MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lpss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpss 22477
Description: The limit points of a subset are included in the base set. (Contributed by NM, 9-Nov-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
lpfval.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
lpss ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem lpss
StepHypRef Expression
1 lpfval.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
21lpsscls 22476 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
31clsss3 22394 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
42, 3sstrd 3952 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3908   cuni 4863  cfv 6493  Topctop 22226  clsccl 22353  limPtclp 22469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-top 22227  df-cld 22354  df-cls 22356  df-lp 22471
This theorem is referenced by:  maxlp  22482  isperf2  22487  lpbl  23843  limcflflem  25228  limcflf  25229  pibt2  35855  limcrecl  43802  lptre2pt  43813  limclner  43824  limclr  43828
  Copyright terms: Public domain W3C validator