Theorem isline3 39772

Description: Definition of line in terms of original lattice elements. (Contributed by NM, 29-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
isline3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
isline3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
isline3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
isline3.n	⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
isline3.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isline3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐵   𝐴,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   𝑀,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   ∨ (𝑞,𝑝)   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem isline3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39359	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		isline3.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		isline3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		isline3.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
6		isline3.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
7	3, 4, 5, 6	isline2 39770	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)))))
8	2, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)))))
9		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
12		isline3.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13	12, 4	atbase 39285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
14	13	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
15	12, 4	atbase 39285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ 𝐵)
16	15	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
17	12, 3	latjcl 18332	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵)
18	11, 14, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵)
19	12, 6	pmap11 39758	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)) ↔ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞)))
20	9, 10, 18, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)) ↔ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞)))
21	20	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
22	21	2rexbidva 3192	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑀‘𝑋) = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
23	8, 22	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  Basecbs 17107  joincjn 18204  Latclat 18324  Atomscatm 39259  HLchlt 39346  Linesclines 39490  pmapcpmap 39493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-id 5508  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-proset 18187  df-poset 18206  df-plt 18221  df-lub 18237  df-glb 18238  df-join 18239  df-meet 18240  df-p0 18316  df-lat 18325  df-clat 18392  df-oposet 39172  df-ol 39174  df-oml 39175  df-covers 39262  df-ats 39263  df-atl 39294  df-cvlat 39318  df-hlat 39347  df-lines 39497  df-pmap 39500

This theorem is referenced by:  isline4N  39773  lneq2at  39774  lnatexN  39775  lncvrat  39778  lncmp  39779