Theorem nmlnoubi 28579

Description: An upper bound for the operator norm of a linear operator, using only the properties of nonzero arguments. (Contributed by NM, 1-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmlnoubi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmlnoubi.z	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
nmlnoubi.k	⊢ 𝐾 = (normCV‘𝑈)
nmlnoubi.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmlnoubi.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlnoubi.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
nmlnoubi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmlnoubi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmlnoubi	⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem nmlnoubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6650	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) = (𝑀‘(𝑇‘𝑍)))
2		fveq2 6645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝐾‘𝑥) = (𝐾‘𝑍))
3	2	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝐴 · (𝐾‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐾‘𝑍)))
4	1, 3	breq12d 5043	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍))))
5		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))))
6	5	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑍) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
7	6	adantll 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑍) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
8		0le0 11726	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
9		nmlnoubi.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
10		nmlnoubi.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
11		nmlnoubi.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
12		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
13		nmlnoubi.z	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
14		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
15		nmlnoubi.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
16	11, 12, 13, 14, 15	lno0 28539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑍) = (0vec‘𝑊))
17	9, 10, 16	mp3an12 1448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑇‘𝑍) = (0vec‘𝑊))
18	17	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) = (𝑀‘(0vec‘𝑊)))
19		nmlnoubi.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
20	14, 19	nvz0 28451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑀‘(0vec‘𝑊)) = 0)
21	10, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀‘(0vec‘𝑊)) = 0
22	18, 21	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) = 0)
23	22	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) = 0)
24		nmlnoubi.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (normCV‘𝑈)
25	13, 24	nvz0 28451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐾‘𝑍) = 0)
26	9, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾‘𝑍) = 0
27	26	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) = (𝐴 · 0)
28		recn 10616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28	mul01d 10828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
30	27, 29	syl5eq 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) = 0)
31	30	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) = 0)
32	23, 31	breq12d 5043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)) ↔ 0 ≤ 0))
33	8, 32	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)))
34	33	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑀‘(𝑇‘𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑍)))
35	4, 7, 34	pm2.61ne 3072	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
36	35	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))))
37	36	ralimdv 3145	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))))
38	37	3impia 1114	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))
39	11, 12, 15	lnof 28538	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
40	9, 10, 39	mp3an12 1448	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
41		nmlnoubi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
42	11, 12, 24, 19, 41, 9, 10	nmoub2i 28557	. . 3 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)
43	40, 42	syl3an1 1160	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)
44	38, 43	syld3an3 1406	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑍 → (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾‘𝑥)))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106   class class class wbr 5030  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526   · cmul 10531   ≤ cle 10665  NrmCVeccnv 28367  BaseSetcba 28369  0_veccn0v 28371  norm_CVcnmcv 28373   LnOp clno 28523   normOp_OLD cnmoo 28524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-grpo 28276  df-gid 28277  df-ginv 28278  df-ablo 28328  df-vc 28342  df-nv 28375  df-va 28378  df-ba 28379  df-sm 28380  df-0v 28381  df-nmcv 28383  df-lno 28527  df-nmoo 28528

This theorem is referenced by: (None)