Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isline3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isline3 36899
Description: Definition of line in terms of original lattice elements. (Contributed by NM, 29-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
isline3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
isline3.j = (join‘𝐾)
isline3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
isline3.n 𝑁 = (Lines‘𝐾)
isline3.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
isline3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐵   𝐴,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   𝑀,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   (𝑞,𝑝)   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem isline3
StepHypRef Expression
1 hllat 36486 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 483 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3 isline3.j . . . 4 = (join‘𝐾)
4 isline3.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 isline3.n . . . 4 𝑁 = (Lines‘𝐾)
6 isline3.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
73, 4, 5, 6isline2 36897 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)))))
82, 7syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)))))
9 simpll 765 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10 simplr 767 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝑋𝐵)
111ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
12 isline3.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
1312, 4atbase 36412 . . . . . . 7 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
1413ad2antrl 726 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝑝𝐵)
1512, 4atbase 36412 . . . . . . 7 (𝑞𝐴𝑞𝐵)
1615ad2antll 727 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝑞𝐵)
1712, 3latjcl 17653 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝𝐵𝑞𝐵) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝐵)
1811, 14, 16, 17syl3anc 1365 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝐵)
1912, 6pmap11 36885 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑝 𝑞) ∈ 𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)) ↔ 𝑋 = (𝑝 𝑞)))
209, 10, 18, 19syl3anc 1365 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → ((𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)) ↔ 𝑋 = (𝑝 𝑞)))
2120anbi2d 630 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → ((𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞))) ↔ (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
22212rexbidva 3297 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞))) ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
238, 22bitrd 281 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  wrex 3137  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  joincjn 17546  Latclat 17647  Atomscatm 36386  HLchlt 36473  Linesclines 36617  pmapcpmap 36620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36299  df-ol 36301  df-oml 36302  df-covers 36389  df-ats 36390  df-atl 36421  df-cvlat 36445  df-hlat 36474  df-lines 36624  df-pmap 36627
This theorem is referenced by:  isline4N  36900  lneq2at  36901  lnatexN  36902  lncvrat  36905  lncmp  36906
  Copyright terms: Public domain W3C validator