MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lpdifsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpdifsn 22304
Description: 𝑃 is a limit point of 𝑆 iff it is a limit point of 𝑆 ∖ {𝑃}. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lpfval.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
lpdifsn ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))

Proof of Theorem lpdifsn
StepHypRef Expression
1 lpfval.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
21islp 22301 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))
3 ssdifss 4069 . . . 4 (𝑆𝑋 → (𝑆 ∖ {𝑃}) ⊆ 𝑋)
41islp 22301 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ∖ {𝑃}) ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃}))))
53, 4sylan2 593 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃}))))
6 difabs 4227 . . . . 5 ((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃}) = (𝑆 ∖ {𝑃})
76fveq2i 6769 . . . 4 ((cls‘𝐽)‘((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃})) = ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))
87eleq2i 2830 . . 3 (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃})) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})))
95, 8bitrdi 287 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))
102, 9bitr4d 281 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  cdif 3883  wss 3886  {csn 4561   cuni 4839  cfv 6426  Topctop 22052  clsccl 22179  limPtclp 22295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-id 5484  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-top 22053  df-cld 22180  df-cls 22182  df-lp 22297
This theorem is referenced by:  perfdvf  25077  limcrecl  43151
  Copyright terms: Public domain W3C validator