Theorem blocni 28051

Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 18-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blocni.8	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blocni.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blocni.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
blocni.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
blocni.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
blocni.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blocni.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
blocni.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
blocni.l	⊢ 𝑇 ∈ 𝐿

Assertion

Ref	Expression
blocni	⊢ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem blocni

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blocni.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
4	2, 3	nvzcl 27880	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈)
6		blocni.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
7	2, 6	imsmet 27937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈))
9		metxmet 22418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈))
11		blocni.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
12	11	mopntopon 22523	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
13	10, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈))
14	13	toponunii 21000	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = ∪ 𝐽
15	14	cncnpi 21362	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈)) → 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘(0vec‘𝑈)))
16	5, 15	mpan2 682	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘(0vec‘𝑈)))
17		blocni.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
18		blocni.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
19		blocni.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
20		blocni.5	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
21		blocni.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
22		blocni.l	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ 𝐿
23	6, 17, 11, 18, 19, 20, 1, 21, 22, 2	blocnilem 28050	. . 3 ⊢ (((0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘(0vec‘𝑈))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
24	5, 16, 23	sylancr 581	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝑇 ∈ 𝐵)
25		eleq1 2832	. . 3 ⊢ (𝑇 = (𝑈 0op 𝑊) → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑈 0op 𝑊) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
26		simprr 789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
27		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
28		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
29	2, 27, 28, 20	nmblore 28032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
30	1, 21, 29	mp3an12 1575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
31		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) = (𝑈 0op 𝑊)
32	28, 31, 19	nmlnogt0 28043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊) ↔ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
33	1, 21, 22, 32	mp3an 1585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊) ↔ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))
34	33	biimpi 207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊) → 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))
35	30, 34	anim12i 606	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
36		elrp 12030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ+ ↔ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
37	35, 36	sylibr 225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ+)
38	37	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ+)
39	26, 38	rpdivcld 12087	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) ∈ ℝ+)
40		simprl 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈))
41		metcl 22416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
42	8, 41	mp3an1 1572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
43	40, 42	sylan 575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
44		simplrr 796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
45	44	rpred 12070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → 𝑦 ∈ ℝ)
46	35	ad2antrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
47		ltmuldiv2 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))) → ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))))
48	43, 45, 46, 47	syl3anc 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))))
49		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
50	49	ad2ant2r 753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
51	2, 27, 6, 17, 28, 20, 1, 21	blometi 28049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)))
52	51	3expa 1147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)))
53	50, 52	sylan 575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)))
54	2, 27, 19	lnof 28001	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊))
55	1, 21, 22, 54	mp3an 1585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊)
56	55	ffvelrni 6548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑇‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
57	55	ffvelrni 6548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑇‘𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑊))
58	27, 17	imsmet 27937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊)))
59	21, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊))
60		metcl 22416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊)) ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇‘𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ∈ ℝ)
61	59, 60	mp3an1 1572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇‘𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ∈ ℝ)
62	56, 57, 61	syl2an 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ∈ ℝ)
63	40, 62	sylan 575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ∈ ℝ)
64		remulcl 10274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
65	30, 42, 64	syl2an 589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
66	65	anassrs 459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
67	66	adantllr 710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
68	67	adantlrr 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
69		lelttr 10382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ∈ ℝ ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
70	63, 68, 45, 69	syl3anc 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
71	53, 70	mpand 686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
72	48, 71	sylbird 251	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
73	72	ralrimiva 3113	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
74		breq2 4813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))))
75	74	rspceaimv 3469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
76	39, 73, 75	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
77	76	ralrimivva 3118	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
78	77, 55	jctil 515	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦)))
79		metxmet 22418	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)))
80	59, 79	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))
81	11, 18	metcn 22627	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))) → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))))
82	10, 80, 81	mp2an 683	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦)))
83	78, 82	sylibr 225	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
84		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
85	2, 84, 31	0ofval 28033	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑈 0op 𝑊) = ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec‘𝑊)}))
86	1, 21, 85	mp2an 683	. . . . 5 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) = ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec‘𝑊)})
87	18	mopntopon 22523	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊)))
88	80, 87	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊))
89	27, 84	nvzcl 27880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊))
90	21, 89	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊)
91		cnconst2 21367	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊)) ∧ (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec‘𝑊)}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
92	13, 88, 90, 91	mp3an 1585	. . . . 5 ⊢ ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec‘𝑊)}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
93	86, 92	eqeltri 2840	. . . 4 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
94	93	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → (𝑈 0op 𝑊) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
95	25, 83, 94	pm2.61ne 3022	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
96	24, 95	impbii 200	1 ⊢ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937  ∀wral 3055  ∃wrex 3056  {csn 4334   class class class wbr 4809   × cxp 5275  ⟶wf 6064  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  ℝcr 10188  0cc0 10189   · cmul 10194   < clt 10328   ≤ cle 10329   / cdiv 10938  ℝ⁺crp 12028  ∞Metcxmet 20004  Metcmet 20005  MetOpencmopn 20009  TopOnctopon 20994   Cn ccn 21308   CnP ccnp 21309  NrmCVeccnv 27830  BaseSetcba 27832  0_veccn0v 27834  IndMetcims 27837   LnOp clno 27986   normOp_OLD cnmoo 27987   BLnOp cblo 27988   0_op c0o 27989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-topgen 16372  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-top 20978  df-topon 20995  df-bases 21030  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-grpo 27739  df-gid 27740  df-ginv 27741  df-gdiv 27742  df-ablo 27791  df-vc 27805  df-nv 27838  df-va 27841  df-ba 27842  df-sm 27843  df-0v 27844  df-vs 27845  df-nmcv 27846  df-ims 27847  df-lno 27990  df-nmoo 27991  df-blo 27992  df-0o 27993

This theorem is referenced by:  lnocni  28052  blocn  28053