Theorem lpdifsn 23352

Description: 𝑃 is a limit point of 𝑆 iff it is a limit point of 𝑆 ∖ {𝑃}. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpfval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
lpdifsn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))

Proof of Theorem lpdifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpfval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	islp 23349	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))
3		ssdifss 4094	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑆 ∖ {𝑃}) ⊆ 𝑋)
4	1	islp 23349	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ∖ {𝑃}) ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃}))))
5	3, 4	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃}))))
6		difabs 4256	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃}) = (𝑆 ∖ {𝑃})
7	6	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ ((cls‘𝐽)‘((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃})) = ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))
8	7	eleq2i 2857	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘((𝑆 ∖ {𝑃}) ∖ {𝑃})) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})))
9	5, 8	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))
10	2, 9	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝑆 ∖ {𝑃}))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4591  ∪ cuni 4874  ‘cfv 6540  Topctop 23102  clsccl 23227  limPtclp 23343

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-top 23103  df-cld 23228  df-cls 23230  df-lp 23345

This theorem is used by:  perfdvf  26115  limcrecl  46405