MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blocnilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blocnilem 28573
Description: Lemma for blocni 28574 and lnocni 28575. If a linear operator is continuous at any point, it is bounded. (Contributed by NM, 17-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocni.8 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blocni.d 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blocni.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
blocni.k 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
blocni.4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
blocni.5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blocni.u 𝑈 ∈ NrmCVec
blocni.w 𝑊 ∈ NrmCVec
blocni.l 𝑇𝐿
blocnilem.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
blocnilem ((𝑃𝑋𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑇𝐵)

Proof of Theorem blocnilem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blocni.u . . . . . 6 𝑈 ∈ NrmCVec
2 blocnilem.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 blocni.8 . . . . . . 7 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
42, 3imsxmet 28461 . . . . . 6 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
51, 4ax-mp 5 . . . . 5 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋)
6 blocni.w . . . . . 6 𝑊 ∈ NrmCVec
7 eqid 2819 . . . . . . 7 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
8 blocni.d . . . . . . 7 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
97, 8imsxmet 28461 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)))
106, 9ax-mp 5 . . . . 5 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))
11 1rp 12385 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
12 blocni.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
13 blocni.k . . . . . . 7 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
1412, 13metcnpi3 23148 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))) ∧ (𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 1 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1))
1511, 14mpanr2 702 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))) ∧ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1))
165, 10, 15mpanl12 700 . . . 4 (𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1))
17 rpreccl 12407 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
1817rpred 12423 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
1918ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
20 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
21 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
222, 20, 21, 3imsdval 28455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋𝑃𝑋) → (𝑥𝐶𝑃) = ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)))
231, 22mp3an1 1441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → (𝑥𝐶𝑃) = ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)))
2423breq1d 5067 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 ↔ ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦))
25 blocni.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇𝐿
26 blocni.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
272, 7, 26lnof 28524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
281, 6, 25, 27mp3an 1454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)
2928ffvelrni 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝑋 → (𝑇𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
3028ffvelrni 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃𝑋 → (𝑇𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊))
31 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( −𝑣𝑊) = ( −𝑣𝑊)
32 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
337, 31, 32, 8imsdval 28455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑥)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑃))))
346, 33mp3an1 1441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑥)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑃))))
3529, 30, 34syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑥)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑃))))
361, 6, 253pm3.2i 1333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿)
372, 20, 31, 26lnosub 28528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝑥𝑋𝑃𝑋)) → (𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((𝑇𝑥)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑃)))
3836, 37mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → (𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((𝑇𝑥)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑃)))
3938fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑥)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑃))))
4035, 39eqtr4d 2857 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) = ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))))
4140breq1d 5067 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → (((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1 ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1))
4224, 41imbi12d 347 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋𝑃𝑋) → (((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) ↔ (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
4342ancoms 461 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑋𝑥𝑋) → (((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) ↔ (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
4443adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) ↔ (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
4544ralbidva 3194 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) ↔ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
46 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (0vec𝑈) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) = ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))))
47 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (0vec𝑈) → ((normCV𝑈)‘𝑧) = ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈)))
4847oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (0vec𝑈) → ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) = ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈))))
4946, 48breq12d 5070 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (0vec𝑈) → (((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈)))))
501a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
51 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑃𝑋)
52 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
532, 21nvcl 28430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
541, 53mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
5554adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈)) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
56 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
572, 56, 21nvgt0 28443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 ≠ (0vec𝑈) ↔ 0 < ((normCV𝑈)‘𝑧)))
581, 57mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧𝑋 → (𝑧 ≠ (0vec𝑈) ↔ 0 < ((normCV𝑈)‘𝑧)))
5958biimpa 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈)) → 0 < ((normCV𝑈)‘𝑧))
6055, 59elrpd 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈)) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+)
61 rpdivcl 12406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+) → (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ+)
6252, 60, 61syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ+)
6362rpcnd 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ)
64 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑧𝑋)
65 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
662, 65nvscl 28395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
6750, 63, 64, 66syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
68 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
692, 68, 20nvpncan2 28422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃𝑋 ∧ ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋) → ((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))
7050, 51, 67, 69syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))
7170fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((normCV𝑈)‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)))
7262rprege0d 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))))
732, 65, 21nvsge0 28433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))) ∧ 𝑧𝑋) → ((normCV𝑈)‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
7450, 72, 64, 73syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
75 rpcn 12391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
7675ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑦 ∈ ℂ)
7754ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
7877recnd 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ)
792, 56, 21nvz 28438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = (0vec𝑈)))
801, 79mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧𝑋 → (((normCV𝑈)‘𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = (0vec𝑈)))
8180necon3bid 3058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧𝑋 → (((normCV𝑈)‘𝑧) ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ (0vec𝑈)))
8281biimpar 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈)) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ≠ 0)
8382adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘𝑧) ≠ 0)
8476, 78, 83divcan1d 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) = 𝑦)
8571, 74, 843eqtrd 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) = 𝑦)
86 rpre 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
8786leidd 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦𝑦)
8887ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑦𝑦)
8985, 88eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦)
902, 68nvgcl 28389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃𝑋 ∧ ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧) ∈ 𝑋) → (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) ∈ 𝑋)
9150, 51, 67, 90syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) ∈ 𝑋)
92 fvoveq1 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → ((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)))
9392breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 ↔ ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦))
94 fvoveq1 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → (𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) = (𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)))
9594fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) = ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))))
9695breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → (((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1 ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1))
9793, 96imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) → ((((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) ↔ (((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
9897rspcv 3616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) ∈ 𝑋 → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → (((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
9991, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → (((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
10089, 99mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1))
10128ffvelrni 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝑋 → (𝑇𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊))
1027, 32nvcl 28430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
1036, 101, 102sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑋 → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
104103ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
105 1red 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 1 ∈ ℝ)
106104, 105, 62lemuldiv2d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧))) ≤ 1 ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (1 / (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)))))
10770fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) = (𝑇‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)))
108 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
1092, 65, 108, 26lnomul 28529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋)) → (𝑇‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧)))
11036, 109mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑋) → (𝑇‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧)))
11163, 64, 110syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑇‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧)))
112107, 111eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧)))
113112fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) = ((normCV𝑊)‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧))))
1146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
115101ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (𝑇𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊))
1167, 108, 32nvsge0 28433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))) ∧ (𝑇𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((normCV𝑊)‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧))) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧))))
117114, 72, 115, 116syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑊)‘((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝑧))) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧))))
118113, 117eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) = ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧))))
119118breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1 ↔ ((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)) · ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧))) ≤ 1))
120 rpcnne0 12399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
121 rpcnne0 12399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+ → (((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑧) ≠ 0))
122 recdiv 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑧) ≠ 0)) → (1 / (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))) = (((normCV𝑈)‘𝑧) / 𝑦))
123120, 121, 122syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+) → (1 / (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))) = (((normCV𝑈)‘𝑧) / 𝑦))
12452, 60, 123syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (1 / (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))) = (((normCV𝑈)‘𝑧) / 𝑦))
125 rpne0 12397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ≠ 0)
126125ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → 𝑦 ≠ 0)
12778, 76, 126divrec2d 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (((normCV𝑈)‘𝑧) / 𝑦) = ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
128124, 127eqtr2d 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) = (1 / (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))))
129128breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)) ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (1 / (𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧)))))
130106, 119, 1293bitr4d 313 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (((normCV𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣𝑈)((𝑦 / ((normCV𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD𝑈)𝑧))( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1 ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
131100, 130sylibd 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧𝑋𝑧 ≠ (0vec𝑈))) → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
132131anassrs 470 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑧 ≠ (0vec𝑈)) → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
133132imp 409 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑧 ≠ (0vec𝑈)) ∧ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
134133an32s 650 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)) ∧ 𝑧 ≠ (0vec𝑈)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
135 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
1362, 7, 56, 135, 26lno0 28525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇‘(0vec𝑈)) = (0vec𝑊))
1371, 6, 25, 136mp3an 1454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇‘(0vec𝑈)) = (0vec𝑊)
138137fveq2i 6666 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) = ((normCV𝑊)‘(0vec𝑊))
139135, 32nvz0 28437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ NrmCVec → ((normCV𝑊)‘(0vec𝑊)) = 0)
1406, 139ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normCV𝑊)‘(0vec𝑊)) = 0
141138, 140eqtri 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) = 0
142 0le0 11730 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 0
143141, 142eqbrtri 5078 . . . . . . . . . . . . 13 ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ 0
14417rpcnd 12425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
14556, 21nvz0 28437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈)) = 0)
1461, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈)) = 0
147146oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈))) = ((1 / 𝑦) · 0)
148 mul01 10811 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → ((1 / 𝑦) · 0) = 0)
149147, 148syl5eq 2866 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈))) = 0)
150144, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈))) = 0)
151143, 150breqtrrid 5095 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈))))
152151ad3antlr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘(0vec𝑈))))
15349, 134, 152pm2.61ne 3100 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
154153ex 415 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑋) → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
155154ralrimdva 3187 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
15645, 155sylbid 242 . . . . . . 7 ((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) → ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
157156imp 409 . . . . . 6 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1)) → ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
158 oveq1 7155 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)) = ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
159158breq2d 5069 . . . . . . . 8 (𝑥 = (1 / 𝑦) → (((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)) ↔ ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
160159ralbidv 3195 . . . . . . 7 (𝑥 = (1 / 𝑦) → (∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)) ↔ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
161160rspcev 3621 . . . . . 6 (((1 / 𝑦) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV𝑈)‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
16219, 157, 161syl2anc 586 . . . . 5 (((𝑃𝑋𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
163162rexlimdva2 3285 . . . 4 (𝑃𝑋 → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇𝑥)𝐷(𝑇𝑃)) ≤ 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
16416, 163syl5 34 . . 3 (𝑃𝑋 → (𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
165164imp 409 . 2 ((𝑃𝑋𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
166 blocni.5 . . . 4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
1672, 21, 32, 26, 166, 1, 6isblo3i 28570 . . 3 (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧))))
16825, 167mpbiran 707 . 2 (𝑇𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑋 ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV𝑈)‘𝑧)))
169165, 168sylibr 236 1 ((𝑃𝑋𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑇𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  wral 3136  wrex 3137   class class class wbr 5057  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668   / cdiv 11289  +crp 12381  ∞Metcxmet 20522  MetOpencmopn 20527   CnP ccnp 21825  NrmCVeccnv 28353   +𝑣 cpv 28354  BaseSetcba 28355   ·𝑠OLD cns 28356  0veccn0v 28357  𝑣 cnsb 28358  normCVcnmcv 28359  IndMetcims 28360   LnOp clno 28509   BLnOp cblo 28511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-topgen 16709  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-top 21494  df-topon 21511  df-bases 21546  df-cnp 21828  df-grpo 28262  df-gid 28263  df-ginv 28264  df-gdiv 28265  df-ablo 28314  df-vc 28328  df-nv 28361  df-va 28364  df-ba 28365  df-sm 28366  df-0v 28367  df-vs 28368  df-nmcv 28369  df-ims 28370  df-lno 28513  df-nmoo 28514  df-blo 28515  df-0o 28516
This theorem is referenced by:  blocni  28574  lnocni  28575
  Copyright terms: Public domain W3C validator