Theorem blocni 31168

Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 18-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blocni.8	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blocni.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blocni.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
blocni.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
blocni.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
blocni.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blocni.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
blocni.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
blocni.l	⊢ 𝑇 ∈ 𝐿

Assertion

Ref	Expression
blocni	⊢ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem blocni

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blocni.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
4	2, 3	nvzcl 30997	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈)
6		blocni.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
7	2, 6	imsmet 31054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈))
9		metxmet 24502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈))
11		blocni.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
12	11	mopntopon 24607	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
13	10, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈))
14	13	toponunii 23084	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = ∪ 𝐽
15	14	cncnpi 23446	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈)) → 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘(0vec‘𝑈)))
16	5, 15	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘(0vec‘𝑈)))
17		blocni.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
18		blocni.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
19		blocni.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
20		blocni.5	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
21		blocni.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
22		blocni.l	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ 𝐿
23	6, 17, 11, 18, 19, 20, 1, 21, 22, 2	blocnilem 31167	. . 3 ⊢ (((0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘(0vec‘𝑈))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
24	5, 16, 23	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝑇 ∈ 𝐵)
25		eleq1 2850	. . 3 ⊢ (𝑇 = (𝑈 0op 𝑊) → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑈 0op 𝑊) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
26		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
27		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
28		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
29	2, 27, 28, 20	nmblore 31149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
30	1, 21, 29	mp3an12 1479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
31		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) = (𝑈 0op 𝑊)
32	28, 31, 19	nmlnogt0 31160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊) ↔ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
33	1, 21, 22, 32	mp3an 1489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊) ↔ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))
34	33	biimpi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊) → 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))
35	30, 34	anim12i 624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
36		elrp 13024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ+ ↔ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
37	35, 36	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ+)
38	37	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ+)
39	26, 38	rpdivcld 13083	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) ∈ ℝ+)
40		simprl 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈))
41		metcl 24500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
42	8, 41	mp3an1 1476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
43	40, 42	sylan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
44		simplrr 789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
45	44	rpred 13066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → 𝑦 ∈ ℝ)
46	35	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
47		ltmuldiv2 12095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))) → ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))))
48	43, 45, 46, 47	syl3anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))))
49		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
50	49	ad2ant2r 759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
51	2, 27, 6, 17, 28, 20, 1, 21	blometi 31166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)))
52	51	3expa 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)))
53	50, 52	sylan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)))
54	2, 27, 19	lnof 31118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊))
55	1, 21, 22, 54	mp3an 1489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊)
56	55	ffvelcdmi 7078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑇‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
57	55	ffvelcdmi 7078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑇‘𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑊))
58	27, 17	imsmet 31054	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊)))
59	21, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊))
60		metcl 24500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊)) ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇‘𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ∈ ℝ)
61	59, 60	mp3an1 1476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇‘𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ∈ ℝ)
62	56, 57, 61	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ∈ ℝ)
63	40, 62	sylan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ∈ ℝ)
64		remulcl 11191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
65	30, 42, 64	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
66	65	anassrs 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
67	66	adantllr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
68	67	adantlrr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
69		lelttr 11306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ∈ ℝ ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
70	63, 68, 45, 69	syl3anc 1397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
71	53, 70	mpand 707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
72	48, 71	sylbird 263	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
73	72	ralrimiva 3156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
74		breq2 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))))
75	74	rspceaimv 3586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
76	39, 73, 75	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
77	76	ralrimivva 3207	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
78	77, 55	jctil 528	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦)))
79		metxmet 24502	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)))
80	59, 79	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))
81	11, 18	metcn 24711	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))) → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))))
82	10, 80, 81	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦)))
83	78, 82	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
84		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
85	2, 84, 31	0ofval 31150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑈 0op 𝑊) = ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec‘𝑊)}))
86	1, 21, 85	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) = ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec‘𝑊)})
87	18	mopntopon 24607	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊)))
88	80, 87	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊))
89	27, 84	nvzcl 30997	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊))
90	21, 89	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊)
91		cnconst2 23451	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊)) ∧ (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec‘𝑊)}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
92	13, 88, 90, 91	mp3an 1489	. . . . 5 ⊢ ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec‘𝑊)}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
93	86, 92	eqeltri 2858	. . . 4 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
94	93	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → (𝑈 0op 𝑊) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
95	25, 83, 94	pm2.61ne 3042	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
96	24, 95	impbii 212	1 ⊢ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {csn 4588   class class class wbr 5108   × cxp 5658  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106   · cmul 11111   < clt 11249   ≤ cle 11250   / cdiv 11877  ℝ⁺crp 13022  ∞Metcxmet 21518  Metcmet 21519  MetOpencmopn 21523  TopOnctopon 23078   Cn ccn 23392   CnP ccnp 23393  NrmCVeccnv 30947  BaseSetcba 30949  0_veccn0v 30951  IndMetcims 30954   LnOp clno 31103   normOp_OLD cnmoo 31104   BLnOp cblo 31105   0_op c0o 31106

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-topgen 17502  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-top 23062  df-topon 23079  df-bases 23114  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-grpo 30856  df-gid 30857  df-ginv 30858  df-gdiv 30859  df-ablo 30908  df-vc 30922  df-nv 30955  df-va 30958  df-ba 30959  df-sm 30960  df-0v 30961  df-vs 30962  df-nmcv 30963  df-ims 30964  df-lno 31107  df-nmoo 31108  df-blo 31109  df-0o 31110

This theorem is used by:  lnocni  31169  blocn  31170