Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlnoubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmlnoubi 28555
 Description: An upper bound for the operator norm of a linear operator, using only the properties of nonzero arguments. (Contributed by NM, 1-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlnoubi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmlnoubi.z 𝑍 = (0vec𝑈)
nmlnoubi.k 𝐾 = (normCV𝑈)
nmlnoubi.m 𝑀 = (normCV𝑊)
nmlnoubi.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlnoubi.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
nmlnoubi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmlnoubi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmlnoubi ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))) → (𝑁𝑇) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem nmlnoubi
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6649 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) = (𝑀‘(𝑇𝑍)))
2 fveq2 6644 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑍 → (𝐾𝑥) = (𝐾𝑍))
32oveq2d 7147 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑍 → (𝐴 · (𝐾𝑥)) = (𝐴 · (𝐾𝑍)))
41, 3breq12d 5053 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑍 → ((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝑇𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑍))))
5 id 22 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))) → (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))))
65imp 409 . . . . . . 7 (((𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))) ∧ 𝑥𝑍) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))
76adantll 712 . . . . . 6 ((((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))) ∧ 𝑥𝑍) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))
8 0le0 11715 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
9 nmlnoubi.u . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 ∈ NrmCVec
10 nmlnoubi.w . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 ∈ NrmCVec
11 nmlnoubi.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
12 eqid 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
13 nmlnoubi.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (0vec𝑈)
14 eqid 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
15 nmlnoubi.7 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
1611, 12, 13, 14, 15lno0 28515 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑍) = (0vec𝑊))
179, 10, 16mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇𝐿 → (𝑇𝑍) = (0vec𝑊))
1817fveq2d 6648 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝐿 → (𝑀‘(𝑇𝑍)) = (𝑀‘(0vec𝑊)))
19 nmlnoubi.m . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = (normCV𝑊)
2014, 19nvz0 28427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑀‘(0vec𝑊)) = 0)
2110, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑀‘(0vec𝑊)) = 0
2218, 21syl6eq 2871 . . . . . . . . . 10 (𝑇𝐿 → (𝑀‘(𝑇𝑍)) = 0)
2322adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑇𝑍)) = 0)
24 nmlnoubi.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (normCV𝑈)
2513, 24nvz0 28427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐾𝑍) = 0)
269, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾𝑍) = 0
2726oveq2i 7142 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 · (𝐾𝑍)) = (𝐴 · 0)
28 recn 10603 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2928mul01d 10815 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
3027, 29syl5eq 2867 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (𝐾𝑍)) = 0)
3130ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · (𝐾𝑍)) = 0)
3223, 31breq12d 5053 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝑇𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑍)) ↔ 0 ≤ 0))
338, 32mpbiri 260 . . . . . . 7 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑇𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑍)))
3433adantr 483 . . . . . 6 (((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))) → (𝑀‘(𝑇𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑍)))
354, 7, 34pm2.61ne 3091 . . . . 5 (((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))
3635ex 415 . . . 4 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))))
3736ralimdv 3165 . . 3 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))) → ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))))
38373impia 1113 . 2 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))) → ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))
3911, 12, 15lnof 28514 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
409, 10, 39mp3an12 1447 . . 3 (𝑇𝐿𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
41 nmlnoubi.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
4211, 12, 24, 19, 41, 9, 10nmoub2i 28533 . . 3 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))) → (𝑁𝑇) ≤ 𝐴)
4340, 42syl3an1 1159 . 2 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))) → (𝑁𝑇) ≤ 𝐴)
4438, 43syld3an3 1405 1 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))) → (𝑁𝑇) ≤ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  ∀wral 3125   class class class wbr 5040  ⟶wf 6325  ‘cfv 6329  (class class class)co 7131  ℝcr 10512  0cc0 10513   · cmul 10518   ≤ cle 10652  NrmCVeccnv 28343  BaseSetcba 28345  0veccn0v 28347  normCVcnmcv 28349   LnOp clno 28499   normOpOLD cnmoo 28500 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590  ax-pre-sup 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-er 8265  df-map 8384  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-sup 8882  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-div 11274  df-nn 11615  df-2 11677  df-3 11678  df-n0 11875  df-z 11959  df-uz 12221  df-rp 12367  df-seq 13352  df-exp 13413  df-cj 14436  df-re 14437  df-im 14438  df-sqrt 14572  df-abs 14573  df-grpo 28252  df-gid 28253  df-ginv 28254  df-ablo 28304  df-vc 28318  df-nv 28351  df-va 28354  df-ba 28355  df-sm 28356  df-0v 28357  df-nmcv 28359  df-lno 28503  df-nmoo 28504 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator