Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumvsmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumvsmul1 30697
 Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. This theorem properly generalizes gsummulc1 19335, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumvsmul1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsumvsmul1.s 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
gsumvsmul1.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
gsumvsmul1.z 0 = (0g𝑆)
gsumvsmul1.t · = ( ·𝑠𝑅)
gsumvsmul1.r (𝜑𝑅 ∈ LMod)
gsumvsmul1.1 (𝜑𝑆 ∈ CMnd)
gsumvsmul1.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumvsmul1.x (𝜑𝑌𝐵)
gsumvsmul1.y ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐾)
gsumvsmul1.n (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumvsmul1 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑆 Σg (𝑘𝐴𝑋)) · 𝑌))
Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐾   𝑅,𝑘   𝑘,𝑌   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumvsmul1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumvsmul1.k . 2 𝐾 = (Base‘𝑆)
2 gsumvsmul1.z . 2 0 = (0g𝑆)
3 gsumvsmul1.1 . 2 (𝜑𝑆 ∈ CMnd)
4 gsumvsmul1.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ LMod)
5 lmodcmn 19658 . . 3 (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ CMnd)
6 cmnmnd 18901 . . 3 (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
74, 5, 63syl 18 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
8 gsumvsmul1.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
9 gsumvsmul1.x . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
10 gsumvsmul1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
11 gsumvsmul1.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
12 gsumvsmul1.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑅)
1310, 11, 12, 1lmodvslmhm 30696 . . . 4 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
144, 9, 13syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
15 ghmmhm 18347 . . 3 ((𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) → (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 MndHom 𝑅))
1614, 15syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 MndHom 𝑅))
17 gsumvsmul1.y . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐾)
18 gsumvsmul1.n . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
19 oveq1 7137 . 2 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
20 oveq1 7137 . 2 (𝑥 = (𝑆 Σg (𝑘𝐴𝑋)) → (𝑥 · 𝑌) = ((𝑆 Σg (𝑘𝐴𝑋)) · 𝑌))
211, 2, 3, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20gsummhm2 19038 1 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑆 Σg (𝑘𝐴𝑋)) · 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5039   ↦ cmpt 5119  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   finSupp cfsupp 8809  Basecbs 16462  Scalarcsca 16547   ·𝑠 cvsca 16548  0gc0g 16692   Σg cgsu 16693  Mndcmnd 17890   MndHom cmhm 17933   GrpHom cghm 18334  CMndccmn 18885  LModclmod 19610 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-hash 13675  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-plusg 16557  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-mhm 17935  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-ghm 18335  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-lmod 19612 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator