MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lno0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lno0 29118
Description: The value of a linear operator at zero is zero. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lno0.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lno0.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
lno0.5 𝑄 = (0vec𝑈)
lno0.z 𝑍 = (0vec𝑊)
lno0.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
lno0 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑄) = 𝑍)

Proof of Theorem lno0
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12087 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
21a1i 11 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → -1 ∈ ℂ)
3 lno0.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 lno0.5 . . . . . 6 𝑄 = (0vec𝑈)
53, 4nvzcl 28996 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑄𝑋)
653ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑄𝑋)
72, 6, 63jca 1127 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (-1 ∈ ℂ ∧ 𝑄𝑋𝑄𝑋))
8 lno0.2 . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
9 eqid 2738 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
10 eqid 2738 . . . 4 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
11 eqid 2738 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
12 eqid 2738 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
13 lno0.7 . . . 4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
143, 8, 9, 10, 11, 12, 13lnolin 29116 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝑄𝑋𝑄𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑄))( +𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
157, 14mpdan 684 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑄))( +𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
163, 9, 11, 4nvlinv 29014 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄𝑋) → ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄) = 𝑄)
175, 16mpdan 684 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄) = 𝑄)
1817fveq2d 6778 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄)) = (𝑇𝑄))
19183ad2ant1 1132 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄)) = (𝑇𝑄))
20 simp2 1136 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
213, 8, 13lnof 29117 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋𝑌)
2221, 6ffvelrnd 6962 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑄) ∈ 𝑌)
23 lno0.z . . . 4 𝑍 = (0vec𝑊)
248, 10, 12, 23nvlinv 29014 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑄) ∈ 𝑌) → ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑄))( +𝑣𝑊)(𝑇𝑄)) = 𝑍)
2520, 22, 24syl2anc 584 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑄))( +𝑣𝑊)(𝑇𝑄)) = 𝑍)
2615, 19, 253eqtr3d 2786 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑄) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  1c1 10872  -cneg 11206  NrmCVeccnv 28946   +𝑣 cpv 28947  BaseSetcba 28948   ·𝑠OLD cns 28949  0veccn0v 28950   LnOp clno 29102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-nmcv 28962  df-lno 29106
This theorem is referenced by:  lnomul  29122  nmlno0lem  29155  nmlnoubi  29158  lnon0  29160  nmblolbii  29161  blocnilem  29166
  Copyright terms: Public domain W3C validator