Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hllat 37854 |
. . . 4
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
2 | 1 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅) β πΎ β Lat) |
3 | | isline3.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | isline3.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | | isline3.n |
. . . 4
β’ π = (LinesβπΎ) |
6 | | isline3.m |
. . . 4
β’ π = (pmapβπΎ) |
7 | 3, 4, 5, 6 | isline2 38266 |
. . 3
β’ (πΎ β Lat β ((πβπ) β π β βπ β π΄ βπ β π΄ (π β π β§ (πβπ) = (πβ(π β¨ π))))) |
8 | 2, 7 | syl 17 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅) β ((πβπ) β π β βπ β π΄ βπ β π΄ (π β π β§ (πβπ) = (πβ(π β¨ π))))) |
9 | | simpll 766 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β HL) |
10 | | simplr 768 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΅) |
11 | 1 | ad2antrr 725 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β Lat) |
12 | | isline3.b |
. . . . . . . 8
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
13 | 12, 4 | atbase 37780 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
14 | 13 | ad2antrl 727 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΅) |
15 | 12, 4 | atbase 37780 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
16 | 15 | ad2antll 728 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΅) |
17 | 12, 3 | latjcl 18335 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) β π΅) |
18 | 11, 14, 16, 17 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β π΅) |
19 | 12, 6 | pmap11 38254 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ (π β¨ π) β π΅) β ((πβπ) = (πβ(π β¨ π)) β π = (π β¨ π))) |
20 | 9, 10, 18, 19 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β ((πβπ) = (πβ(π β¨ π)) β π = (π β¨ π))) |
21 | 20 | anbi2d 630 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β π β§ (πβπ) = (πβ(π β¨ π))) β (π β π β§ π = (π β¨ π)))) |
22 | 21 | 2rexbidva 3212 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅) β (βπ β π΄ βπ β π΄ (π β π β§ (πβπ) = (πβ(π β¨ π))) β βπ β π΄ βπ β π΄ (π β π β§ π = (π β¨ π)))) |
23 | 8, 22 | bitrd 279 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅) β ((πβπ) β π β βπ β π΄ βπ β π΄ (π β π β§ π = (π β¨ π)))) |