Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lno0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lno0 28525
 Description: The value of a linear operator at zero is zero. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lno0.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lno0.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
lno0.5 𝑄 = (0vec𝑈)
lno0.z 𝑍 = (0vec𝑊)
lno0.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
lno0 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑄) = 𝑍)

Proof of Theorem lno0
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11743 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
21a1i 11 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → -1 ∈ ℂ)
3 lno0.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 lno0.5 . . . . . 6 𝑄 = (0vec𝑈)
53, 4nvzcl 28403 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑄𝑋)
653ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑄𝑋)
72, 6, 63jca 1123 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (-1 ∈ ℂ ∧ 𝑄𝑋𝑄𝑋))
8 lno0.2 . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
9 eqid 2819 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
10 eqid 2819 . . . 4 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
11 eqid 2819 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
12 eqid 2819 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
13 lno0.7 . . . 4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
143, 8, 9, 10, 11, 12, 13lnolin 28523 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝑄𝑋𝑄𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑄))( +𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
157, 14mpdan 685 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑄))( +𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
163, 9, 11, 4nvlinv 28421 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄𝑋) → ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄) = 𝑄)
175, 16mpdan 685 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄) = 𝑄)
1817fveq2d 6667 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄)) = (𝑇𝑄))
19183ad2ant1 1128 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄)) = (𝑇𝑄))
20 simp2 1132 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
213, 8, 13lnof 28524 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋𝑌)
2221, 6ffvelrnd 6845 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑄) ∈ 𝑌)
23 lno0.z . . . 4 𝑍 = (0vec𝑊)
248, 10, 12, 23nvlinv 28421 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑄) ∈ 𝑌) → ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑄))( +𝑣𝑊)(𝑇𝑄)) = 𝑍)
2520, 22, 24syl2anc 586 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑄))( +𝑣𝑊)(𝑇𝑄)) = 𝑍)
2615, 19, 253eqtr3d 2862 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑄) = 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  1c1 10530  -cneg 10863  NrmCVeccnv 28353   +𝑣 cpv 28354  BaseSetcba 28355   ·𝑠OLD cns 28356  0veccn0v 28357   LnOp clno 28509 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sub 10864  df-neg 10865  df-grpo 28262  df-gid 28263  df-ginv 28264  df-ablo 28314  df-vc 28328  df-nv 28361  df-va 28364  df-ba 28365  df-sm 28366  df-0v 28367  df-nmcv 28369  df-lno 28513 This theorem is referenced by:  lnomul  28529  nmlno0lem  28562  nmlnoubi  28565  lnon0  28567  nmblolbii  28568  blocnilem  28573
 Copyright terms: Public domain W3C validator