MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lno0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lno0 30276
Description: The value of a linear operator at zero is zero. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lno0.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
lno0.2 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
lno0.5 𝑄 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
lno0.z 𝑍 = (0vecβ€˜π‘Š)
lno0.7 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lno0 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (π‘‡β€˜π‘„) = 𝑍)
Proof of Theorem lno0
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12330 . . . . 5 -1 ∈ β„‚
21a1i 11 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ -1 ∈ β„‚)
3 lno0.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 lno0.5 . . . . . 6 𝑄 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
53, 4nvzcl 30154 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
653ad2ant1 1131 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
72, 6, 63jca 1126 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋))
8 lno0.2 . . . 4 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
9 eqid 2730 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
10 eqid 2730 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
11 eqid 2730 . . . 4 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
12 eqid 2730 . . . 4 ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
13 lno0.7 . . . 4 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
143, 8, 9, 10, 11, 12, 13lnolin 30274 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑄)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑄)) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„)))
157, 14mpdan 683 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (π‘‡β€˜((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑄)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑄)) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„)))
163, 9, 11, 4nvlinv 30172 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑄)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑄) = 𝑄)
175, 16mpdan 683 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑄)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑄) = 𝑄)
1817fveq2d 6894 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘‡β€˜((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑄)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑄)) = (π‘‡β€˜π‘„))
19183ad2ant1 1131 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (π‘‡β€˜((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑄)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝑄)) = (π‘‡β€˜π‘„))
20 simp2 1135 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
213, 8, 13lnof 30275 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
2221, 6ffvelcdmd 7086 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (π‘‡β€˜π‘„) ∈ π‘Œ)
23 lno0.z . . . 4 𝑍 = (0vecβ€˜π‘Š)
248, 10, 12, 23nvlinv 30172 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (π‘‡β€˜π‘„) ∈ π‘Œ) β†’ ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„)) = 𝑍)
2520, 22, 24syl2anc 582 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„)) = 𝑍)
2615, 19, 253eqtr3d 2778 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (π‘‡β€˜π‘„) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  1c1 11113  -cneg 11449  NrmCVeccnv 30104   +𝑣 cpv 30105  BaseSetcba 30106   ·𝑠OLD cns 30107  0veccn0v 30108   LnOp clno 30260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-nmcv 30120  df-lno 30264
This theorem is referenced by:  lnomul  30280  nmlno0lem  30313  nmlnoubi  30316  lnon0  30318  nmblolbii  30319  blocnilem  30324
  Copyright terms: Public domain W3C validator