Theorem linepmap 38238

Description: A line described with a projective map. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
isline2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
isline2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
isline2.n	⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
isline2.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
linepmap	⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑀‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ∈ 𝑁)

Proof of Theorem linepmap

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simpl2 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		isline2.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atbase 37751	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7		simpl3 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝐴)
8	3, 4	atbase 37751	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
10		isline2.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11	3, 10	latjcl 18328	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
12	1, 6, 9, 11	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
13		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
14		isline2.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
15	3, 13, 4, 14	pmapval 38220	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)})
16	1, 12, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑀‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)})
17		eqid 2736	. . 3 ⊢ {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)} = {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)}
18		isline2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
19	13, 10, 4, 18	islinei 38203	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)} = {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)})) → {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)} ∈ 𝑁)
20	17, 19	mpanr2 702	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)} ∈ 𝑁)
21	16, 20	eqeltrd 2838	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑀‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ∈ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {crab 3407   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  Latclat 18320  Atomscatm 37725  Linesclines 37957  pmapcpmap 37960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-lat 18321  df-ats 37729  df-lines 37964  df-pmap 37967

This theorem is referenced by:  cdleme3h  38698  cdleme7ga  38711