Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumvsmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumvsmul1 32808
Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. This theorem properly generalizes gsummulc1 20254, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsmul1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
gsumvsmul1.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘…)
gsumvsmul1.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
gsumvsmul1.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
gsumvsmul1.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
gsumvsmul1.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ LMod)
gsumvsmul1.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CMnd)
gsumvsmul1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumvsmul1.x (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
gsumvsmul1.y ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
gsumvsmul1.n (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumvsmul1 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 Β· π‘Œ))) = ((𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) Β· π‘Œ))
Distinct variable groups:   Β· ,π‘˜   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐾   𝑅,π‘˜   π‘˜,π‘Œ   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝑆(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   𝑋(π‘˜)   0 (π‘˜)

Proof of Theorem gsumvsmul1
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsmul1.k . 2 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
2 gsumvsmul1.z . 2 0 = (0gβ€˜π‘†)
3 gsumvsmul1.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CMnd)
4 gsumvsmul1.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ LMod)
5 lmodcmn 20795 . . 3 (𝑅 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
6 cmnmnd 19754 . . 3 (𝑅 ∈ CMnd β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
74, 5, 63syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
8 gsumvsmul1.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
9 gsumvsmul1.x . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
10 gsumvsmul1.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
11 gsumvsmul1.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘…)
12 gsumvsmul1.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
1310, 11, 12, 1lmodvslmhm 32807 . . . 4 ((𝑅 ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ)) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
144, 9, 13syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ)) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
15 ghmmhm 19182 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ)) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ)) ∈ (𝑆 MndHom 𝑅))
1614, 15syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ Β· π‘Œ)) ∈ (𝑆 MndHom 𝑅))
17 gsumvsmul1.y . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
18 gsumvsmul1.n . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
19 oveq1 7422 . 2 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ Β· π‘Œ) = (𝑋 Β· π‘Œ))
20 oveq1 7422 . 2 (π‘₯ = (𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) β†’ (π‘₯ Β· π‘Œ) = ((𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) Β· π‘Œ))
211, 2, 3, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20gsummhm2 19896 1 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 Β· π‘Œ))) = ((𝑆 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   finSupp cfsupp 9383  Basecbs 17177  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  0gc0g 17418   Ξ£g cgsu 17419  Mndcmnd 18691   MndHom cmhm 18735   GrpHom cghm 19169  CMndccmn 19737  LModclmod 20745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-ghm 19170  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-ur 20124  df-ring 20177  df-lmod 20747
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator