Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isline3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isline3 38268
Description: Definition of line in terms of original lattice elements. (Contributed by NM, 29-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
isline3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
isline3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
isline3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
isline3.n 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
isline3.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
isline3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑝,𝐡   𝐴,𝑝,π‘ž   𝐾,𝑝,π‘ž   𝑀,𝑝,π‘ž   𝑋,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   ∨ (π‘ž,𝑝)   𝑁(π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem isline3
StepHypRef Expression
1 hllat 37854 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 482 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 isline3.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 isline3.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 isline3.n . . . 4 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
6 isline3.m . . . 4 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
73, 4, 5, 6isline2 38266 . . 3 (𝐾 ∈ Lat β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(𝑝 ∨ π‘ž)))))
82, 7syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(𝑝 ∨ π‘ž)))))
9 simpll 766 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
10 simplr 768 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
111ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
12 isline3.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1312, 4atbase 37780 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
1413ad2antrl 727 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
1512, 4atbase 37780 . . . . . . 7 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
1615ad2antll 728 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
1712, 3latjcl 18335 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝐡)
1811, 14, 16, 17syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝐡)
1912, 6pmap11 38254 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(𝑝 ∨ π‘ž)) ↔ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž)))
209, 10, 18, 19syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(𝑝 ∨ π‘ž)) ↔ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž)))
2120anbi2d 630 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
22212rexbidva 3212 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ (π‘€β€˜π‘‹) = (π‘€β€˜(𝑝 ∨ π‘ž))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
238, 22bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ π‘ž))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  joincjn 18207  Latclat 18327  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  Linesclines 37986  pmapcpmap 37989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-lines 37993  df-pmap 37996
This theorem is referenced by:  isline4N  38269  lneq2at  38270  lnatexN  38271  lncvrat  38274  lncmp  38275
  Copyright terms: Public domain W3C validator