MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blocni Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem blocni 30036
Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 18-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocni.8 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
blocni.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘Š)
blocni.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
blocni.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
blocni.4 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
blocni.5 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
blocni.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
blocni.w π‘Š ∈ NrmCVec
blocni.l 𝑇 ∈ 𝐿
Assertion
Ref Expression
blocni (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐡)
Proof of Theorem blocni
Dummy variables π‘₯ 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blocni.u . . . 4 π‘ˆ ∈ NrmCVec
2 eqid 2733 . . . . 5 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 eqid 2733 . . . . 5 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
42, 3nvzcl 29865 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
51, 4ax-mp 5 . . 3 (0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 blocni.8 . . . . . . . . . 10 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
72, 6imsmet 29922 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
81, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ))
9 metxmet 23822 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ))
11 blocni.j . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
1211mopntopon 23927 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
1310, 12ax-mp 5 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ))
1413toponunii 22400 . . . . 5 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = βˆͺ 𝐽
1514cncnpi 22764 . . . 4 ((𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)))
165, 15mpan2 690 . . 3 (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)))
17 blocni.d . . . 4 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘Š)
18 blocni.k . . . 4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
19 blocni.4 . . . 4 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
20 blocni.5 . . . 4 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
21 blocni.w . . . 4 π‘Š ∈ NrmCVec
22 blocni.l . . . 4 𝑇 ∈ 𝐿
236, 17, 11, 18, 19, 20, 1, 21, 22, 2blocnilem 30035 . . 3 (((0vecβ€˜π‘ˆ) ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
245, 16, 23sylancr 588 . 2 (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
25 eleq1 2822 . . 3 (𝑇 = (π‘ˆ 0op π‘Š) β†’ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘ˆ 0op π‘Š) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
26 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
27 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
28 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ normOpOLD π‘Š) = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
292, 27, 28, 20nmblore 30017 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
301, 21, 29mp3an12 1452 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ 0op π‘Š) = (π‘ˆ 0op π‘Š)
3228, 31, 19nmlnogt0 30028 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š) ↔ 0 < ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡)))
331, 21, 22, 32mp3an 1462 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š) ↔ 0 < ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡))
3433biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š) β†’ 0 < ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡))
3530, 34anim12i 614 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡)))
36 elrp 12972 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ+ ↔ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡)))
3735, 36sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ+)
3837adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ+)
3926, 38rpdivcld 13029 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦 / ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡)) ∈ ℝ+)
40 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
41 metcl 23820 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) ∈ ℝ)
428, 41mp3an1 1449 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) ∈ ℝ)
4340, 42sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘₯𝐢𝑀) ∈ ℝ)
44 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
4544rpred 13012 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
4635ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡)))
47 ltmuldiv2 12084 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯𝐢𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡))) β†’ ((((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘₯𝐢𝑀)) < 𝑦 ↔ (π‘₯𝐢𝑀) < (𝑦 / ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡))))
4843, 45, 46, 47syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘₯𝐢𝑀)) < 𝑦 ↔ (π‘₯𝐢𝑀) < (𝑦 / ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡))))
49 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑇 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
5049ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑇 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
512, 27, 6, 17, 28, 20, 1, 21blometi 30034 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) ≀ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘₯𝐢𝑀)))
52513expa 1119 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) ≀ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘₯𝐢𝑀)))
5350, 52sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) ≀ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘₯𝐢𝑀)))
542, 27, 19lnof 29986 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘Š))
551, 21, 22, 54mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘Š)
5655ffvelcdmi 7081 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
5755ffvelcdmi 7081 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
5827, 17imsmet 29922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)))
5921, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š))
60 metcl 23820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) ∈ ℝ)
6159, 60mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) ∈ ℝ)
6256, 57, 61syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) ∈ ℝ)
6340, 62sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) ∈ ℝ)
64 remulcl 11191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ ℝ ∧ (π‘₯𝐢𝑀) ∈ ℝ) β†’ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘₯𝐢𝑀)) ∈ ℝ)
6530, 42, 64syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘₯𝐢𝑀)) ∈ ℝ)
6665anassrs 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘₯𝐢𝑀)) ∈ ℝ)
6766adantllr 718 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘₯𝐢𝑀)) ∈ ℝ)
6867adantlrr 720 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘₯𝐢𝑀)) ∈ ℝ)
69 lelttr 11300 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) ∈ ℝ ∧ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘₯𝐢𝑀)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) ≀ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘₯𝐢𝑀)) ∧ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘₯𝐢𝑀)) < 𝑦) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) < 𝑦))
7063, 68, 45, 69syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) ≀ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘₯𝐢𝑀)) ∧ (((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘₯𝐢𝑀)) < 𝑦) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) < 𝑦))
7153, 70mpand 694 . . . . . . . . 9 ((((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡) Β· (π‘₯𝐢𝑀)) < 𝑦 β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) < 𝑦))
7248, 71sylbird 260 . . . . . . . 8 ((((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑀 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑀) < (𝑦 / ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) < 𝑦))
7372ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑀) < (𝑦 / ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) < 𝑦))
74 breq2 5151 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑦 / ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡)) β†’ ((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 ↔ (π‘₯𝐢𝑀) < (𝑦 / ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡))))
7574rspceaimv 3616 . . . . . . 7 (((𝑦 / ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡)) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑀) < (𝑦 / ((π‘ˆ normOpOLD π‘Š)β€˜π‘‡)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) < 𝑦))
7639, 73, 75syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) < 𝑦))
7776ralrimivva 3201 . . . . 5 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) < 𝑦))
7877, 55jctil 521 . . . 4 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ (𝑇:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) < 𝑦)))
79 metxmet 23822 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)))
8059, 79ax-mp 5 . . . . 5 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š))
8111, 18metcn 24034 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š))) β†’ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑇:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) < 𝑦))))
8210, 80, 81mp2an 691 . . . 4 (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑇:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)((π‘₯𝐢𝑀) < 𝑧 β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯)𝐷(π‘‡β€˜π‘€)) < 𝑦)))
8378, 82sylibr 233 . . 3 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 β‰  (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
84 eqid 2733 . . . . . . 7 (0vecβ€˜π‘Š) = (0vecβ€˜π‘Š)
852, 84, 310ofval 30018 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (π‘ˆ 0op π‘Š) = ((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— {(0vecβ€˜π‘Š)}))
861, 21, 85mp2an 691 . . . . 5 (π‘ˆ 0op π‘Š) = ((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— {(0vecβ€˜π‘Š)})
8718mopntopon 23927 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)))
8880, 87ax-mp 5 . . . . . 6 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š))
8927, 84nvzcl 29865 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
9021, 89ax-mp 5 . . . . . 6 (0vecβ€˜π‘Š) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)
91 cnconst2 22769 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)) ∧ (0vecβ€˜π‘Š) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ ((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— {(0vecβ€˜π‘Š)}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9213, 88, 90, 91mp3an 1462 . . . . 5 ((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— {(0vecβ€˜π‘Š)}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
9386, 92eqeltri 2830 . . . 4 (π‘ˆ 0op π‘Š) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
9493a1i 11 . . 3 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ (π‘ˆ 0op π‘Š) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9525, 83, 94pm2.61ne 3028 . 2 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9624, 95impbii 208 1 (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {csn 4627   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  β„cr 11105  0cc0 11106   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  β„+crp 12970  βˆžMetcxmet 20914  Metcmet 20915  MetOpencmopn 20919  TopOnctopon 22394   Cn ccn 22710   CnP ccnp 22711  NrmCVeccnv 29815  BaseSetcba 29817  0veccn0v 29819  IndMetcims 29822   LnOp clno 29971   normOpOLD cnmoo 29972   BLnOp cblo 29973   0op c0o 29974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-topgen 17385  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-top 22378  df-topon 22395  df-bases 22431  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ginv 29726  df-gdiv 29727  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-vs 29830  df-nmcv 29831  df-ims 29832  df-lno 29975  df-nmoo 29976  df-blo 29977  df-0o 29978
This theorem is referenced by:  lnocni  30037  blocn  30038
  Copyright terms: Public domain W3C validator