MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lno0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lno0 30785
Description: The value of a linear operator at zero is zero. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lno0.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lno0.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
lno0.5 𝑄 = (0vec𝑈)
lno0.z 𝑍 = (0vec𝑊)
lno0.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
lno0 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑄) = 𝑍)

Proof of Theorem lno0
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12378 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
21a1i 11 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → -1 ∈ ℂ)
3 lno0.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 lno0.5 . . . . . 6 𝑄 = (0vec𝑈)
53, 4nvzcl 30663 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑄𝑋)
653ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑄𝑋)
72, 6, 63jca 1127 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (-1 ∈ ℂ ∧ 𝑄𝑋𝑄𝑋))
8 lno0.2 . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
9 eqid 2735 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
10 eqid 2735 . . . 4 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
11 eqid 2735 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
12 eqid 2735 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
13 lno0.7 . . . 4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
143, 8, 9, 10, 11, 12, 13lnolin 30783 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝑄𝑋𝑄𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑄))( +𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
157, 14mpdan 687 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑄))( +𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
163, 9, 11, 4nvlinv 30681 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄𝑋) → ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄) = 𝑄)
175, 16mpdan 687 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄) = 𝑄)
1817fveq2d 6911 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄)) = (𝑇𝑄))
19183ad2ant1 1132 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄)) = (𝑇𝑄))
20 simp2 1136 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
213, 8, 13lnof 30784 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋𝑌)
2221, 6ffvelcdmd 7105 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑄) ∈ 𝑌)
23 lno0.z . . . 4 𝑍 = (0vec𝑊)
248, 10, 12, 23nvlinv 30681 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑄) ∈ 𝑌) → ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑄))( +𝑣𝑊)(𝑇𝑄)) = 𝑍)
2520, 22, 24syl2anc 584 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑄))( +𝑣𝑊)(𝑇𝑄)) = 𝑍)
2615, 19, 253eqtr3d 2783 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑄) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154  -cneg 11491  NrmCVeccnv 30613   +𝑣 cpv 30614  BaseSetcba 30615   ·𝑠OLD cns 30616  0veccn0v 30617   LnOp clno 30769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629  df-lno 30773
This theorem is referenced by:  lnomul  30789  nmlno0lem  30822  nmlnoubi  30825  lnon0  30827  nmblolbii  30828  blocnilem  30833
  Copyright terms: Public domain W3C validator