Theorem lpdifsn 23126

Description: 𝑃 is a limit point of 𝑆 iff it is a limit point of 𝑆 ∖ {𝑃}. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpfval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
lpdifsn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))

Proof of Theorem lpdifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpfval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	islp 23123	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))
3		ssdifss 4070	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑆 ∖ {𝑃}) ⊆ 𝑋)
4	1	islp 23123	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ∖ {𝑃}) ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃}))))
5	3, 4	sylan2 599	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃}))))
6		difabs 4231	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃}) = (𝑆 ∖ {𝑃})
7	6	fveq2i 6830	. . . 4 ⊢ ((cls‘𝐽)‘((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃})) = ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))
8	7	eleq2i 2831	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃})) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})))
9	5, 8	bitrdi 288	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))
10	2, 9	bitr4d 283	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4555  ∪ cuni 4838  ‘cfv 6485  Topctop 22876  clsccl 23001  limPtclp 23117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-top 22877  df-cld 23002  df-cls 23004  df-lp 23119

This theorem is referenced by:  perfdvf  25888  limcrecl  46074