Theorem blocni 31289

Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 18-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blocni.8	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blocni.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blocni.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
blocni.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
blocni.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
blocni.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blocni.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
blocni.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
blocni.l	⊢ 𝑇 ∈ 𝐿

Assertion

Ref	Expression
blocni	⊢ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem blocni

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blocni.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
4	2, 3	nvzcl 31118	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈)
6		blocni.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
7	2, 6	imsmet 31175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈))
9		metxmet 24563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈))
11		blocni.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
12	11	mopntopon 24668	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
13	10, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈))
14	13	toponunii 23144	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = ∪ 𝐽
15	14	cncnpi 23506	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈)) → 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘(0vec‘𝑈)))
16	5, 15	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘(0vec‘𝑈)))
17		blocni.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
18		blocni.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
19		blocni.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
20		blocni.5	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
21		blocni.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
22		blocni.l	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ 𝐿
23	6, 17, 11, 18, 19, 20, 1, 21, 22, 2	blocnilem 31288	. . 3 ⊢ (((0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘(0vec‘𝑈))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
24	5, 16, 23	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝑇 ∈ 𝐵)
25		eleq1 2848	. . 3 ⊢ (𝑇 = (𝑈 0op 𝑊) → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑈 0op 𝑊) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
26		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
27		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
28		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
29	2, 27, 28, 20	nmblore 31270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
30	1, 21, 29	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ)
31		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) = (𝑈 0op 𝑊)
32	28, 31, 19	nmlnogt0 31281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊) ↔ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
33	1, 21, 22, 32	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊) ↔ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))
34	33	biimpi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊) → 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))
35	30, 34	anim12i 625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
36		elrp 13047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ+ ↔ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
37	35, 36	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ+)
38	37	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ+)
39	26, 38	rpdivcld 13106	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) ∈ ℝ+)
40		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈))
41		metcl 24561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
42	8, 41	mp3an1 1477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
43	40, 42	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
44		simplrr 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
45	44	rpred 13089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → 𝑦 ∈ ℝ)
46	35	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)))
47		ltmuldiv2 12116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))) → ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))))
48	43, 45, 46, 47	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))))
49		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
50	49	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
51	2, 27, 6, 17, 28, 20, 1, 21	blometi 31287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)))
52	51	3expa 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)))
53	50, 52	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)))
54	2, 27, 19	lnof 31239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊))
55	1, 21, 22, 54	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊)
56	55	ffvelcdmi 7077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑇‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
57	55	ffvelcdmi 7077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑇‘𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑊))
58	27, 17	imsmet 31175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊)))
59	21, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊))
60		metcl 24561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊)) ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇‘𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ∈ ℝ)
61	59, 60	mp3an1 1477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇‘𝑤) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ∈ ℝ)
62	56, 57, 61	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ∈ ℝ)
63	40, 62	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ∈ ℝ)
64		remulcl 11212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
65	30, 42, 64	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
66	65	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
67	66	adantllr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
68	67	adantlrr 734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
69		lelttr 11327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ∈ ℝ ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
70	63, 68, 45, 69	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) ∧ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
71	53, 70	mpand 708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇) · (𝑥𝐶𝑤)) < 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
72	48, 71	sylbird 263	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
73	72	ralrimiva 3154	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
74		breq2 5107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇))))
75	74	rspceaimv 3582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < (𝑦 / ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑇)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
76	39, 73, 75	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
77	76	ralrimivva 3205	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))
78	77, 55	jctil 529	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦)))
79		metxmet 24563	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑊)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)))
80	59, 79	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))
81	11, 18	metcn 24772	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))) → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦))))
82	10, 80, 81	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑤)) < 𝑦)))
83	78, 82	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑇 ≠ (𝑈 0op 𝑊)) → 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
84		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
85	2, 84, 31	0ofval 31271	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑈 0op 𝑊) = ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec‘𝑊)}))
86	1, 21, 85	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) = ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec‘𝑊)})
87	18	mopntopon 24668	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊)))
88	80, 87	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊))
89	27, 84	nvzcl 31118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊))
90	21, 89	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊)
91		cnconst2 23511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊)) ∧ (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec‘𝑊)}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
92	13, 88, 90, 91	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ((BaseSet‘𝑈) × {(0vec‘𝑊)}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
93	86, 92	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
94	93	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → (𝑈 0op 𝑊) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
95	25, 83, 94	pm2.61ne 3040	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
96	24, 95	impbii 212	1 ⊢ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5653  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  0cc0 11127   · cmul 11132   < clt 11270   ≤ cle 11271   / cdiv 11898  ℝ⁺crp 13045  ∞Metcxmet 21573  Metcmet 21574  MetOpencmopn 21578  TopOnctopon 23138   Cn ccn 23452   CnP ccnp 23453  NrmCVeccnv 31068  BaseSetcba 31070  0_veccn0v 31072  IndMetcims 31075   LnOp clno 31224   normOp_OLD cnmoo 31225   BLnOp cblo 31226   0_op c0o 31227

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-seq 14069  df-exp 14129  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-topgen 17531  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-top 23122  df-topon 23139  df-bases 23174  df-cn 23455  df-cnp 23456  df-grpo 30977  df-gid 30978  df-ginv 30979  df-gdiv 30980  df-ablo 31029  df-vc 31043  df-nv 31076  df-va 31079  df-ba 31080  df-sm 31081  df-0v 31082  df-vs 31083  df-nmcv 31084  df-ims 31085  df-lno 31228  df-nmoo 31229  df-blo 31230  df-0o 31231

This theorem is used by:  lnocni  31290  blocn  31291