Theorem nmlnoubi 30828

Description: An upper bound for the operator norm of a linear operator, using only the properties of nonzero arguments. (Contributed by NM, 1-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmlnoubi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmlnoubi.z	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nmlnoubi.k	⊢ 𝐾 = (normCV‘𝑈)
nmlnoubi.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmlnoubi.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlnoubi.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
nmlnoubi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmlnoubi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmlnoubi	⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem nmlnoubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑍)))
2		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝐾‘𝑥) = (𝐾‘𝑍))
3	2	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝐴 · (𝐾‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐾‘𝑍)))
4	1, 3	breq12d 5179	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍))))
5		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))))
6	5	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑍) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
7	6	adantll 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑍) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
8		0le0 12394	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
9		nmlnoubi.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
10		nmlnoubi.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
11		nmlnoubi.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
12		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
13		nmlnoubi.z	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
14		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
15		nmlnoubi.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
16	11, 12, 13, 14, 15	lno0 30788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑍) = (0vec‘𝑊))
17	9, 10, 16	mp3an12 1451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑇‘𝑍) = (0vec‘𝑊))
18	17	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑀‘(0vec‘𝑊)))
19		nmlnoubi.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
20	14, 19	nvz0 30700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑀‘(0vec‘𝑊)) = 0)
21	10, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀‘(0vec‘𝑊)) = 0
22	18, 21	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) = 0)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) = 0)
24		nmlnoubi.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (normCV‘𝑈)
25	13, 24	nvz0 30700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐾‘𝑍) = 0)
26	9, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾‘𝑍) = 0
27	26	oveq2i 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) = (𝐴 · 0)
28		recn 11274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28	mul01d 11489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
30	27, 29	eqtrid 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) = 0)
31	30	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) = 0)
32	23, 31	breq12d 5179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) ↔ 0 ≤ 0))
33	8, 32	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)))
35	4, 7, 34	pm2.61ne 3033	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
36	35	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))))
37	36	ralimdv 3175	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))))
38	37	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
39	11, 12, 15	lnof 30787	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
40	9, 10, 39	mp3an12 1451	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
41		nmlnoubi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
42	11, 12, 24, 19, 41, 9, 10	nmoub2i 30806	. . 3 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)
43	40, 42	syl3an1 1163	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)
44	38, 43	syld3an3 1409	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   class class class wbr 5166  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184   · cmul 11189   ≤ cle 11325  NrmCVeccnv 30616  BaseSetcba 30618  0_veccn0v 30620  norm_CVcnmcv 30622   LnOp clno 30772   normOp_OLD cnmoo 30773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-grpo 30525  df-gid 30526  df-ginv 30527  df-ablo 30577  df-vc 30591  df-nv 30624  df-va 30627  df-ba 30628  df-sm 30629  df-0v 30630  df-nmcv 30632  df-lno 30776  df-nmoo 30777

This theorem is referenced by: (None)