Theorem lno0 30692

Description: The value of a linear operator at zero is zero. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lno0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lno0.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
lno0.5	⊢ 𝑄 = (0vec‘𝑈)
lno0.z	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑊)
lno0.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lno0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑄) = 𝑍)

Proof of Theorem lno0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12178	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → -1 ∈ ℂ)
3		lno0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		lno0.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (0vec‘𝑈)
5	3, 4	nvzcl 30570	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑄 ∈ 𝑋)
6	5	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑄 ∈ 𝑋)
7	2, 6, 6	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (-1 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋))
8		lno0.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
9		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
10		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
11		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
12		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
13		lno0.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
14	3, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lnolin 30690	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
15	7, 14	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
16	3, 9, 11, 4	nvlinv 30588	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄) = 𝑄)
17	5, 16	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄) = 𝑄)
18	17	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = (𝑇‘𝑄))
19	18	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑄)( +𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = (𝑇‘𝑄))
20		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
21	3, 8, 13	lnof 30691	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
22	21, 6	ffvelcdmd 7060	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌)
23		lno0.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑊)
24	8, 10, 12, 23	nvlinv 30588	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)) = 𝑍)
25	20, 22, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)) = 𝑍)
26	15, 19, 25	3eqtr3d 2773	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑄) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  1c1 11076  -cneg 11413  NrmCVeccnv 30520   +_𝑣 cpv 30521  BaseSetcba 30522   ·_𝑠OLD cns 30523  0_veccn0v 30524   LnOp clno 30676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-neg 11415  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-nmcv 30536  df-lno 30680

This theorem is referenced by:  lnomul  30696  nmlno0lem  30729  nmlnoubi  30732  lnon0  30734  nmblolbii  30735  blocnilem  30740