Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linepmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem linepmap 39380
Description: A line described with a projective map. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
isline2.j = (join‘𝐾)
isline2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
isline2.n 𝑁 = (Lines‘𝐾)
isline2.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
linepmap (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑀‘(𝑃 𝑄)) ∈ 𝑁)

Proof of Theorem linepmap
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simpl2 1189 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝐴)
3 eqid 2725 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 isline2.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4atbase 38893 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
62, 5syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑄𝐴)
83, 4atbase 38893 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
97, 8syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
10 isline2.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
113, 10latjcl 18439 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
121, 6, 9, 11syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
13 eqid 2725 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
14 isline2.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
153, 13, 4, 14pmapval 39362 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑃 𝑄)) = {𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)})
161, 12, 15syl2anc 582 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑀‘(𝑃 𝑄)) = {𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)})
17 eqid 2725 . . 3 {𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)} = {𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)}
18 isline2.n . . . 4 𝑁 = (Lines‘𝐾)
1913, 10, 4, 18islinei 39345 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ {𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)} = {𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)})) → {𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)} ∈ 𝑁)
2017, 19mpanr2 702 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → {𝑟𝐴𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)} ∈ 𝑁)
2116, 20eqeltrd 2825 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑀‘(𝑃 𝑄)) ∈ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  {crab 3418   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17188  lecple 17248  joincjn 18311  Latclat 18431  Atomscatm 38867  Linesclines 39099  pmapcpmap 39102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-lub 18346  df-glb 18347  df-join 18348  df-meet 18349  df-lat 18432  df-ats 38871  df-lines 39106  df-pmap 39109
This theorem is referenced by:  cdleme3h  39840  cdleme7ga  39853
  Copyright terms: Public domain W3C validator