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Theorem limcrecl 40657
Description: If 𝐹 is a real-valued function, 𝐵 is a limit point of its domain, and the limit of 𝐹 at 𝐵 exists, then this limit is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcrecl.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
limcrecl.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcrecl.3 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴))
limcrecl.4 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Assertion
Ref Expression
limcrecl (𝜑𝐿 ∈ ℝ)

Proof of Theorem limcrecl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrecl.4 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
21adantr 474 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
3 limccl 24039 . . . . . . . . . 10 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ
43, 1sseldi 3826 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
54adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
6 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ 𝐿 ∈ ℝ)
75, 6eldifd 3810 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
87dstregt0 40293 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
9 cnxmet 22947 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
11 limcrecl.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1211ad4antr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℂ)
1312ssdifssd 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
14 limcrecl.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴))
15 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1615cnfldtop 22958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
18 unicntop 22960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
1911, 18syl6sseq 3877 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 (TopOpen‘ℂfld))
20 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2120lpdifsn 21319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐴 (TopOpen‘ℂfld)) → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
2217, 19, 21syl2anc 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
2314, 22mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
2423ad4antr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
25 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
2615cnfldtopn 22956 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
2726lpbl 22679 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
2810, 13, 24, 25, 27syl31anc 1498 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
29 eldif 3809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}))
3029anbi1i 619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
31 anass 462 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))))
3230, 31bitri 267 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))))
3332rexbii2 3250 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ ∃𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
3428, 33sylib 210 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
35 simprl 789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ {𝐵})
36 velsn 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
3736necon3bbii 3047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧𝐵)
3835, 37sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧𝐵)
39 simp-5l 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝜑)
40 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
41 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
42 simp3 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
4418lpss 21318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ⊆ ℂ)
4517, 11, 44syl2anc 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ⊆ ℂ)
4645, 14sseldd 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
47463ad2ant1 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝐵 ∈ ℂ)
48 rpxr 12124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ*)
49483ad2ant2 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
50 elbl 22564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)))
5143, 47, 49, 50syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)))
5242, 51mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦))
5352simpld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
5453, 47abssubd 14570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝑧𝐵)) = (abs‘(𝐵𝑧)))
55 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5655cnmetdval 22945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
5747, 53, 56syl2anc 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
5852simprd 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)
5957, 58eqbrtrrd 4898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝐵𝑧)) < 𝑦)
6054, 59eqbrtrd 4896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦)
6139, 40, 41, 60syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦)
6238, 61jca 509 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦))
6362adantlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦))
6439adantlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝜑)
65 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧𝐴)
6664, 65jca 509 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝜑𝑧𝐴))
67 simp-5r 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
68 simp-4r 805 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
69 rpre 12121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
7069ad2antlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝑥 ∈ ℝ)
71 limcrecl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
7271ffvelrnda 6609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
7372recnd 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
7473ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
754ad3antrrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝐿 ∈ ℂ)
7674, 75subcld 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ((𝐹𝑧) − 𝐿) ∈ ℂ)
7776abscld 14553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) ∈ ℝ)
7872adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
79 nfv 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤𝜑
80 nfra1 3151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))
8179, 80nfan 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
82 rspa 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
8382adantll 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
844adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
85 ax-resscn 10310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℝ ⊆ ℂ
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
8786sselda 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℂ)
8884, 87abssubd 14570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐿𝑤)) = (abs‘(𝑤𝐿)))
8988adantlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐿𝑤)) = (abs‘(𝑤𝐿)))
9083, 89breqtrd 4900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)))
9190ex 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿))))
9281, 91ralrimi 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)))
9392adantlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)))
94 fvoveq1 6929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (abs‘(𝑤𝐿)) = (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)))
9594breq2d 4886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)) ↔ 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿))))
9695rspcv 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ ℝ → (∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)) → 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿))))
9778, 93, 96sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)))
9897adantlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)))
9970, 77, 98ltnsymd 10506 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ¬ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
10066, 67, 68, 99syl21anc 873 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
10163, 100jcn 40024 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
102101ex 403 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
103102reximdva 3226 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → ∃𝑧𝐴 ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
10434, 103mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
105 rexnal 3204 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝐴 ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
106104, 105sylib 210 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
107106nrexdv 3210 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
108107ex 403 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
109108reximdva 3226 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
1108, 109mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
111 rexnal 3204 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
112110, 111sylib 210 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
113112intnand 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
11471, 86fssd 6293 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
115114, 11, 46ellimc3 24043 . . . 4 (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
116115adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
117113, 116mtbird 317 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
1182, 117condan 854 1 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  wral 3118  wrex 3119  cdif 3796  wss 3799  {csn 4398   cuni 4659   class class class wbr 4874  ccom 5347  wf 6120  cfv 6124  (class class class)co 6906  cc 10251  cr 10252  *cxr 10391   < clt 10392  cmin 10586  +crp 12113  abscabs 14352  TopOpenctopn 16436  ∞Metcxmet 20092  ballcbl 20094  fldccnfld 20107  Topctop 21069  limPtclp 21310   lim climc 24026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fi 8587  df-sup 8618  df-inf 8619  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xneg 12233  df-xadd 12234  df-xmul 12235  df-fz 12621  df-seq 13097  df-exp 13156  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-rest 16437  df-topn 16438  df-topgen 16458  df-psmet 20099  df-xmet 20100  df-met 20101  df-bl 20102  df-mopn 20103  df-cnfld 20108  df-top 21070  df-topon 21087  df-topsp 21109  df-bases 21122  df-cld 21195  df-ntr 21196  df-cls 21197  df-nei 21274  df-lp 21312  df-cnp 21404  df-xms 22496  df-ms 22497  df-limc 24030
This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  40904  fourierdlem60  41178  fourierdlem61  41179  fourierdlem74  41192  fourierdlem75  41193  fourierdlem85  41203  fourierdlem88  41206  fourierdlem95  41213  fourierdlem103  41221  fourierdlem104  41222
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