MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlnogt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmlnogt0 30826
Description: The norm of a nonzero linear operator is positive. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlnogt0.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlnogt0.0 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
nmlnogt0.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmlnogt0 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑍 ↔ 0 < (𝑁𝑇)))

Proof of Theorem nmlnogt0
StepHypRef Expression
1 nmlnogt0.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
2 nmlnogt0.0 . . . 4 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
3 nmlnogt0.7 . . . 4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
41, 2, 3nmlno0 30824 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → ((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍))
54necon3bid 2983 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇𝑍))
6 eqid 2735 . . . 4 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
7 eqid 2735 . . . 4 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
86, 7, 3lnof 30784 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊))
96, 7, 1nmoxr 30795 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊)) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
106, 7, 1nmooge0 30796 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊)) → 0 ≤ (𝑁𝑇))
11 0xr 11306 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
12 xrlttri2 13181 . . . . . . 7 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ ((𝑁𝑇) < 0 ∨ 0 < (𝑁𝑇))))
1311, 12mpan2 691 . . . . . 6 ((𝑁𝑇) ∈ ℝ* → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ ((𝑁𝑇) < 0 ∨ 0 < (𝑁𝑇))))
1413adantr 480 . . . . 5 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝑇)) → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ ((𝑁𝑇) < 0 ∨ 0 < (𝑁𝑇))))
15 xrlenlt 11324 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝑁𝑇) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑁𝑇) ↔ ¬ (𝑁𝑇) < 0))
1611, 15mpan 690 . . . . . . 7 ((𝑁𝑇) ∈ ℝ* → (0 ≤ (𝑁𝑇) ↔ ¬ (𝑁𝑇) < 0))
1716biimpa 476 . . . . . 6 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝑇)) → ¬ (𝑁𝑇) < 0)
18 biorf 936 . . . . . 6 (¬ (𝑁𝑇) < 0 → (0 < (𝑁𝑇) ↔ ((𝑁𝑇) < 0 ∨ 0 < (𝑁𝑇))))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝑇)) → (0 < (𝑁𝑇) ↔ ((𝑁𝑇) < 0 ∨ 0 < (𝑁𝑇))))
2014, 19bitr4d 282 . . . 4 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝑇)) → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁𝑇)))
219, 10, 20syl2anc 584 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊)) → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁𝑇)))
228, 21syld3an3 1408 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → ((𝑁𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁𝑇)))
235, 22bitr3d 281 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑍 ↔ 0 < (𝑁𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  NrmCVeccnv 30613  BaseSetcba 30615   LnOp clno 30769   normOpOLD cnmoo 30770   0op c0o 30772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629  df-lno 30773  df-nmoo 30774  df-0o 30776
This theorem is referenced by:  blocni  30834
  Copyright terms: Public domain W3C validator