MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcco 25260
Description: Composition of two limits. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcco.r ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐢)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
limcco.s ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
limcco.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limβ„‚ 𝑋))
limcco.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) limβ„‚ 𝐢))
limcco.1 (𝑦 = 𝑅 β†’ 𝑆 = 𝑇)
limcco.2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 = 𝐢)) β†’ 𝑇 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
limcco (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑇) limβ„‚ 𝑋))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝐷,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   𝑦,𝑅   π‘₯,𝑆   𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑅(π‘₯)   𝑆(𝑦)   𝑇(π‘₯)   𝑋(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem limcco
StepHypRef Expression
1 limcco.r . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 β‰  𝐢)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
21expr 458 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 β‰  𝐢 β†’ 𝑅 ∈ 𝐡))
32necon1bd 2962 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑅 ∈ 𝐡 β†’ 𝑅 = 𝐢))
4 limccl 25242 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limβ„‚ 𝑋) βŠ† β„‚
5 limcco.c . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limβ„‚ 𝑋))
64, 5sselid 3943 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
76adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
8 elsn2g 4625 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ β„‚ β†’ (𝑅 ∈ {𝐢} ↔ 𝑅 = 𝐢))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∈ {𝐢} ↔ 𝑅 = 𝐢))
103, 9sylibrd 259 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑅 ∈ 𝐡 β†’ 𝑅 ∈ {𝐢}))
1110orrd 862 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∈ 𝐡 ∨ 𝑅 ∈ {𝐢}))
12 elun 4109 . . . . 5 (𝑅 ∈ (𝐡 βˆͺ {𝐢}) ↔ (𝑅 ∈ 𝐡 ∨ 𝑅 ∈ {𝐢}))
1311, 12sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ (𝐡 βˆͺ {𝐢}))
1413fmpttd 7064 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):𝐴⟢(𝐡 βˆͺ {𝐢}))
15 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆)
16 limcco.s . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
1715, 16dmmptd 6647 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) = 𝐡)
18 limcco.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) limβ„‚ 𝐢))
19 limcrcl 25241 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) limβ„‚ 𝐢) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆):dom (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) βŠ† β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆):dom (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆)βŸΆβ„‚ ∧ dom (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) βŠ† β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚))
2120simp2d 1144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) βŠ† β„‚)
2217, 21eqsstrrd 3984 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
236snssd 4770 . . . 4 (πœ‘ β†’ {𝐢} βŠ† β„‚)
2422, 23unssd 4147 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ {𝐢}) βŠ† β„‚)
25 eqid 2737 . . 3 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
26 eqid 2737 . . 3 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐡 βˆͺ {𝐢})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐡 βˆͺ {𝐢}))
2722, 6, 16, 26, 25limcmpt 25250 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑆) limβ„‚ 𝐢) ↔ (𝑦 ∈ (𝐡 βˆͺ {𝐢}) ↦ if(𝑦 = 𝐢, 𝐷, 𝑆)) ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐡 βˆͺ {𝐢})) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜πΆ)))
2818, 27mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 βˆͺ {𝐢}) ↦ if(𝑦 = 𝐢, 𝐷, 𝑆)) ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐡 βˆͺ {𝐢})) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜πΆ))
2914, 24, 25, 26, 5, 28limccnp 25258 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ (𝐡 βˆͺ {𝐢}) ↦ if(𝑦 = 𝐢, 𝐷, 𝑆))β€˜πΆ) ∈ (((𝑦 ∈ (𝐡 βˆͺ {𝐢}) ↦ if(𝑦 = 𝐢, 𝐷, 𝑆)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)) limβ„‚ 𝑋))
30 eqid 2737 . . 3 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆͺ {𝐢}) ↦ if(𝑦 = 𝐢, 𝐷, 𝑆)) = (𝑦 ∈ (𝐡 βˆͺ {𝐢}) ↦ if(𝑦 = 𝐢, 𝐷, 𝑆))
31 iftrue 4493 . . 3 (𝑦 = 𝐢 β†’ if(𝑦 = 𝐢, 𝐷, 𝑆) = 𝐷)
32 ssun2 4134 . . . 4 {𝐢} βŠ† (𝐡 βˆͺ {𝐢})
33 snssg 4745 . . . . 5 (𝐢 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limβ„‚ 𝑋) β†’ (𝐢 ∈ (𝐡 βˆͺ {𝐢}) ↔ {𝐢} βŠ† (𝐡 βˆͺ {𝐢})))
345, 33syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐡 βˆͺ {𝐢}) ↔ {𝐢} βŠ† (𝐡 βˆͺ {𝐢})))
3532, 34mpbiri 258 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐡 βˆͺ {𝐢}))
3630, 31, 35, 18fvmptd3 6972 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ (𝐡 βˆͺ {𝐢}) ↦ if(𝑦 = 𝐢, 𝐷, 𝑆))β€˜πΆ) = 𝐷)
37 eqidd 2738 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
38 eqidd 2738 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐡 βˆͺ {𝐢}) ↦ if(𝑦 = 𝐢, 𝐷, 𝑆)) = (𝑦 ∈ (𝐡 βˆͺ {𝐢}) ↦ if(𝑦 = 𝐢, 𝐷, 𝑆)))
39 eqeq1 2741 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑅 β†’ (𝑦 = 𝐢 ↔ 𝑅 = 𝐢))
40 limcco.1 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑅 β†’ 𝑆 = 𝑇)
4139, 40ifbieq2d 4513 . . . . 5 (𝑦 = 𝑅 β†’ if(𝑦 = 𝐢, 𝐷, 𝑆) = if(𝑅 = 𝐢, 𝐷, 𝑇))
4213, 37, 38, 41fmptco 7076 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ (𝐡 βˆͺ {𝐢}) ↦ if(𝑦 = 𝐢, 𝐷, 𝑆)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(𝑅 = 𝐢, 𝐷, 𝑇)))
43 limcco.2 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 = 𝐢)) β†’ 𝑇 = 𝐷)
4443anassrs 469 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 = 𝐢) β†’ 𝑇 = 𝐷)
4544ifeq1da 4518 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(𝑅 = 𝐢, 𝑇, 𝑇) = if(𝑅 = 𝐢, 𝐷, 𝑇))
46 ifid 4527 . . . . . 6 if(𝑅 = 𝐢, 𝑇, 𝑇) = 𝑇
4745, 46eqtr3di 2792 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(𝑅 = 𝐢, 𝐷, 𝑇) = 𝑇)
4847mpteq2dva 5206 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(𝑅 = 𝐢, 𝐷, 𝑇)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑇))
4942, 48eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ (𝐡 βˆͺ {𝐢}) ↦ if(𝑦 = 𝐢, 𝐷, 𝑆)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑇))
5049oveq1d 7373 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑦 ∈ (𝐡 βˆͺ {𝐢}) ↦ if(𝑦 = 𝐢, 𝐷, 𝑆)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)) limβ„‚ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑇) limβ„‚ 𝑋))
5129, 36, 503eltr3d 2852 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑇) limβ„‚ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  ifcif 4487  {csn 4587   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050   β†Ύt crest 17303  TopOpenctopn 17304  β„‚fldccnfld 20799   CnP ccnp 22579   limβ„‚ climc 25229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-fz 13426  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-rest 17305  df-topn 17306  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-cnfld 20800  df-top 22246  df-topon 22263  df-topsp 22285  df-bases 22299  df-cnp 22582  df-xms 23676  df-ms 23677  df-limc 25233
This theorem is referenced by:  dvcobr  25313  dvcnvlem  25343  lhop2  25382  fourierdlem60  44414  fourierdlem61  44415  fourierdlem62  44416  fourierdlem73  44427  fourierdlem76  44430
  Copyright terms: Public domain W3C validator