Theorem gsumvsmul1 33478

Description: Pull a scalar multiplication out of a sum of vectors. This theorem properly generalizes gsummulc1 20457, since every ring is a left module over itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumvsmul1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsumvsmul1.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
gsumvsmul1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
gsumvsmul1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
gsumvsmul1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
gsumvsmul1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LMod)
gsumvsmul1.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
gsumvsmul1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumvsmul1.x	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumvsmul1.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐾)
gsumvsmul1.n	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumvsmul1	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))

Distinct variable groups:   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐾   𝑅,𝑘   𝑘,𝑌   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumvsmul1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumvsmul1.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
2		gsumvsmul1.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
3		gsumvsmul1.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
4		gsumvsmul1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ LMod)
5		lmodcmn 21095	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → 𝑅 ∈ CMnd)
6		cmnmnd 19925	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CMnd → 𝑅 ∈ Mnd)
7	4, 5, 6	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
8		gsumvsmul1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumvsmul1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		gsumvsmul1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		gsumvsmul1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑅)
12		gsumvsmul1.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
13	10, 11, 12, 1	lmodvslmhm 33477	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
14	4, 9, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
15		ghmmhm 19354	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 MndHom 𝑅))
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 · 𝑌)) ∈ (𝑆 MndHom 𝑅))
17		gsumvsmul1.y	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐾)
18		gsumvsmul1.n	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
19		oveq1 7423	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
20		oveq1 7423	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) → (𝑥 · 𝑌) = ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))
21	1, 2, 3, 7, 8, 16, 17, 18, 19, 20	gsummhm2 20067	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝑋 · 𝑌))) = ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) · 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   finSupp cfsupp 9334  Basecbs 17305  Scalarcsca 17349   ·_𝑠 cvsca 17350  0_gc0g 17528   Σ_g cgsu 17529  Mndcmnd 18838   MndHom cmhm 18890   GrpHom cghm 19341  CMndccmn 19908  LModclmod 21045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-lmod 21047

This theorem is used by: (None)