Theorem gsumvsmul1 33069

Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. This theorem properly generalizes gsummulc1 20339, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumvsmul1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsumvsmul1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
gsumvsmul1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
gsumvsmul1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
gsumvsmul1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
gsumvsmul1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LMod)
gsumvsmul1.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
gsumvsmul1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumvsmul1.x	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumvsmul1.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐾)
gsumvsmul1.n	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumvsmul1	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))

Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐾   𝑅,𝑘   𝑘,𝑌   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumvsmul1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumvsmul1.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
2		gsumvsmul1.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
3		gsumvsmul1.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
4		gsumvsmul1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LMod)
5		lmodcmn 20934	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 19839	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
7	4, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
8		gsumvsmul1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumvsmul1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		gsumvsmul1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		gsumvsmul1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
12		gsumvsmul1.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
13	10, 11, 12, 1	lmodvslmhm 33068	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
14	4, 9, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
15		ghmmhm 19266	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 MndHom 𝑅))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 MndHom 𝑅))
17		gsumvsmul1.y	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐾)
18		gsumvsmul1.n	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
19		oveq1 7445	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
20		oveq1 7445	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑥 · 𝑌) = ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
21	1, 2, 3, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20	gsummhm2 19981	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5151   ↦ cmpt 5234  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438   finSupp cfsupp 9408  Basecbs 17254  Scalarcsca 17310   ·_𝑠 cvsca 17311  0_gc0g 17495   Σ_g cgsu 17496  Mndcmnd 18769   MndHom cmhm 18816   GrpHom cghm 19252  CMndccmn 19822  LModclmod 20884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-se 5646  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-isom 6578  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8194  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-er 8753  df-map 8876  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-fsupp 9409  df-oi 9557  df-card 9986  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-fz 13554  df-fzo 13701  df-seq 14049  df-hash 14376  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-plusg 17320  df-0g 17497  df-gsum 17498  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-mhm 18818  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20886

This theorem is referenced by: (None)