limcrecl - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem limcrecl 46405

Description: If 𝐹 is a real-valued function, 𝐵 is a limit point of its domain, and the limit of 𝐹 at 𝐵 exists, then this limit is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
limcrecl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
limcrecl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcrecl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘𝐴))
limcrecl.4	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
limcrecl	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)

Proof of Theorem limcrecl Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrecl.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
3		limccl 26087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ⊆ ℂ
4	3, 1	sselid 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
5	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
6		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ 𝐿 ∈ ℝ)
7	5, 6	eldifd 3917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
8	7	dstregt0 46061	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)))
9		cnxmet 24982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
11		limcrecl.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
12	11	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13	12	ssdifssd 4101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
14		limcrecl.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘𝐴))
15		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
16	15	cnfldtop 24993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top)
18		unicntop 24995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
19	11, 18	sseqtrdi 3978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂ_fld))
20		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∪ (TopOpen‘ℂ_fld) = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
21	20	lpdifsn 23352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)) → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
22	17, 19, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
23	14, 22	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
24	23	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
25		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
26	15	cnfldtopn 24991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
27	26	lpbl 24713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
28	10, 13, 24, 25, 27	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
29		eldif 3916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}))
30	29	anbi1i 636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
31		anass 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))))
32	30, 31	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))))
33	32	rexbii2 3110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
34	28, 33	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
35		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ {𝐵})
36		velsn 4607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
37	36	necon3bbii 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 ≠ 𝐵)
38	35, 37	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧 ≠ 𝐵)
39		simp-5l 797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝜑)
40		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
41		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
42		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
43	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
44	18	lpss 23351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘𝐴) ⊆ ℂ)
45	17, 11, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘𝐴) ⊆ ℂ)
46	45, 14	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
47	46	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝐵 ∈ ℂ)
48		rpxr 13044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 𝑦 ∈ ℝ^*)
49	48	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ^*)
50		elbl 24598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) → (𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)))
51	43, 47, 49, 50	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)))
52	42, 51	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦))
53	52	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
54	53, 47	abssubd 15533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝑧)))
55		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
56	55	cnmetdval 24980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵 − 𝑧)))
57	47, 53, 56	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵 − 𝑧)))
58	52	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)
59	57, 58	eqbrtrrd 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝐵 − 𝑧)) < 𝑦)
60	54, 59	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦)
61	39, 40, 41, 60	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦)
62	38, 61	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦))
63	62	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦))
64	39	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝜑)
65		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
66	64, 65	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
67		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
68		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)))
69		rpre 13043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℝ)
70	69	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → 𝑥 ∈ ℝ)
71		limcrecl.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
72	71	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
73	72	recnd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
74	73	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
75	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → 𝐿 ∈ ℂ)
76	74, 75	subcld 11586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐿) ∈ ℂ)
77	76	abscld 15516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) ∈ ℝ)
78	72	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
79		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
80		nfra1 3291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))
81	79, 80	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)))
82		rspa 3256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)))
83	82	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)))
84	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
85		ax-resscn 11174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
87	86	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℂ)
88	84, 87	abssubd 15533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐿 − 𝑤)) = (abs‘(𝑤 − 𝐿)))
89	88	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐿 − 𝑤)) = (abs‘(𝑤 − 𝐿)))
90	83, 89	breqtrd 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝑤 − 𝐿)))
91	90	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑥 < (abs‘(𝑤 − 𝐿))))
92	81, 91	ralrimi 3265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤 − 𝐿)))
93	92	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤 − 𝐿)))
94		fvoveq1 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (abs‘(𝑤 − 𝐿)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)))
95	94	breq2d 5123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (𝑥 < (abs‘(𝑤 − 𝐿)) ↔ 𝑥 < (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿))))
96	95	rspcv 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ → (∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤 − 𝐿)) → 𝑥 < (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿))))
97	78, 93, 96	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → 𝑥 < (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)))
98	97	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → 𝑥 < (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)))
99	70, 77, 98	ltnsymd 11376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
100	66, 67, 68, 99	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
101	63, 100	jcnd 164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
102	101	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → ¬ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
103	102	reximdva 3180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
104	34, 103	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
105		rexnal 3119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
106	104, 105	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
107	106	nrexdv 3162	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
108	107	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
109	108	reximdva 3180	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
110	8, 109	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
111		rexnal 3119	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
112	110, 111	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
113	112	intnand 494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
114	71, 86	fssd 6727	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
115	114, 11, 46	ellimc3 26091	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
116	115	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
117	113, 116	mtbird 328	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
118	2, 117	condan 830	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2960 ∀wral 3081 ∃wrex 3091 ∖ cdif 3903 ⊆ wss 3906 {csn 4591 ∪ cuni 4874 class class class wbr 5111 ∘ ccom 5667 ⟶wf 6536 ‘cfv 6540 (class class class)co 7419 ℂcc 11115 ℝcr 11116 ℝ^*cxr 11259 < clt 11260 − cmin 11458 ℝ⁺crp 13034 abscabs 15311 TopOpenctopn 17498 ∞Metcxmet 21559 ballcbl 21561 ℂ_fldccnfld 21574 Topctop 23102 limPtclp 23343 lim_ℂ climc 26074

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-rep 5240 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7742 ax-cnex 11173 ax-resscn 11174 ax-1cn 11175 ax-icn 11176 ax-addcl 11177 ax-addrcl 11178 ax-mulcl 11179 ax-mulrcl 11180 ax-mulcom 11181 ax-addass 11182 ax-mulass 11183 ax-distr 11184 ax-i2m1 11185 ax-1ne0 11186 ax-1rid 11187 ax-rnegex 11188 ax-rrecex 11189 ax-cnre 11190 ax-pre-lttri 11191 ax-pre-lttrn 11192 ax-pre-ltadd 11193 ax-pre-mulgt0 11194 ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-tp 4596 df-op 4598 df-uni 4875 df-int 4915 df-iun 4960 df-iin 4961 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7376 df-ov 7422 df-oprab 7423 df-mpo 7424 df-om 7869 df-1st 7992 df-2nd 7993 df-frecs 8284 df-wrecs 8315 df-recs 8364 df-rdg 8403 df-1o 8459 df-er 8700 df-map 8832 df-pm 8833 df-en 8950 df-dom 8951 df-sdom 8952 df-fin 8953 df-fi 9378 df-sup 9409 df-inf 9410 df-pnf 11262 df-mnf 11263 df-xr 11264 df-ltxr 11265 df-le 11266 df-sub 11460 df-neg 11461 df-div 11889 df-nn 12251 df-2 12320 df-3 12321 df-4 12322 df-5 12323 df-6 12324 df-7 12325 df-8 12326 df-9 12327 df-n0 12522 df-z 12609 df-dec 12730 df-uz 12881 df-q 12991 df-rp 13035 df-xneg 13155 df-xadd 13156 df-xmul 13157 df-fz 13554 df-seq 14058 df-exp 14118 df-cj 15176 df-re 15177 df-im 15178 df-sqrt 15312 df-abs 15313 df-struct 17231 df-slot 17266 df-ndx 17278 df-base 17294 df-plusg 17347 df-mulr 17348 df-starv 17349 df-tset 17353 df-ple 17354 df-ds 17356 df-unif 17357 df-rest 17499 df-topn 17500 df-topgen 17520 df-psmet 21566 df-xmet 21567 df-met 21568 df-bl 21569 df-mopn 21570 df-cnfld 21575 df-top 23103 df-topon 23120 df-topsp 23142 df-bases 23155 df-cld 23228 df-ntr 23229 df-cls 23230 df-nei 23307 df-lp 23345 df-cnp 23437 df-xms 24530 df-ms 24531 df-limc 26078

This theorem is used by: cncfiooiccre 46669 fourierdlem60 46940 fourierdlem61 46941 fourierdlem74 46954 fourierdlem75 46955 fourierdlem85 46965 fourierdlem88 46968 fourierdlem95 46975 fourierdlem103 46983 fourierdlem104 46984

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