MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlnogt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmlnogt0 28878
Description: The norm of a nonzero linear operator is positive. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlnogt0.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlnogt0.0 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
nmlnogt0.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmlnogt0 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑍 ↔ 0 < (𝑁𝑇)))

Proof of Theorem nmlnogt0
StepHypRef Expression
1 nmlnogt0.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
2 nmlnogt0.0 . . . 4 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
3 nmlnogt0.7 . . . 4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
41, 2, 3nmlno0 28876 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → ((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍))
54necon3bid 2985 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇𝑍))
6 eqid 2737 . . . 4 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
7 eqid 2737 . . . 4 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
86, 7, 3lnof 28836 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊))
96, 7, 1nmoxr 28847 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊)) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
106, 7, 1nmooge0 28848 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊)) → 0 ≤ (𝑁𝑇))
11 0xr 10880 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
12 xrlttri2 12732 . . . . . . 7 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ ((𝑁𝑇) < 0 ∨ 0 < (𝑁𝑇))))
1311, 12mpan2 691 . . . . . 6 ((𝑁𝑇) ∈ ℝ* → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ ((𝑁𝑇) < 0 ∨ 0 < (𝑁𝑇))))
1413adantr 484 . . . . 5 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝑇)) → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ ((𝑁𝑇) < 0 ∨ 0 < (𝑁𝑇))))
15 xrlenlt 10898 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝑁𝑇) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑁𝑇) ↔ ¬ (𝑁𝑇) < 0))
1611, 15mpan 690 . . . . . . 7 ((𝑁𝑇) ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝑁𝑇) ↔ ¬ (𝑁𝑇) < 0))
1716biimpa 480 . . . . . 6 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝑇)) → ¬ (𝑁𝑇) < 0)
18 biorf 937 . . . . . 6 (¬ (𝑁𝑇) < 0 → (0 < (𝑁𝑇) ↔ ((𝑁𝑇) < 0 ∨ 0 < (𝑁𝑇))))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝑇)) → (0 < (𝑁𝑇) ↔ ((𝑁𝑇) < 0 ∨ 0 < (𝑁𝑇))))
2014, 19bitr4d 285 . . . 4 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝑇)) → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁𝑇)))
219, 10, 20syl2anc 587 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊)) → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁𝑇)))
228, 21syld3an3 1411 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁𝑇)))
235, 22bitr3d 284 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑍 ↔ 0 < (𝑁𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940   class class class wbr 5053  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868  NrmCVeccnv 28665  BaseSetcba 28667   LnOp clno 28821   normOpOLD cnmoo 28822   0op c0o 28824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-grpo 28574  df-gid 28575  df-ginv 28576  df-ablo 28626  df-vc 28640  df-nv 28673  df-va 28676  df-ba 28677  df-sm 28678  df-0v 28679  df-nmcv 28681  df-lno 28825  df-nmoo 28826  df-0o 28828
This theorem is referenced by:  blocni  28886
  Copyright terms: Public domain W3C validator