Theorem isline2 40433

Description: Definition of line in terms of projective map. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
isline2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
isline2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
isline2.n	⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
isline2.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isline2	⊢ (𝐾 ∈ Lat → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐾,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   ∨ (𝑞,𝑝)   𝑀(𝑞,𝑝)   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem isline2

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		isline2.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		isline2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		isline2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	isline 40398	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞)})))
6		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
7		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8	7, 3	atbase 39948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
9	8	ad2antrl 740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
10	7, 3	atbase 39948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
11	10	ad2antll 741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
12	7, 2	latjcl 18491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
13	6, 9, 11, 12	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
14		isline2.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
15	7, 1, 3, 14	pmapval 40416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)) = {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞)})
16	13, 15	syldan 602	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)) = {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞)})
17	16	eqeq2d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑋 = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)) ↔ 𝑋 = {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞)}))
18	17	anbi2d 641	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞)})))
19	18	2rexbidva 3234	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞)})))
20	5, 19	bitr4d 285	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  {crab 3423   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  lecple 17313  joincjn 18363  Latclat 18483  Atomscatm 39922  Linesclines 40153  pmapcpmap 40156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-lub 18396  df-glb 18397  df-join 18398  df-meet 18399  df-lat 18484  df-ats 39926  df-lines 40160  df-pmap 40163

This theorem is referenced by:  isline3  40435  lncvrelatN  40440  linepsubclN  40610