Theorem isline3 41099

Description: Definition of line in terms of original lattice elements. (Contributed by NM, 29-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
isline3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
isline3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
isline3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
isline3.n	⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
isline3.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isline3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐵   𝐴,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   𝑀,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   ∨ (𝑞, 𝑝)   𝑁(𝑞, 𝑝)

Proof of Theorem isline3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40686	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		isline3.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		isline3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		isline3.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
6		isline3.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
7	3, 4, 5, 6	isline2 41097	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)))))
8	2, 7	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)))))
9		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
12		isline3.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13	12, 4	atbase 40612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
14	13	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
15	12, 4	atbase 40612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵)
16	15	ad2antll 742	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
17	12, 3	latjcl 18663	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵)
18	11, 14, 16, 17	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵)
19	12, 6	pmap11 41085	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)) ↔ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞)))
20	9, 10, 18, 19	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)) ↔ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞)))
21	20	anbi2d 642	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
22	21	2rexbidva 3229	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
23	8, 22	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  joincjn 18535  Latclat 18655  Atomscatm 40586  HLchlt 40673  Linesclines 40817  pmapcpmap 40820

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-lat 18656  df-clat 18723  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-lines 40824  df-pmap 40827

This theorem is used by:  isline4N  41100  lneq2at  41101  lnatexN  41102  lncvrat  41105  lncmp  41106