Theorem isline2 39731

Description: Definition of line in terms of projective map. (Contributed by NM, 25-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
isline2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
isline2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
isline2.n	⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
isline2.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isline2	⊢ (𝐾 ∈ Lat → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐾,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   ∨ (𝑞,𝑝)   𝑀(𝑞,𝑝)   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem isline2

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		isline2.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		isline2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		isline2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	isline 39696	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞)})))
6		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
7		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8	7, 3	atbase 39245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
9	8	ad2antrl 727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
10	7, 3	atbase 39245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐴 → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
11	10	ad2antll 728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
12	7, 2	latjcl 18509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
13	6, 9, 11, 12	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
14		isline2.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
15	7, 1, 3, 14	pmapval 39714	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)) = {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞)})
16	13, 15	syldan 590	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)) = {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞)})
17	16	eqeq2d 2751	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑋 = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)) ↔ 𝑋 = {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞)}))
18	17	anbi2d 629	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞)})))
19	18	2rexbidva 3226	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = {𝑟 ∈ 𝐴 ∣ 𝑟(le‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞)})))
20	5, 19	bitr4d 282	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑀‘(𝑝 ∨ 𝑞)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  {crab 3443   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  lecple 17318  joincjn 18381  Latclat 18501  Atomscatm 39219  Linesclines 39451  pmapcpmap 39454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-lat 18502  df-ats 39223  df-lines 39458  df-pmap 39461

This theorem is referenced by:  isline3  39733  lncvrelatN  39738  linepsubclN  39908