fourierdlem60  46181  fourierdlem61  46182  fourierdlem62  46183  fourierdlem73  46194  fourierdlem76  46197
  Copyright terms: Public domain W3C validator