Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blocnilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blocnilem 28573
 Description: Lemma for blocni 28574 and lnocni 28575. If a linear operator is continuous at any point, it is bounded. (Contributed by NM, 17-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocni.8 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blocni.d 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blocni.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
blocni.k 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
blocni.4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
blocni.5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blocni.u 𝑈 ∈ NrmCVec
blocni.w 𝑊 ∈ NrmCVec
blocni.l 𝑇𝐿
blocnilem.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
blocnilem ((𝑃𝑋𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑇𝐵)

Proof of Theorem blocnilem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blocni.u . . . . . 6 𝑈 ∈ NrmCVec
2 blocnilem.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 blocni.8 . . . . . . 7 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
42, 3imsxmet 28461 . . . . . 6 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
51, 4ax-mp 5 . . . . 5 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋)
6 blocni.w . . . . . 6 𝑊 ∈ NrmCVec
7 eqid 2819 . . . . . . 7 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
8 blocni.d . . . . . . 7 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
97, 8imsxmet 28461 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)))
106, 9ax-mp 5 . . . . 5 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))
11 1rp 12385 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
12 blocni.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
13 blocni.k . . . . . . 7 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
1412, 13metcnpi3 23148 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))) ∧ (𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 1 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1))
1511, 14mpanr2 702 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))) ∧ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1))
165, 10, 15mpanl12 700 . . . 4 (𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1))
17 rpreccl 12407 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
1817rpred 12423 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
1918ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
20 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
21 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
222, 20, 21, 3imsdval 28455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋𝑃𝑋) → (𝑥𝐶𝑃) = ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)))
231, 22mp3an1 1441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → (𝑥𝐶𝑃) = ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)))
2423breq1d 5067 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 ↔ ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦))
25 blocni.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇𝐿
26 blocni.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
272, 7, 26lnof 28524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
281, 6, 25, 27mp3an 1454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)
2928ffvelrni 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝑋 → (𝑇𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
3028ffvelrni 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃𝑋 → (𝑇𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊))
31 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( −𝑣𝑊) = ( −𝑣𝑊)
32 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
337, 31, 32, 8imsdval 28455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑥)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑃))))
346, 33mp3an1 1441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑥)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑃))))
3529, 30, 34syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑥)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑃))))
361, 6, 253pm3.2i 1333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿)
372, 20, 31, 26lnosub 28528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝑥𝑋𝑃𝑋)) → (𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((𝑇𝑥)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑃)))
3836, 37mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → (𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((𝑇𝑥)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑃)))
3938fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑥)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑃))))
4035, 39eqtr4d 2857 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) = ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))))
4140breq1d 5067 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → (((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1 ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1))
4224, 41imbi12d 347 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → (((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) ↔ (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
4342ancoms 461 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑋𝑥𝑋) → (((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) ↔ (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
4443adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) ↔ (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
4544ralbidva 3194 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) ↔ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
46 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (0vec𝑈) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) = ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))))
47 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (0vec𝑈) → ((normCV𝑈)‘𝑧) = ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈)))
4847oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (0vec𝑈) → ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) = ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈))))
4946, 48breq12d 5070 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (0vec𝑈) → (((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈)))))
501a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
51 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑃𝑋)
52 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
532, 21nvcl 28430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
541, 53mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
5554adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈)) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
56 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
572, 56, 21nvgt0 28443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 ≠ (0vec𝑈) ↔ 0 < ((normCV𝑈)‘𝑧)))
581, 57mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧𝑋 → (𝑧 ≠ (0vec𝑈) ↔ 0 < ((normCV𝑈)‘𝑧)))
5958biimpa 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈)) → 0 < ((normCV𝑈)‘𝑧))
6055, 59elrpd 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈)) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+)
61 rpdivcl 12406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+) → (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ+)
6252, 60, 61syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ+)
6362rpcnd 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ)
64 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑧𝑋)
65 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
662, 65nvscl 28395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
6750, 63, 64, 66syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
68 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
692, 68, 20nvpncan2 28422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃𝑋 ∧ ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋) → ((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))
7050, 51, 67, 69syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))
7170fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((normCV𝑈)‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)))
7262rprege0d 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))))
732, 65, 21nvsge0 28433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))) ∧ 𝑧𝑋) → ((normCV𝑈)‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
7450, 72, 64, 73syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
75 rpcn 12391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
7675ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑦 ∈ ℂ)
7754ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
7877recnd 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ)
792, 56, 21nvz 28438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = (0vec𝑈)))
801, 79mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧𝑋 → (((normCV𝑈)‘𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = (0vec𝑈)))
8180necon3bid 3058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧𝑋 → (((normCV𝑈)‘𝑧) ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ (0vec𝑈)))
8281biimpar 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈)) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ≠ 0)
8382adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ≠ 0)
8476, 78, 83divcan1d 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) = 𝑦)
8571, 74, 843eqtrd 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) = 𝑦)
86 rpre 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
8786leidd 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦𝑦)
8887ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑦𝑦)
8985, 88eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦)
902, 68nvgcl 28389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃𝑋 ∧ ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋) → (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) ∈ 𝑋)
9150, 51, 67, 90syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) ∈ 𝑋)
92 fvoveq1 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)))
9392breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 ↔ ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦))
94 fvoveq1 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → (𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) = (𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)))
9594fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) = ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))))
9695breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → (((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1 ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1))
9793, 96imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → ((((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) ↔ (((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
9897rspcv 3616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) ∈ 𝑋 → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → (((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
9991, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → (((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
10089, 99mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1))
10128ffvelrni 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝑋 → (𝑇𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊))
1027, 32nvcl 28430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
1036, 101, 102sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑋 → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
104103ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
105 1red 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 1 ∈ ℝ)
106104, 105, 62lemuldiv2d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧))) ≤ 1 ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (1 / (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)))))
10770fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) = (𝑇‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)))
108 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
1092, 65, 108, 26lnomul 28529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋)) → (𝑇‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧)))
11036, 109mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋) → (𝑇‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧)))
11163, 64, 110syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑇‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧)))
112107, 111eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧)))
113112fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) = ((normCV𝑊)‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧))))
1146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
115101ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑇𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊))
1167, 108, 32nvsge0 28433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))) ∧ (𝑇𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((normCV𝑊)‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧))) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧))))
117114, 72, 115, 116syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑊)‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧))) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧))))
118113, 117eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧))))
119118breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1 ↔ ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧))) ≤ 1))
120 rpcnne0 12399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
121 rpcnne0 12399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+ → (((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑧) ≠ 0))
122 recdiv 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑧) ≠ 0)) → (1 / (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))) = (((normCV𝑈)‘𝑧) / 𝑦))
123120, 121, 122syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+) → (1 / (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))) = (((normCV𝑈)‘𝑧) / 𝑦))
12452, 60, 123syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (1 / (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))) = (((normCV𝑈)‘𝑧) / 𝑦))
125 rpne0 12397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ≠ 0)
126125ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑦 ≠ 0)
12778, 76, 126divrec2d 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (((normCV𝑈)‘𝑧) / 𝑦) = ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
128124, 127eqtr2d 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) = (1 / (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))))
129128breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (1 / (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)))))
130106, 119, 1293bitr4d 313 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1 ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
131100, 130sylibd 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
132131anassrs 470 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑧 ≠ (0vec𝑈)) → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
133132imp 409 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑧 ≠ (0vec𝑈)) ∧ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
134133an32s 650 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)) ∧ 𝑧 ≠ (0vec𝑈)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
135 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
1362, 7, 56, 135, 26lno0 28525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇‘(0vec𝑈)) = (0vec𝑊))
1371, 6, 25, 136mp3an 1454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇‘(0vec𝑈)) = (0vec𝑊)
138137fveq2i 6666 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) = ((normCV𝑊)‘(0vec𝑊))
139135, 32nvz0 28437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ NrmCVec → ((normCV𝑊)‘(0vec𝑊)) = 0)
1406, 139ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normCV𝑊)‘(0vec𝑊)) = 0
141138, 140eqtri 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) = 0
142 0le0 11730 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 0
143141, 142eqbrtri 5078 . . . . . . . . . . . . 13 ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ 0
14417rpcnd 12425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
14556, 21nvz0 28437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈)) = 0)
1461, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈)) = 0
147146oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈))) = ((1 / 𝑦) · 0)
148 mul01 10811 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → ((1 / 𝑦) · 0) = 0)
149147, 148syl5eq 2866 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈))) = 0)
150144, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈))) = 0)
151143, 150breqtrrid 5095 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈))))
152151ad3antlr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈))))
15349, 134, 152pm2.61ne 3100 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
154153ex 415 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
155154ralrimdva 3187 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
15645, 155sylbid 242 . . . . . . 7 ((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) → ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
157156imp 409 . . . . . 6 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1)) → ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
158 oveq1 7155 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)) = ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
159158breq2d 5069 . . . . . . . 8 (𝑥 = (1 / 𝑦) → (((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)) ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
160159ralbidv 3195 . . . . . . 7 (𝑥 = (1 / 𝑦) → (∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)) ↔ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
161160rspcev 3621 . . . . . 6 (((1 / 𝑦) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
16219, 157, 161syl2anc 586 . . . . 5 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
163162rexlimdva2 3285 . . . 4 (𝑃𝑋 → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
16416, 163syl5 34 . . 3 (𝑃𝑋 → (𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
165164imp 409 . 2 ((𝑃𝑋𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
166 blocni.5 . . . 4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
1672, 21, 32, 26, 166, 1, 6isblo3i 28570 . . 3 (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
16825, 167mpbiran 707 . 2 (𝑇𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
169165, 168sylibr 236 1 ((𝑃𝑋𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑇𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3014  ∀wral 3136  ∃wrex 3137   class class class wbr 5057  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534   < clt 10667   ≤ cle 10668   / cdiv 11289  ℝ+crp 12381  ∞Metcxmet 20522  MetOpencmopn 20527   CnP ccnp 21825  NrmCVeccnv 28353   +𝑣 cpv 28354  BaseSetcba 28355   ·𝑠OLD cns 28356  0veccn0v 28357   −𝑣 cnsb 28358  normCVcnmcv 28359  IndMetcims 28360   LnOp clno 28509   BLnOp cblo 28511 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-topgen 16709  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-top 21494  df-topon 21511  df-bases 21546  df-cnp 21828  df-grpo 28262  df-gid 28263  df-ginv 28264  df-gdiv 28265  df-ablo 28314  df-vc 28328  df-nv 28361  df-va 28364  df-ba 28365  df-sm 28366  df-0v 28367  df-vs 28368  df-nmcv 28369  df-ims 28370  df-lno 28513  df-nmoo 28514  df-blo 28515  df-0o 28516 This theorem is referenced by:  blocni  28574  lnocni  28575
 Copyright terms: Public domain W3C validator