Theorem lno0 31404

Description: The value of a linear operator at zero is zero. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lno0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lno0.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
lno0.5	⊢ 𝑄 = (0vec‘𝑈)
lno0.z	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑊)
lno0.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lno0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑄) = 𝑍)

Proof of Theorem lno0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12343	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → -1 ∈ ℂ)
3		lno0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		lno0.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0vec‘𝑈)
5	3, 4	nvzcl 31282	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑄 ∈ 𝑋)
6	5	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑄 ∈ 𝑋)
7	2, 6, 6	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ( -1 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋))
8		lno0.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
12		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
13		lno0.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
14	3, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lnolin 31402	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ ( -1 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = (( -1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
15	7, 14	mpdan 700	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘(( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = (( -1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
16	3, 9, 11, 4	nvlinv 31300	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄) = 𝑄)
17	5, 16	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄) = 𝑄)
18	17	fveq2d 6918	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑇‘(( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = (𝑇‘𝑄))
19	18	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘(( -1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = (𝑇‘𝑄))
20		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
21	3, 8, 13	lnof 31403	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
22	21, 6	ffvelcdmd 7115	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌)
23		lno0.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑊)
24	8, 10, 12, 23	nvlinv 31300	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌) → (( -1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)) = 𝑍)
25	20, 22, 24	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (( -1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)) = 𝑍)
26	15, 19, 25	3eqtr3d 2806	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑄) = 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  1c1 11238   -cneg 11579  NrmCVeccnv 31232   +_𝑣 cpv 31233  BaseSetcba 31234   ·_𝑠OLD cns 31235  0_veccn0v 31236   LnOp clno 31388

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-er 8753  df-map 8885  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-ltxr 11385  df-sub 11580  df-neg 11581  df-grpo 31141  df-gid 31142  df-ginv 31143  df-ablo 31193  df-vc 31207  df-nv 31240  df-va 31243  df-ba 31244  df-sm 31245  df-0v 31246  df-nmcv 31248  df-lno 31392

This theorem is used by:  lnomul  31408  nmlno0lem  31441  nmlnoubi  31444  lnon0  31446  nmblolbii  31447  blocnilem  31452