MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lpss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpss 22970
Description: The limit points of a subset are included in the base set. (Contributed by NM, 9-Nov-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
lpfval.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
lpss ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† 𝑋)

Proof of Theorem lpss
StepHypRef Expression
1 lpfval.1 . . 3 𝑋 = βˆͺ 𝐽
21lpsscls 22969 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
31clsss3 22887 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† 𝑋)
42, 3sstrd 3985 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((limPtβ€˜π½)β€˜π‘†) βŠ† 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  βˆͺ cuni 4900  β€˜cfv 6534  Topctop 22719  clsccl 22846  limPtclp 22962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-top 22720  df-cld 22847  df-cls 22849  df-lp 22964
This theorem is referenced by:  maxlp  22975  isperf2  22980  lpbl  24336  limcflflem  25733  limcflf  25734  pibt2  36789  limcrecl  44855  lptre2pt  44866  limclner  44877  limclr  44881
  Copyright terms: Public domain W3C validator