Theorem isline3 40583

Description: Definition of line in terms of original lattice elements. (Contributed by NM, 29-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
isline3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
isline3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
isline3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
isline3.n	⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
isline3.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isline3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐵   𝐴,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   𝑀,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   ∨ (𝑞, 𝑝)   𝑁(𝑞, 𝑝)

Proof of Theorem isline3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40170	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		isline3.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		isline3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		isline3.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
6		isline3.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
7	3, 4, 5, 6	isline2 40581	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)))))
8	2, 7	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)))))
9		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
12		isline3.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13	12, 4	atbase 40096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
14	13	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
15	12, 4	atbase 40096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵)
16	15	ad2antll 742	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
17	12, 3	latjcl 18512	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵)
18	11, 14, 16, 17	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵)
19	12, 6	pmap11 40569	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)) ↔ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞)))
20	9, 10, 18, 19	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)) ↔ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞)))
21	20	anbi2d 642	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
22	21	2rexbidva 3230	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
23	8, 22	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17286  joincjn 18384  Latclat 18504  Atomscatm 40070  HLchlt 40157  Linesclines 40301  pmapcpmap 40304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18367  df-poset 18386  df-plt 18401  df-lub 18417  df-glb 18418  df-join 18419  df-meet 18420  df-p0 18496  df-lat 18505  df-clat 18572  df-oposet 39983  df-ol 39985  df-oml 39986  df-covers 40073  df-ats 40074  df-atl 40105  df-cvlat 40129  df-hlat 40158  df-lines 40308  df-pmap 40311

This theorem is used by:  isline4N  40584  lneq2at  40585  lnatexN  40586  lncvrat  40589  lncmp  40590