MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blocni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blocni 30834
Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 18-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocni.8 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blocni.d 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blocni.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
blocni.k 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
blocni.4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
blocni.5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blocni.u 𝑈 ∈ NrmCVec
blocni.w 𝑊 ∈ NrmCVec
blocni.l 𝑇𝐿
Assertion
Ref Expression
blocni (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇𝐵)

Proof of Theorem blocni
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blocni.u . . . 4 𝑈 ∈ NrmCVec
2 eqid 2735 . . . . 5 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
3 eqid 2735 . . . . 5 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
42, 3nvzcl 30663 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈))
51, 4ax-mp 5 . . 3 (0vec𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈)
6 blocni.8 . . . . . . . . . 10 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
72, 6imsmet 30720 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
81, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈))
9 metxmet 24360 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈))
11 blocni.j . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
1211mopntopon 24465 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
1310, 12ax-mp 5 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈))
1413toponunii 22938 . . . . 5 (BaseSet‘𝑈) = 𝐽
1514cncnpi 23302 . . . 4 ((𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (0vec𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈)) → 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘(0vec𝑈)))
165, 15mpan2 691 . . 3 (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘(0vec𝑈)))
17 blocni.d . . . 4 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
18 blocni.k . . . 4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
19 blocni.4 . . . 4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
20 blocni.5 . . . 4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
21 blocni.w . . . 4 𝑊 ∈ NrmCVec
22 blocni.l . . . 4 𝑇𝐿
236, 17, 11, 18, 19, 20, 1, 21, 22, 2blocnilem 30833 . . 3 (((0vec𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘(0vec𝑈))) → 𝑇𝐵)
245, 16, 23sylancr 587 . 2 (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝑇𝐵)
25 eleq1 2827 . . 3 (𝑇 = (𝑈 0op 𝑊) → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑈 0op 𝑊) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
26 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
27 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
28 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
292, 27, 28, 20nmblore 30815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
301, 21, 29mp3an12 1450 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝐵 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
31 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 0op 𝑊) = (𝑈 0op 𝑊)
3228, 31, 19nmlnogt0 30826 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊) ↔ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
331, 21, 22, 32mp3an 1460 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊) ↔ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))
3433biimpi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊) → 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))
3530, 34anim12i 613 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
36 elrp 13034 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ+ ↔ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
3735, 36sylibr 234 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ+)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ+)
3926, 38rpdivcld 13092 . . . . . . 7 (((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) ∈ ℝ+)
40 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈))
41 metcl 24358 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
428, 41mp3an1 1447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
4340, 42sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
44 simplrr 778 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
4544rpred 13075 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → 𝑦 ∈ ℝ)
4635ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
47 ltmuldiv2 12140 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))) → ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))))
4843, 45, 46, 47syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))))
49 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇𝐵𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑇𝐵𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
5049ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑇𝐵𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
512, 27, 6, 17, 28, 20, 1, 21blometi 30832 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇𝐵𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)))
52513expa 1117 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇𝐵𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)))
5350, 52sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)))
542, 27, 19lnof 30784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊))
551, 21, 22, 54mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊)
5655ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑇𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
5755ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑇𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑊))
5827, 17imsmet 30720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊)))
5921, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊))
60 metcl 24358 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊)) ∧ (𝑇𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ∈ ℝ)
6159, 60mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ∈ ℝ)
6256, 57, 61syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ∈ ℝ)
6340, 62sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ∈ ℝ)
64 remulcl 11238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
6530, 42, 64syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇𝐵 ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
6665anassrs 467 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇𝐵𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
6766adantllr 719 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
6867adantlrr 721 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
69 lelttr 11349 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ∈ ℝ ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦))
7063, 68, 45, 69syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦))
7153, 70mpand 695 . . . . . . . . 9 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦))
7248, 71sylbird 260 . . . . . . . 8 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦))
7372ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦))
74 breq2 5152 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))))
7574rspceaimv 3628 . . . . . . 7 (((𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦))
7639, 73, 75syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦))
7776ralrimivva 3200 . . . . 5 ((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦))
7877, 55jctil 519 . . . 4 ((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦)))
79 metxmet 24360 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)))
8059, 79ax-mp 5 . . . . 5 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))
8111, 18metcn 24572 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))) → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦))))
8210, 80, 81mp2an 692 . . . 4 (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦)))
8378, 82sylibr 234 . . 3 ((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
84 eqid 2735 . . . . . . 7 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
852, 84, 310ofval 30816 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑈 0op 𝑊) = ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec𝑊)}))
861, 21, 85mp2an 692 . . . . 5 (𝑈 0op 𝑊) = ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec𝑊)})
8718mopntopon 24465 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊)))
8880, 87ax-mp 5 . . . . . 6 𝐾 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊))
8927, 84nvzcl 30663 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊))
9021, 89ax-mp 5 . . . . . 6 (0vec𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊)
91 cnconst2 23307 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊)) ∧ (0vec𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec𝑊)}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9213, 88, 90, 91mp3an 1460 . . . . 5 ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec𝑊)}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
9386, 92eqeltri 2835 . . . 4 (𝑈 0op 𝑊) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
9493a1i 11 . . 3 (𝑇𝐵 → (𝑈 0op 𝑊) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9525, 83, 94pm2.61ne 3025 . 2 (𝑇𝐵𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9624, 95impbii 209 1 (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  +crp 13032  ∞Metcxmet 21367  Metcmet 21368  MetOpencmopn 21372  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248   CnP ccnp 23249  NrmCVeccnv 30613  BaseSetcba 30615  0veccn0v 30617  IndMetcims 30620   LnOp clno 30769   normOpOLD cnmoo 30770   BLnOp cblo 30771   0op c0o 30772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-lno 30773  df-nmoo 30774  df-blo 30775  df-0o 30776
This theorem is referenced by:  lnocni  30835  blocn  30836
  Copyright terms: Public domain W3C validator