Theorem blocnilem 30784

Description: Lemma for blocni 30785 and lnocni 30786. If a linear operator is continuous at any point, it is bounded. (Contributed by NM, 17-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blocni.8	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blocni.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blocni.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
blocni.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
blocni.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
blocni.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blocni.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
blocni.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
blocni.l	⊢ 𝑇 ∈ 𝐿
blocnilem.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
blocnilem	⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑇 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem blocnilem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blocni.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		blocnilem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		blocni.8	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
4	2, 3	imsxmet 30672	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋)
6		blocni.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
7		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
8		blocni.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
9	7, 8	imsxmet 30672	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)))
10	6, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))
11		1rp 12933	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
12		blocni.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
13		blocni.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
14	12, 13	metcnpi3 24468	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))) ∧ (𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 1 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1))
15	11, 14	mpanr2 704	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))) ∧ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1))
16	5, 10, 15	mpanl12 702	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1))
17		rpreccl 12957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
18	17	rpred 12973	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
19	18	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
20		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
21		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
22	2, 20, 21, 3	imsdval 30666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑃) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)))
23	1, 22	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑃) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)))
24	23	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 ↔ ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦))
25		blocni.l	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑇 ∈ 𝐿
26		blocni.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
27	2, 7, 26	lnof 30735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
28	1, 6, 25, 27	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)
29	28	ffvelcdmi 7037	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑇‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
30	28	ffvelcdmi 7037	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑇‘𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊))
31		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
32		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
33	7, 31, 32, 8	imsdval 30666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇‘𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑥)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑃))))
34	6, 33	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇‘𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑥)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑃))))
35	29, 30, 34	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑥)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑃))))
36	1, 6, 25	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿)
37	2, 20, 31, 26	lnosub 30739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = ((𝑇‘𝑥)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑃)))
38	36, 37	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = ((𝑇‘𝑥)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑃)))
39	38	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑥)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑃))))
40	35, 39	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))))
41	40	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1 ↔ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1))
42	24, 41	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1) ↔ (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
43	42	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1) ↔ (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
44	43	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1) ↔ (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
45	44	ralbidva 3154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
46		2fveq3 6845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (0vec‘𝑈) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
47		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (0vec‘𝑈) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) = ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)))
48	47	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (0vec‘𝑈) → ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) = ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈))))
49	46, 48	breq12d 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (0vec‘𝑈) → (((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ↔ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)))))
50	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
51		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
52		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
53	2, 21	nvcl 30641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
54	1, 53	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
56		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
57	2, 56, 21	nvgt0 30654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧 ≠ (0vec‘𝑈) ↔ 0 < ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
58	1, 57	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝑧 ≠ (0vec‘𝑈) ↔ 0 < ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
59	58	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈)) → 0 < ((normCV‘𝑈)‘𝑧))
60	55, 59	elrpd 12970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+)
61		rpdivcl 12956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+) → (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ+)
62	52, 60, 61	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ+)
63	62	rpcnd 12975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ)
64		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → 𝑧 ∈ 𝑋)
65		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
66	2, 65	nvscl 30606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
67	50, 63, 64, 66	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
68		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
69	2, 68, 20	nvpncan2 30633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋) → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))
70	50, 51, 67, 69	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))
71	70	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)))
72	62	rprege0d 12980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
73	2, 65, 21	nvsge0 30644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
74	50, 72, 64, 73	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
75		rpcn 12940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℂ)
76	75	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → 𝑦 ∈ ℂ)
77	54	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
78	77	recnd 11180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ)
79	2, 56, 21	nvz 30649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = (0vec‘𝑈)))
80	1, 79	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → (((normCV‘𝑈)‘𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = (0vec‘𝑈)))
81	80	necon3bid 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈)))
82	81	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≠ 0)
83	82	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≠ 0)
84	76, 78, 83	divcan1d 11937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) = 𝑦)
85	71, 74, 84	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = 𝑦)
86		rpre 12938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
87	86	leidd 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ≤ 𝑦)
88	87	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → 𝑦 ≤ 𝑦)
89	85, 88	eqbrtrd 5124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦)
90	2, 68	nvgcl 30600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋) → (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) ∈ 𝑋)
91	50, 51, 67, 90	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) ∈ 𝑋)
92		fvoveq1 7392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) → ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)))
93	92	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) → (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 ↔ ((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦))
94		fvoveq1 7392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) → (𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = (𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)))
95	94	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))))
96	95	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) → (((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1 ↔ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1))
97	93, 96	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1) ↔ (((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
98	97	rspcv 3581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1) → (((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
99	91, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1) → (((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
100	89, 99	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1))
101	28	ffvelcdmi 7037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝑇‘𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊))
102	7, 32	nvcl 30641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
103	6, 101, 102	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
104	103	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
105		1red 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → 1 ∈ ℝ)
106	104, 105, 62	lemuldiv2d 13023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) · ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧))) ≤ 1 ↔ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (1 / (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))))
107	70	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = (𝑇‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)))
108		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
109	2, 65, 108, 26	lnomul 30740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑧)))
110	36, 109	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑇‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑧)))
111	63, 64, 110	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (𝑇‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑧)))
112	107, 111	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑧)))
113	112	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑧))))
114	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
115	101	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (𝑇‘𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊))
116	7, 108, 32	nvsge0 30644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))) ∧ (𝑇‘𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((normCV‘𝑊)‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑧))) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) · ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧))))
117	114, 72, 115, 116	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑊)‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑧))) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) · ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧))))
118	113, 117	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) · ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧))))
119	118	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1 ↔ ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) · ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧))) ≤ 1))
120		rpcnne0 12948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
121		rpcnne0 12948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+ → (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≠ 0))
122		recdiv 11866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≠ 0)) → (1 / (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))) = (((normCV‘𝑈)‘𝑧) / 𝑦))
123	120, 121, 122	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+) → (1 / (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))) = (((normCV‘𝑈)‘𝑧) / 𝑦))
124	52, 60, 123	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (1 / (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))) = (((normCV‘𝑈)‘𝑧) / 𝑦))
125		rpne0 12946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ≠ 0)
126	125	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → 𝑦 ≠ 0)
127	78, 76, 126	divrec2d 11940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (((normCV‘𝑈)‘𝑧) / 𝑦) = ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
128	124, 127	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) = (1 / (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
129	128	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ↔ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (1 / (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))))
130	106, 119, 129	3bitr4d 311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1 ↔ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
131	100, 130	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
132	131	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
133	132	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
134	133	an32s 652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)) ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
135		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
136	2, 7, 56, 135, 26	lno0 30736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) = (0vec‘𝑊))
137	1, 6, 25, 136	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇‘(0vec‘𝑈)) = (0vec‘𝑊)
138	137	fveq2i 6843	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = ((normCV‘𝑊)‘(0vec‘𝑊))
139	135, 32	nvz0 30648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑊)‘(0vec‘𝑊)) = 0)
140	6, 139	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normCV‘𝑊)‘(0vec‘𝑊)) = 0
141	138, 140	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = 0
142		0le0 12265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 0
143	141, 142	eqbrtri 5123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ 0
144	17	rpcnd 12975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
145	56, 21	nvz0 30648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) = 0)
146	1, 145	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) = 0
147	146	oveq2i 7380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈))) = ((1 / 𝑦) · 0)
148		mul01 11331	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → ((1 / 𝑦) · 0) = 0)
149	147, 148	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈))) = 0)
150	144, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈))) = 0)
151	143, 150	breqtrrid 5140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈))))
152	151	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈))))
153	49, 134, 152	pm2.61ne 3010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
154	153	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
155	154	ralrimdva 3133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
156	45, 155	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
157	156	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
158		oveq1 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) = ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
159	158	breq2d 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ↔ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
160	159	ralbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
161	160	rspcev 3585	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝑦) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
162	19, 157, 161	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
163	162	rexlimdva2 3136	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
164	16, 163	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
165	164	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
166		blocni.5	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
167	2, 21, 32, 26, 166, 1, 6	isblo3i 30781	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
168	25, 167	mpbiran 709	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
169	165, 168	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑇 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11044  ℝcr 11045  0cc0 11046  1c1 11047   · cmul 11051   < clt 11186   ≤ cle 11187   / cdiv 11813  ℝ⁺crp 12929  ∞Metcxmet 21282  MetOpencmopn 21287   CnP ccnp 23146  NrmCVeccnv 30564   +_𝑣 cpv 30565  BaseSetcba 30566   ·_𝑠OLD cns 30567  0_veccn0v 30568   −_𝑣 cnsb 30569  norm_CVcnmcv 30570  IndMetcims 30571   LnOp clno 30720   BLnOp cblo 30722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124  ax-addf 11125  ax-mulf 11126

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12886  df-rp 12930  df-xneg 13050  df-xadd 13051  df-xmul 13052  df-seq 13945  df-exp 14005  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-topgen 17383  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-top 22815  df-topon 22832  df-bases 22867  df-cnp 23149  df-grpo 30473  df-gid 30474  df-ginv 30475  df-gdiv 30476  df-ablo 30525  df-vc 30539  df-nv 30572  df-va 30575  df-ba 30576  df-sm 30577  df-0v 30578  df-vs 30579  df-nmcv 30580  df-ims 30581  df-lno 30724  df-nmoo 30725  df-blo 30726  df-0o 30727

This theorem is referenced by:  blocni  30785  lnocni  30786