Theorem nmlnoubi 31157

Description: An upper bound for the operator norm of a linear operator, using only the properties of nonzero arguments. (Contributed by NM, 1-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmlnoubi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmlnoubi.z	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nmlnoubi.k	⊢ 𝐾 = (normCV‘𝑈)
nmlnoubi.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmlnoubi.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlnoubi.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
nmlnoubi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmlnoubi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmlnoubi	⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem nmlnoubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑍)))
2		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝐾‘𝑥) = (𝐾‘𝑍))
3	2	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝐴 · (𝐾‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐾‘𝑍)))
4	1, 3	breq12d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍))))
5		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))))
6	5	imp 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑍) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
7	6	adantll 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑍) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
8		0le0 12346	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
9		nmlnoubi.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
10		nmlnoubi.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
11		nmlnoubi.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
12		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
13		nmlnoubi.z	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
14		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
15		nmlnoubi.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
16	11, 12, 13, 14, 15	lno0 31117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑍) = (0vec‘𝑊))
17	9, 10, 16	mp3an12 1480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑇‘𝑍) = (0vec‘𝑊))
18	17	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑀‘(0vec‘𝑊)))
19		nmlnoubi.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
20	14, 19	nvz0 31029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑀‘(0vec‘𝑊)) = 0)
21	10, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀‘(0vec‘𝑊)) = 0
22	18, 21	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) = 0)
23	22	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) = 0)
24		nmlnoubi.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (normCV‘𝑈)
25	13, 24	nvz0 31029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐾‘𝑍) = 0)
26	9, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾‘𝑍) = 0
27	26	oveq2i 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) = (𝐴 · 0)
28		recn 11194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28	mul01d 11413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
30	27, 29	eqtrid 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) = 0)
31	30	ad2antrl 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) = 0)
32	23, 31	breq12d 5122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) ↔ 0 ≤ 0))
33	8, 32	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)))
34	33	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)))
35	4, 7, 34	pm2.61ne 3043	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
36	35	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))))
37	36	ralimdv 3179	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))))
38	37	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
39	11, 12, 15	lnof 31116	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
40	9, 10, 39	mp3an12 1480	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
41		nmlnoubi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
42	11, 12, 24, 19, 41, 9, 10	nmoub2i 31135	. . 3 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)
43	40, 42	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)
44	38, 43	syld3an3 1436	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   class class class wbr 5109  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  0cc0 11104   · cmul 11109   ≤ cle 11248  NrmCVeccnv 30945  BaseSetcba 30947  0_veccn0v 30949  norm_CVcnmcv 30951   LnOp clno 31101   normOp_OLD cnmoo 31102

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-grpo 30854  df-gid 30855  df-ginv 30856  df-ablo 30906  df-vc 30920  df-nv 30953  df-va 30956  df-ba 30957  df-sm 30958  df-0v 30959  df-nmcv 30961  df-lno 31105  df-nmoo 31106

This theorem is used by: (None)