Theorem lno0 30845

Description: The value of a linear operator at zero is zero. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lno0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lno0.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
lno0.5	⊢ 𝑄 = (0vec‘𝑈)
lno0.z	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑊)
lno0.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lno0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑄) = 𝑍)

Proof of Theorem lno0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12135	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → -1 ∈ ℂ)
3		lno0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		lno0.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0vec‘𝑈)
5	3, 4	nvzcl 30723	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑄 ∈ 𝑋)
6	5	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑄 ∈ 𝑋)
7	2, 6, 6	3jca 1134	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (-1 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋))
8		lno0.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
9		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
10		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
11		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
12		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
13		lno0.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
14	3, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lnolin 30843	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
15	7, 14	mpdan 693	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
16	3, 9, 11, 4	nvlinv 30741	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄) = 𝑄)
17	5, 16	mpdan 693	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄) = 𝑄)
18	17	fveq2d 6831	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = (𝑇‘𝑄))
19	18	3ad2ant1 1139	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = (𝑇‘𝑄))
20		simp2 1143	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
21	3, 8, 13	lnof 30844	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
22	21, 6	ffvelcdmd 7026	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌)
23		lno0.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑊)
24	8, 10, 12, 23	nvlinv 30741	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)) = 𝑍)
25	20, 22, 24	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)) = 𝑍)
26	15, 19, 25	3eqtr3d 2782	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑄) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  1c1 11030  -cneg 11369  NrmCVeccnv 30673   +_𝑣 cpv 30674  BaseSetcba 30675   ·_𝑠OLD cns 30676  0_veccn0v 30677   LnOp clno 30829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-nmcv 30689  df-lno 30833

This theorem is referenced by:  lnomul  30849  nmlno0lem  30882  nmlnoubi  30885  lnon0  30887  nmblolbii  30888  blocnilem  30893