Theorem lno0 30737

Description: The value of a linear operator at zero is zero. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lno0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lno0.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
lno0.5	⊢ 𝑄 = (0vec‘𝑈)
lno0.z	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑊)
lno0.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lno0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑄) = 𝑍)

Proof of Theorem lno0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12354	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → -1 ∈ ℂ)
3		lno0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		lno0.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0vec‘𝑈)
5	3, 4	nvzcl 30615	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑄 ∈ 𝑋)
6	5	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑄 ∈ 𝑋)
7	2, 6, 6	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (-1 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋))
8		lno0.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
10		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
11		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
12		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
13		lno0.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
14	3, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lnolin 30735	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
15	7, 14	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
16	3, 9, 11, 4	nvlinv 30633	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄) = 𝑄)
17	5, 16	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄) = 𝑄)
18	17	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = (𝑇‘𝑄))
19	18	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = (𝑇‘𝑄))
20		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
21	3, 8, 13	lnof 30736	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
22	21, 6	ffvelcdmd 7075	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌)
23		lno0.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑊)
24	8, 10, 12, 23	nvlinv 30633	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)) = 𝑍)
25	20, 22, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)) = 𝑍)
26	15, 19, 25	3eqtr3d 2778	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑄) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  1c1 11130  -cneg 11467  NrmCVeccnv 30565   +_𝑣 cpv 30566  BaseSetcba 30567   ·_𝑠OLD cns 30568  0_veccn0v 30569   LnOp clno 30721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-grpo 30474  df-gid 30475  df-ginv 30476  df-ablo 30526  df-vc 30540  df-nv 30573  df-va 30576  df-ba 30577  df-sm 30578  df-0v 30579  df-nmcv 30581  df-lno 30725

This theorem is referenced by:  lnomul  30741  nmlno0lem  30774  nmlnoubi  30777  lnon0  30779  nmblolbii  30780  blocnilem  30785