Theorem gsumvsmul1 33133

Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. This theorem properly generalizes gsummulc1 20292, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumvsmul1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsumvsmul1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
gsumvsmul1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
gsumvsmul1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
gsumvsmul1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
gsumvsmul1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LMod)
gsumvsmul1.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
gsumvsmul1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumvsmul1.x	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumvsmul1.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐾)
gsumvsmul1.n	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumvsmul1	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))

Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐾   𝑅,𝑘   𝑘,𝑌   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumvsmul1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumvsmul1.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
2		gsumvsmul1.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
3		gsumvsmul1.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
4		gsumvsmul1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LMod)
5		lmodcmn 20902	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 19769	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
7	4, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
8		gsumvsmul1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumvsmul1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		gsumvsmul1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		gsumvsmul1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
12		gsumvsmul1.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
13	10, 11, 12, 1	lmodvslmhm 33132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
14	4, 9, 13	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
15		ghmmhm 19198	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 MndHom 𝑅))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 MndHom 𝑅))
17		gsumvsmul1.y	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐾)
18		gsumvsmul1.n	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
19		oveq1 7371	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
20		oveq1 7371	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑥 · 𝑌) = ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
21	1, 2, 3, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20	gsummhm2 19911	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364   finSupp cfsupp 9271  Basecbs 17176  Scalarcsca 17220   ·_𝑠 cvsca 17221  0_gc0g 17399   Σ_g cgsu 17400  Mndcmnd 18699   MndHom cmhm 18746   GrpHom cghm 19184  CMndccmn 19752  LModclmod 20852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-oi 9422  df-card 9860  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-2 12241  df-n0 12435  df-z 12522  df-uz 12786  df-fz 13459  df-fzo 13606  df-seq 13961  df-hash 14290  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-plusg 17230  df-0g 17401  df-gsum 17402  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18748  df-grp 18909  df-minusg 18910  df-ghm 19185  df-cntz 19289  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20119  df-ur 20160  df-ring 20213  df-lmod 20854

This theorem is referenced by: (None)