MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlnoubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmlnoubi 30815
Description: An upper bound for the operator norm of a linear operator, using only the properties of nonzero arguments. (Contributed by NM, 1-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlnoubi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmlnoubi.z 𝑍 = (0vec𝑈)
nmlnoubi.k 𝐾 = (normCV𝑈)
nmlnoubi.m 𝑀 = (normCV𝑊)
nmlnoubi.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlnoubi.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
nmlnoubi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmlnoubi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmlnoubi ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))) → (𝑁𝑇) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem nmlnoubi
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6911 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) = (𝑀‘(𝑇𝑍)))
2 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑍 → (𝐾𝑥) = (𝐾𝑍))
32oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑍 → (𝐴 · (𝐾𝑥)) = (𝐴 · (𝐾𝑍)))
41, 3breq12d 5156 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑍 → ((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝑇𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑍))))
5 id 22 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))) → (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))))
65imp 406 . . . . . . 7 (((𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))) ∧ 𝑥𝑍) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))
76adantll 714 . . . . . 6 ((((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))) ∧ 𝑥𝑍) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))
8 0le0 12367 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
9 nmlnoubi.u . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 ∈ NrmCVec
10 nmlnoubi.w . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 ∈ NrmCVec
11 nmlnoubi.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
12 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
13 nmlnoubi.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (0vec𝑈)
14 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
15 nmlnoubi.7 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
1611, 12, 13, 14, 15lno0 30775 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑍) = (0vec𝑊))
179, 10, 16mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇𝐿 → (𝑇𝑍) = (0vec𝑊))
1817fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝐿 → (𝑀‘(𝑇𝑍)) = (𝑀‘(0vec𝑊)))
19 nmlnoubi.m . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = (normCV𝑊)
2014, 19nvz0 30687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑀‘(0vec𝑊)) = 0)
2110, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑀‘(0vec𝑊)) = 0
2218, 21eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑇𝐿 → (𝑀‘(𝑇𝑍)) = 0)
2322adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑇𝑍)) = 0)
24 nmlnoubi.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (normCV𝑈)
2513, 24nvz0 30687 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐾𝑍) = 0)
269, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾𝑍) = 0
2726oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 · (𝐾𝑍)) = (𝐴 · 0)
28 recn 11245 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2928mul01d 11460 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
3027, 29eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (𝐾𝑍)) = 0)
3130ad2antrl 728 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · (𝐾𝑍)) = 0)
3223, 31breq12d 5156 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝑇𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑍)) ↔ 0 ≤ 0))
338, 32mpbiri 258 . . . . . . 7 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑇𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑍)))
3433adantr 480 . . . . . 6 (((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))) → (𝑀‘(𝑇𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑍)))
354, 7, 34pm2.61ne 3027 . . . . 5 (((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))
3635ex 412 . . . 4 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))))
3736ralimdv 3169 . . 3 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))) → ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))))
38373impia 1118 . 2 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))) → ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))
3911, 12, 15lnof 30774 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
409, 10, 39mp3an12 1453 . . 3 (𝑇𝐿𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
41 nmlnoubi.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
4211, 12, 24, 19, 41, 9, 10nmoub2i 30793 . . 3 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))) → (𝑁𝑇) ≤ 𝐴)
4340, 42syl3an1 1164 . 2 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))) → (𝑁𝑇) ≤ 𝐴)
4438, 43syld3an3 1411 1 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))) → (𝑁𝑇) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160  cle 11296  NrmCVeccnv 30603  BaseSetcba 30605  0veccn0v 30607  normCVcnmcv 30609   LnOp clno 30759   normOpOLD cnmoo 30760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-nmcv 30619  df-lno 30763  df-nmoo 30764
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator