Theorem gsumvsmul1 33531

Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. This theorem properly generalizes gsummulc1 20492, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumvsmul1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsumvsmul1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
gsumvsmul1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
gsumvsmul1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
gsumvsmul1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
gsumvsmul1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LMod)
gsumvsmul1.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
gsumvsmul1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumvsmul1.x	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumvsmul1.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐾)
gsumvsmul1.n	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumvsmul1	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))

Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐾   𝑅,𝑘   𝑘,𝑌   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumvsmul1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumvsmul1.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
2		gsumvsmul1.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
3		gsumvsmul1.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
4		gsumvsmul1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LMod)
5		lmodcmn 21132	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 19958	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
7	4, 5, 6	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
8		gsumvsmul1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumvsmul1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		gsumvsmul1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		gsumvsmul1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
12		gsumvsmul1.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
13	10, 11, 12, 1	lmodvslmhm 33530	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
14	4, 9, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
15		ghmmhm 19387	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 MndHom 𝑅))
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 MndHom 𝑅))
17		gsumvsmul1.y	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐾)
18		gsumvsmul1.n	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
19		oveq1 7416	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
20		oveq1 7416	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑥 · 𝑌) = ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
21	1, 2, 3, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20	gsummhm2 20100	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   finSupp cfsupp 9331  Basecbs 17334  Scalarcsca 17378   ·_𝑠 cvsca 17379  0_gc0g 17557   Σ_g cgsu 17558  Mndcmnd 18870   MndHom cmhm 18923   GrpHom cghm 19374  CMndccmn 19941  LModclmod 21082

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-hash 14428  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-plusg 17388  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mhm 18925  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-ghm 19375  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-ur 20355  df-ring 20408  df-lmod 21084

This theorem is used by: (None)