MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlnogt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmlnogt0 29913
Description: The norm of a nonzero linear operator is positive. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlnogt0.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlnogt0.0 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
nmlnogt0.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmlnogt0 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑍 ↔ 0 < (𝑁𝑇)))

Proof of Theorem nmlnogt0
StepHypRef Expression
1 nmlnogt0.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
2 nmlnogt0.0 . . . 4 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
3 nmlnogt0.7 . . . 4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
41, 2, 3nmlno0 29911 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → ((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍))
54necon3bid 2984 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇𝑍))
6 eqid 2731 . . . 4 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
7 eqid 2731 . . . 4 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
86, 7, 3lnof 29871 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊))
96, 7, 1nmoxr 29882 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊)) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
106, 7, 1nmooge0 29883 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊)) → 0 ≤ (𝑁𝑇))
11 0xr 11243 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
12 xrlttri2 13103 . . . . . . 7 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ ((𝑁𝑇) < 0 ∨ 0 < (𝑁𝑇))))
1311, 12mpan2 689 . . . . . 6 ((𝑁𝑇) ∈ ℝ* → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ ((𝑁𝑇) < 0 ∨ 0 < (𝑁𝑇))))
1413adantr 481 . . . . 5 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝑇)) → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ ((𝑁𝑇) < 0 ∨ 0 < (𝑁𝑇))))
15 xrlenlt 11261 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝑁𝑇) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑁𝑇) ↔ ¬ (𝑁𝑇) < 0))
1611, 15mpan 688 . . . . . . 7 ((𝑁𝑇) ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝑁𝑇) ↔ ¬ (𝑁𝑇) < 0))
1716biimpa 477 . . . . . 6 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝑇)) → ¬ (𝑁𝑇) < 0)
18 biorf 935 . . . . . 6 (¬ (𝑁𝑇) < 0 → (0 < (𝑁𝑇) ↔ ((𝑁𝑇) < 0 ∨ 0 < (𝑁𝑇))))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝑇)) → (0 < (𝑁𝑇) ↔ ((𝑁𝑇) < 0 ∨ 0 < (𝑁𝑇))))
2014, 19bitr4d 281 . . . 4 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝑇)) → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁𝑇)))
219, 10, 20syl2anc 584 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊)) → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁𝑇)))
228, 21syld3an3 1409 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁𝑇)))
235, 22bitr3d 280 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑍 ↔ 0 < (𝑁𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939   class class class wbr 5141  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  0cc0 11092  *cxr 11229   < clt 11230  cle 11231  NrmCVeccnv 29700  BaseSetcba 29702   LnOp clno 29856   normOpOLD cnmoo 29857   0op c0o 29859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9419  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-grpo 29609  df-gid 29610  df-ginv 29611  df-ablo 29661  df-vc 29675  df-nv 29708  df-va 29711  df-ba 29712  df-sm 29713  df-0v 29714  df-nmcv 29716  df-lno 29860  df-nmoo 29861  df-0o 29863
This theorem is referenced by:  blocni  29921
  Copyright terms: Public domain W3C validator