MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blocni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blocni 28051
Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 18-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocni.8 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blocni.d 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blocni.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
blocni.k 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
blocni.4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
blocni.5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blocni.u 𝑈 ∈ NrmCVec
blocni.w 𝑊 ∈ NrmCVec
blocni.l 𝑇𝐿
Assertion
Ref Expression
blocni (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇𝐵)

Proof of Theorem blocni
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blocni.u . . . 4 𝑈 ∈ NrmCVec
2 eqid 2765 . . . . 5 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
3 eqid 2765 . . . . 5 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
42, 3nvzcl 27880 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈))
51, 4ax-mp 5 . . 3 (0vec𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈)
6 blocni.8 . . . . . . . . . 10 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
72, 6imsmet 27937 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
81, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈))
9 metxmet 22418 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈))
11 blocni.j . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
1211mopntopon 22523 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
1310, 12ax-mp 5 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈))
1413toponunii 21000 . . . . 5 (BaseSet‘𝑈) = 𝐽
1514cncnpi 21362 . . . 4 ((𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (0vec𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈)) → 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘(0vec𝑈)))
165, 15mpan2 682 . . 3 (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘(0vec𝑈)))
17 blocni.d . . . 4 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
18 blocni.k . . . 4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
19 blocni.4 . . . 4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
20 blocni.5 . . . 4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
21 blocni.w . . . 4 𝑊 ∈ NrmCVec
22 blocni.l . . . 4 𝑇𝐿
236, 17, 11, 18, 19, 20, 1, 21, 22, 2blocnilem 28050 . . 3 (((0vec𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘(0vec𝑈))) → 𝑇𝐵)
245, 16, 23sylancr 581 . 2 (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝑇𝐵)
25 eleq1 2832 . . 3 (𝑇 = (𝑈 0op 𝑊) → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑈 0op 𝑊) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
26 simprr 789 . . . . . . . 8 (((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
27 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
28 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
292, 27, 28, 20nmblore 28032 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
301, 21, 29mp3an12 1575 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝐵 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
31 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 0op 𝑊) = (𝑈 0op 𝑊)
3228, 31, 19nmlnogt0 28043 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊) ↔ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
331, 21, 22, 32mp3an 1585 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊) ↔ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))
3433biimpi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊) → 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))
3530, 34anim12i 606 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
36 elrp 12030 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ+ ↔ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
3735, 36sylibr 225 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ+)
3837adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ+)
3926, 38rpdivcld 12087 . . . . . . 7 (((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) ∈ ℝ+)
40 simprl 787 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈))
41 metcl 22416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
428, 41mp3an1 1572 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
4340, 42sylan 575 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
44 simplrr 796 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
4544rpred 12070 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → 𝑦 ∈ ℝ)
4635ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
47 ltmuldiv2 11151 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))) → ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))))
4843, 45, 46, 47syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))))
49 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇𝐵𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑇𝐵𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
5049ad2ant2r 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑇𝐵𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
512, 27, 6, 17, 28, 20, 1, 21blometi 28049 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇𝐵𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)))
52513expa 1147 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇𝐵𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)))
5350, 52sylan 575 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)))
542, 27, 19lnof 28001 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊))
551, 21, 22, 54mp3an 1585 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊)
5655ffvelrni 6548 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑇𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
5755ffvelrni 6548 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑇𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑊))
5827, 17imsmet 27937 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊)))
5921, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊))
60 metcl 22416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊)) ∧ (𝑇𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ∈ ℝ)
6159, 60mp3an1 1572 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ∈ ℝ)
6256, 57, 61syl2an 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ∈ ℝ)
6340, 62sylan 575 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ∈ ℝ)
64 remulcl 10274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
6530, 42, 64syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇𝐵 ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
6665anassrs 459 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇𝐵𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
6766adantllr 710 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
6867adantlrr 712 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
69 lelttr 10382 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ∈ ℝ ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦))
7063, 68, 45, 69syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦))
7153, 70mpand 686 . . . . . . . . 9 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦))
7248, 71sylbird 251 . . . . . . . 8 ((((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦))
7372ralrimiva 3113 . . . . . . 7 (((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦))
74 breq2 4813 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))))
7574rspceaimv 3469 . . . . . . 7 (((𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦))
7639, 73, 75syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦))
7776ralrimivva 3118 . . . . 5 ((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦))
7877, 55jctil 515 . . . 4 ((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦)))
79 metxmet 22418 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)))
8059, 79ax-mp 5 . . . . 5 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))
8111, 18metcn 22627 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))) → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦))))
8210, 80, 81mp2an 683 . . . 4 (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑤)) < 𝑦)))
8378, 82sylibr 225 . . 3 ((𝑇𝐵𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
84 eqid 2765 . . . . . . 7 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
852, 84, 310ofval 28033 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑈 0op 𝑊) = ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec𝑊)}))
861, 21, 85mp2an 683 . . . . 5 (𝑈 0op 𝑊) = ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec𝑊)})
8718mopntopon 22523 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊)))
8880, 87ax-mp 5 . . . . . 6 𝐾 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊))
8927, 84nvzcl 27880 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊))
9021, 89ax-mp 5 . . . . . 6 (0vec𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊)
91 cnconst2 21367 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊)) ∧ (0vec𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec𝑊)}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9213, 88, 90, 91mp3an 1585 . . . . 5 ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec𝑊)}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
9386, 92eqeltri 2840 . . . 4 (𝑈 0op 𝑊) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
9493a1i 11 . . 3 (𝑇𝐵 → (𝑈 0op 𝑊) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9525, 83, 94pm2.61ne 3022 . 2 (𝑇𝐵𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9624, 95impbii 200 1 (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {csn 4334   class class class wbr 4809   × cxp 5275  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329   / cdiv 10938  +crp 12028  ∞Metcxmet 20004  Metcmet 20005  MetOpencmopn 20009  TopOnctopon 20994   Cn ccn 21308   CnP ccnp 21309  NrmCVeccnv 27830  BaseSetcba 27832  0veccn0v 27834  IndMetcims 27837   LnOp clno 27986   normOpOLD cnmoo 27987   BLnOp cblo 27988   0op c0o 27989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-topgen 16372  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-top 20978  df-topon 20995  df-bases 21030  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-grpo 27739  df-gid 27740  df-ginv 27741  df-gdiv 27742  df-ablo 27791  df-vc 27805  df-nv 27838  df-va 27841  df-ba 27842  df-sm 27843  df-0v 27844  df-vs 27845  df-nmcv 27846  df-ims 27847  df-lno 27990  df-nmoo 27991  df-blo 27992  df-0o 27993
This theorem is referenced by:  lnocni  28052  blocn  28053
  Copyright terms: Public domain W3C validator