Theorem lpdifsn 23028

Description: 𝑃 is a limit point of 𝑆 iff it is a limit point of 𝑆 ∖ {𝑃}. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpfval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
lpdifsn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))

Proof of Theorem lpdifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpfval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	islp 23025	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))
3		ssdifss 4091	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑆 ∖ {𝑃}) ⊆ 𝑋)
4	1	islp 23025	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ∖ {𝑃}) ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃}))))
5	3, 4	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃}))))
6		difabs 4254	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃}) = (𝑆 ∖ {𝑃})
7	6	fveq2i 6825	. . . 4 ⊢ ((cls‘𝐽)‘((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃})) = ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))
8	7	eleq2i 2820	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃})) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})))
9	5, 8	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))
10	2, 9	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4577  ∪ cuni 4858  ‘cfv 6482  Topctop 22778  clsccl 22903  limPtclp 23019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-top 22779  df-cld 22904  df-cls 22906  df-lp 23021

This theorem is referenced by:  perfdvf  25802  limcrecl  45614