Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme1.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
2 | | cdleme1.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
3 | | cdleme1.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
4 | | cdleme1.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | | cdleme1.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
6 | | cdleme1.u |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
7 | | cdleme1.f |
. . 3
β’ πΉ = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) |
8 | | cdleme3.3 |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π
) β§ π) |
9 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | cdleme3d 38697 |
. 2
β’ πΉ = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) |
10 | | simp1l 1198 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
11 | | simp23l 1295 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π
β π΄) |
12 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
13 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
14 | | simp22l 1293 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
15 | | simp3l 1202 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π) |
16 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | lhpat2 38511 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β π β π΄) |
17 | 12, 13, 14, 15, 16 | syl112anc 1375 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
18 | | eqid 2737 |
. . . . 5
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
19 | 18, 2, 4 | hlatjcl 37832 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
20 | 10, 11, 17, 19 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
21 | | simp3r 1203 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
22 | 11, 21 | jca 513 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) |
23 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | cdleme3e 38698 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
24 | 12, 13, 14, 22, 23 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
25 | 18, 2, 4 | hlatjcl 37832 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
26 | 10, 14, 24, 25 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
27 | 10 | hllatd 37829 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
28 | | simp21l 1291 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
29 | 18, 2, 4 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
30 | 10, 28, 14, 29 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
31 | | simp1r 1199 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π») |
32 | 18, 5 | lhpbase 38464 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
33 | 31, 32 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
34 | 18, 1, 3 | latmle2 18355 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
35 | 27, 30, 33, 34 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
36 | 6, 35 | eqbrtrid 5141 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β€ π) |
37 | | simp23r 1296 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π
β€ π) |
38 | | nbrne2 5126 |
. . . . . 6
β’ ((π β€ π β§ Β¬ π
β€ π) β π β π
) |
39 | 36, 37, 38 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π
) |
40 | 39 | necomd 3000 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π
β π) |
41 | | eqid 2737 |
. . . . 5
β’
(LinesβπΎ) =
(LinesβπΎ) |
42 | | eqid 2737 |
. . . . 5
β’
(pmapβπΎ) =
(pmapβπΎ) |
43 | 2, 4, 41, 42 | linepmap 38241 |
. . . 4
β’ (((πΎ β Lat β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ π
β π) β ((pmapβπΎ)β(π
β¨ π)) β (LinesβπΎ)) |
44 | 27, 11, 17, 40, 43 | syl31anc 1374 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β ((pmapβπΎ)β(π
β¨ π)) β (LinesβπΎ)) |
45 | 18, 2, 4 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
46 | 10, 28, 11, 45 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
47 | 18, 1, 3 | latmle2 18355 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
) β§ π) β€ π) |
48 | 27, 46, 33, 47 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π
) β§ π) β€ π) |
49 | 8, 48 | eqbrtrid 5141 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β€ π) |
50 | | simp22r 1294 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ π) |
51 | | nbrne2 5126 |
. . . . . 6
β’ ((π β€ π β§ Β¬ π β€ π) β π β π) |
52 | 49, 50, 51 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π) |
53 | 52 | necomd 3000 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π) |
54 | 2, 4, 41, 42 | linepmap 38241 |
. . . 4
β’ (((πΎ β Lat β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β ((pmapβπΎ)β(π β¨ π)) β (LinesβπΎ)) |
55 | 27, 14, 24, 53, 54 | syl31anc 1374 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β ((pmapβπΎ)β(π β¨ π)) β (LinesβπΎ)) |
56 | 1, 2, 4 | hlatlej1 37840 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β π
β€ (π
β¨ π)) |
57 | 10, 11, 17, 56 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π
β€ (π
β¨ π)) |
58 | | nbrne2 5126 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β€ π β§ Β¬ π
β€ π) β π β π
) |
59 | 49, 37, 58 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π
) |
60 | 59 | necomd 3000 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π
β π) |
61 | 1, 2, 4 | hlatexch2 37862 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π
β π) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π
β¨ π))) |
62 | 10, 11, 14, 24, 60, 61 | syl131anc 1384 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π
β¨ π))) |
63 | 8 | oveq2i 7369 |
. . . . . . . 8
β’ (π
β¨ π) = (π
β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) |
64 | 1, 2, 4 | hlatlej2 37841 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β π
β€ (π β¨ π
)) |
65 | 10, 28, 11, 64 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π
β€ (π β¨ π
)) |
66 | 18, 1, 3 | latmle1 18354 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
) β§ π) β€ (π β¨ π
)) |
67 | 27, 46, 33, 66 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π
) β§ π) β€ (π β¨ π
)) |
68 | 18, 4 | atbase 37754 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
69 | 11, 68 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π
β (BaseβπΎ)) |
70 | 18, 3 | latmcl 18330 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
71 | 27, 46, 33, 70 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π
) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
72 | 18, 1, 2 | latjle12 18340 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π
) β§ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ))) β ((π
β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π
) β§ π) β€ (π β¨ π
)) β (π
β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) β€ (π β¨ π
))) |
73 | 27, 69, 71, 46, 72 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β€ (π β¨ π
) β§ ((π β¨ π
) β§ π) β€ (π β¨ π
)) β (π
β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) β€ (π β¨ π
))) |
74 | 65, 67, 73 | mpbi2and 711 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) β€ (π β¨ π
)) |
75 | 63, 74 | eqbrtrid 5141 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ π) β€ (π β¨ π
)) |
76 | 18, 4 | atbase 37754 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
77 | 14, 76 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
78 | 18, 2, 4 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
79 | 10, 11, 24, 78 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
80 | 18, 1 | lattr 18334 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ))) β ((π β€ (π
β¨ π) β§ (π
β¨ π) β€ (π β¨ π
)) β π β€ (π β¨ π
))) |
81 | 27, 77, 79, 46, 80 | syl13anc 1373 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β€ (π
β¨ π) β§ (π
β¨ π) β€ (π β¨ π
)) β π β€ (π β¨ π
))) |
82 | 75, 81 | mpan2d 693 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π
β¨ π) β π β€ (π β¨ π
))) |
83 | 15 | necomd 3000 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π) |
84 | 1, 2, 4 | hlatexch1 37861 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β€ (π β¨ π
) β π
β€ (π β¨ π))) |
85 | 10, 14, 11, 28, 83, 84 | syl131anc 1384 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π
) β π
β€ (π β¨ π))) |
86 | 62, 82, 85 | 3syld 60 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β€ (π β¨ π) β π
β€ (π β¨ π))) |
87 | 21, 86 | mtod 197 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
88 | | nbrne1 5125 |
. . . 4
β’ ((π
β€ (π
β¨ π) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π
β¨ π) β (π β¨ π)) |
89 | 57, 87, 88 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ π) β (π β¨ π)) |
90 | 14, 15 | jca 513 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ π β π)) |
91 | | simp23 1209 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
92 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
93 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 92 | cdleme3c 38696 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β πΉ β (0.βπΎ)) |
94 | 12, 13, 90, 91, 93 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β πΉ β (0.βπΎ)) |
95 | 9, 94 | eqnetrrid 3020 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (0.βπΎ)) |
96 | 18, 3, 92, 4, 41, 42 | 2lnat 38250 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β§ (((pmapβπΎ)β(π
β¨ π)) β (LinesβπΎ) β§ ((pmapβπΎ)β(π β¨ π)) β (LinesβπΎ)) β§ ((π
β¨ π) β (π β¨ π) β§ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β (0.βπΎ))) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β π΄) |
97 | 10, 20, 26, 44, 55, 89, 95, 96 | syl322anc 1399 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ π)) β π΄) |
98 | 9, 97 | eqeltrid 2842 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β πΉ β π΄) |