MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lno0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lno0 28460
Description: The value of a linear operator at zero is zero. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lno0.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lno0.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
lno0.5 𝑄 = (0vec𝑈)
lno0.z 𝑍 = (0vec𝑊)
lno0.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
lno0 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑄) = 𝑍)

Proof of Theorem lno0
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11739 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
21a1i 11 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → -1 ∈ ℂ)
3 lno0.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 lno0.5 . . . . . 6 𝑄 = (0vec𝑈)
53, 4nvzcl 28338 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑄𝑋)
653ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑄𝑋)
72, 6, 63jca 1120 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (-1 ∈ ℂ ∧ 𝑄𝑋𝑄𝑋))
8 lno0.2 . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
9 eqid 2818 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
10 eqid 2818 . . . 4 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
11 eqid 2818 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
12 eqid 2818 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
13 lno0.7 . . . 4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
143, 8, 9, 10, 11, 12, 13lnolin 28458 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝑄𝑋𝑄𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑄))( +𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
157, 14mpdan 683 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑄))( +𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
163, 9, 11, 4nvlinv 28356 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑄𝑋) → ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄) = 𝑄)
175, 16mpdan 683 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄) = 𝑄)
1817fveq2d 6667 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄)) = (𝑇𝑄))
19183ad2ant1 1125 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑄)( +𝑣𝑈)𝑄)) = (𝑇𝑄))
20 simp2 1129 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
213, 8, 13lnof 28459 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋𝑌)
2221, 6ffvelrnd 6844 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑄) ∈ 𝑌)
23 lno0.z . . . 4 𝑍 = (0vec𝑊)
248, 10, 12, 23nvlinv 28356 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑄) ∈ 𝑌) → ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑄))( +𝑣𝑊)(𝑇𝑄)) = 𝑍)
2520, 22, 24syl2anc 584 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑄))( +𝑣𝑊)(𝑇𝑄)) = 𝑍)
2615, 19, 253eqtr3d 2861 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑄) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  1c1 10526  -cneg 10859  NrmCVeccnv 28288   +𝑣 cpv 28289  BaseSetcba 28290   ·𝑠OLD cns 28291  0veccn0v 28292   LnOp clno 28444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860  df-neg 10861  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ginv 28199  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-nmcv 28304  df-lno 28448
This theorem is referenced by:  lnomul  28464  nmlno0lem  28497  nmlnoubi  28500  lnon0  28502  nmblolbii  28503  blocnilem  28508
  Copyright terms: Public domain W3C validator