Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isline3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isline3 39759
Description: Definition of line in terms of original lattice elements. (Contributed by NM, 29-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
isline3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
isline3.j = (join‘𝐾)
isline3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
isline3.n 𝑁 = (Lines‘𝐾)
isline3.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
isline3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐵   𝐴,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   𝑀,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   (𝑞,𝑝)   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem isline3
StepHypRef Expression
1 hllat 39345 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3 isline3.j . . . 4 = (join‘𝐾)
4 isline3.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 isline3.n . . . 4 𝑁 = (Lines‘𝐾)
6 isline3.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
73, 4, 5, 6isline2 39757 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)))))
82, 7syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)))))
9 simpll 767 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10 simplr 769 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝑋𝐵)
111ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
12 isline3.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
1312, 4atbase 39271 . . . . . . 7 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
1413ad2antrl 728 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝑝𝐵)
1512, 4atbase 39271 . . . . . . 7 (𝑞𝐴𝑞𝐵)
1615ad2antll 729 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝑞𝐵)
1712, 3latjcl 18497 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝𝐵𝑞𝐵) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝐵)
1811, 14, 16, 17syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝐵)
1912, 6pmap11 39745 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑝 𝑞) ∈ 𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)) ↔ 𝑋 = (𝑝 𝑞)))
209, 10, 18, 19syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → ((𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞)) ↔ 𝑋 = (𝑝 𝑞)))
2120anbi2d 630 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → ((𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞))) ↔ (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
22212rexbidva 3218 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀‘(𝑝 𝑞))) ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
238, 22bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝 𝑞))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  joincjn 18369  Latclat 18489  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  Linesclines 39477  pmapcpmap 39480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-lines 39484  df-pmap 39487
This theorem is referenced by:  isline4N  39760  lneq2at  39761  lnatexN  39762  lncvrat  39765  lncmp  39766
  Copyright terms: Public domain W3C validator