Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isline3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isline3 39779
Description: Definition of line in terms of original lattice elements. (Contributed by NM, 29-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
isline3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
isline3.j = (join‘𝐾)
isline3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
isline3.n 𝑁 = (Lines‘𝐾)
isline3.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
isline3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐵   𝐴,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   𝑀,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   (𝑞,𝑝)   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem isline3
StepHypRef Expression
1 hllat 39365 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3 isline3.j . . . 4 = (join‘𝐾)
4 isline3.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 isline3.n . . . 4 𝑁 = (Lines‘𝐾)
6 isline3.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
73, 4, 5, 6isline2 39777 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)))))
82, 7syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)))))
9 simpll 766 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10 simplr 768 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝑋𝐵)
111ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
12 isline3.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
1312, 4atbase 39291 . . . . . . 7 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
1413ad2antrl 728 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝑝𝐵)
1512, 4atbase 39291 . . . . . . 7 (𝑞𝐴𝑞𝐵)
1615ad2antll 729 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝑞𝐵)
1712, 3latjcl 18485 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝𝐵𝑞𝐵) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝐵)
1811, 14, 16, 17syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝐵)
1912, 6pmap11 39765 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑝 𝑞) ∈ 𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)) ↔ 𝑋 = (𝑝 𝑞)))
209, 10, 18, 19syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → ((𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)) ↔ 𝑋 = (𝑝 𝑞)))
2120anbi2d 630 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → ((𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞))) ↔ (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
22212rexbidva 3219 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞))) ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
238, 22bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wrex 3069  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  joincjn 18358  Latclat 18477  Atomscatm 39265  HLchlt 39352  Linesclines 39497  pmapcpmap 39500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-lines 39504  df-pmap 39507
This theorem is referenced by:  isline4N  39780  lneq2at  39781  lnatexN  39782  lncvrat  39785  lncmp  39786
  Copyright terms: Public domain W3C validator