Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isline3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isline3 35732
Description: Definition of line in terms of original lattice elements. (Contributed by NM, 29-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
isline3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
isline3.j = (join‘𝐾)
isline3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
isline3.n 𝑁 = (Lines‘𝐾)
isline3.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
isline3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐵   𝐴,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   𝑀,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   (𝑞,𝑝)   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem isline3
StepHypRef Expression
1 hllat 35319 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 472 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3 isline3.j . . . 4 = (join‘𝐾)
4 isline3.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 isline3.n . . . 4 𝑁 = (Lines‘𝐾)
6 isline3.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
73, 4, 5, 6isline2 35730 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)))))
82, 7syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)))))
9 simpll 783 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10 simplr 785 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝑋𝐵)
111ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
12 isline3.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
1312, 4atbase 35245 . . . . . . 7 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
1413ad2antrl 719 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝑝𝐵)
1512, 4atbase 35245 . . . . . . 7 (𝑞𝐴𝑞𝐵)
1615ad2antll 720 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝑞𝐵)
1712, 3latjcl 17317 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝𝐵𝑞𝐵) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝐵)
1811, 14, 16, 17syl3anc 1490 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝐵)
1912, 6pmap11 35718 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑝 𝑞) ∈ 𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)) ↔ 𝑋 = (𝑝 𝑞)))
209, 10, 18, 19syl3anc 1490 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → ((𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)) ↔ 𝑋 = (𝑝 𝑞)))
2120anbi2d 622 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → ((𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞))) ↔ (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
22212rexbidva 3203 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞))) ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
238, 22bitrd 270 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16130  joincjn 17210  Latclat 17311  Atomscatm 35219  HLchlt 35306  Linesclines 35450  pmapcpmap 35453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-proset 17194  df-poset 17212  df-plt 17224  df-lub 17240  df-glb 17241  df-join 17242  df-meet 17243  df-p0 17305  df-lat 17312  df-clat 17374  df-oposet 35132  df-ol 35134  df-oml 35135  df-covers 35222  df-ats 35223  df-atl 35254  df-cvlat 35278  df-hlat 35307  df-lines 35457  df-pmap 35460
This theorem is referenced by:  isline4N  35733  lneq2at  35734  lnatexN  35735  lncvrat  35738  lncmp  35739
  Copyright terms: Public domain W3C validator