MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlnogt0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmlnogt0 30305
Description: The norm of a nonzero linear operator is positive. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlnogt0.3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
nmlnogt0.0 𝑍 = (π‘ˆ 0op π‘Š)
nmlnogt0.7 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
Assertion
Ref Expression
nmlnogt0 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (𝑇 β‰  𝑍 ↔ 0 < (π‘β€˜π‘‡)))
Proof of Theorem nmlnogt0
StepHypRef Expression
1 nmlnogt0.3 . . . 4 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
2 nmlnogt0.0 . . . 4 𝑍 = (π‘ˆ 0op π‘Š)
3 nmlnogt0.7 . . . 4 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
41, 2, 3nmlno0 30303 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍))
54necon3bid 2985 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) β‰  0 ↔ 𝑇 β‰  𝑍))
6 eqid 2732 . . . 4 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
7 eqid 2732 . . . 4 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
86, 7, 3lnof 30263 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘Š))
96, 7, 1nmoxr 30274 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ*)
106, 7, 1nmooge0 30275 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘‡))
11 0xr 11265 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
12 xrlttri2 13125 . . . . . . 7 (((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) β‰  0 ↔ ((π‘β€˜π‘‡) < 0 ∨ 0 < (π‘β€˜π‘‡))))
1311, 12mpan2 689 . . . . . 6 ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ* β†’ ((π‘β€˜π‘‡) β‰  0 ↔ ((π‘β€˜π‘‡) < 0 ∨ 0 < (π‘β€˜π‘‡))))
1413adantr 481 . . . . 5 (((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘β€˜π‘‡)) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) β‰  0 ↔ ((π‘β€˜π‘‡) < 0 ∨ 0 < (π‘β€˜π‘‡))))
15 xrlenlt 11283 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ*) β†’ (0 ≀ (π‘β€˜π‘‡) ↔ Β¬ (π‘β€˜π‘‡) < 0))
1611, 15mpan 688 . . . . . . 7 ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ* β†’ (0 ≀ (π‘β€˜π‘‡) ↔ Β¬ (π‘β€˜π‘‡) < 0))
1716biimpa 477 . . . . . 6 (((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘β€˜π‘‡)) β†’ Β¬ (π‘β€˜π‘‡) < 0)
18 biorf 935 . . . . . 6 (Β¬ (π‘β€˜π‘‡) < 0 β†’ (0 < (π‘β€˜π‘‡) ↔ ((π‘β€˜π‘‡) < 0 ∨ 0 < (π‘β€˜π‘‡))))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘β€˜π‘‡)) β†’ (0 < (π‘β€˜π‘‡) ↔ ((π‘β€˜π‘‡) < 0 ∨ 0 < (π‘β€˜π‘‡))))
2014, 19bitr4d 281 . . . 4 (((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘β€˜π‘‡)) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) β‰  0 ↔ 0 < (π‘β€˜π‘‡)))
219, 10, 20syl2anc 584 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) β‰  0 ↔ 0 < (π‘β€˜π‘‡)))
228, 21syld3an3 1409 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) β‰  0 ↔ 0 < (π‘β€˜π‘‡)))
235, 22bitr3d 280 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (𝑇 β‰  𝑍 ↔ 0 < (π‘β€˜π‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  NrmCVeccnv 30092  BaseSetcba 30094   LnOp clno 30248   normOpOLD cnmoo 30249   0op c0o 30251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-grpo 30001  df-gid 30002  df-ginv 30003  df-ablo 30053  df-vc 30067  df-nv 30100  df-va 30103  df-ba 30104  df-sm 30105  df-0v 30106  df-nmcv 30108  df-lno 30252  df-nmoo 30253  df-0o 30255
This theorem is referenced by:  blocni  30313
  Copyright terms: Public domain W3C validator