Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcrecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcrecl 44644
Description: If 𝐹 is a real-valued function, 𝐡 is a limit point of its domain, and the limit of 𝐹 at 𝐡 exists, then this limit is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcrecl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
limcrecl.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
limcrecl.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΄))
limcrecl.4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
limcrecl (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ℝ)

Proof of Theorem limcrecl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrecl.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
21adantr 480 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
3 limccl 25625 . . . . . . . . . 10 (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
43, 1sselid 3980 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
54adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
6 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ)
75, 6eldifd 3959 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ 𝐿 ∈ (β„‚ βˆ– ℝ))
87dstregt0 44290 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)))
9 cnxmet 24510 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
11 limcrecl.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
1211ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
1312ssdifssd 4142 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 βˆ– {𝐡}) βŠ† β„‚)
14 limcrecl.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΄))
15 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1615cnfldtop 24521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top)
18 unicntop 24523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1911, 18sseqtrdi 4032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
20 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld) = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2120lpdifsn 22868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)) β†’ (𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΄) ↔ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))))
2217, 19, 21syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΄) ↔ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))))
2314, 22mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡})))
2423ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡})))
25 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
2615cnfldtopn 24519 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
2726lpbl 24233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ (𝐴 βˆ– {𝐡}) βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡})𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))
2810, 13, 24, 25, 27syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡})𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))
29 eldif 3958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡}))
3029anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)))
31 anass 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))))
3230, 31bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))))
3332rexbii2 3089 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡})𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)))
3428, 33sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)))
35 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡})
36 velsn 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {𝐡} ↔ 𝑧 = 𝐡)
3736necon3bbii 2987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ↔ 𝑧 β‰  𝐡)
3835, 37sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ 𝑧 β‰  𝐡)
39 simp-5l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ πœ‘)
40 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
41 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))
42 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))
439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
4418lpss 22867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΄) βŠ† β„‚)
4517, 11, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΄) βŠ† β„‚)
4645, 14sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
47463ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
48 rpxr 12988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
49483ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
50 elbl 24115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (𝐡(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑦)))
5143, 47, 49, 50syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ (𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (𝐡(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑦)))
5242, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (𝐡(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑦))
5352simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
5453, 47abssubd 15405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝑧)))
55 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
5655cnmetdval 24508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝐡(abs ∘ βˆ’ )𝑧) = (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝑧)))
5747, 53, 56syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ (𝐡(abs ∘ βˆ’ )𝑧) = (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝑧)))
5852simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ (𝐡(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑦)
5957, 58eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝑧)) < 𝑦)
6054, 59eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦)
6139, 40, 41, 60syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦)
6238, 61jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦))
6362adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦))
6439adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ πœ‘)
65 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
6664, 65jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
67 simp-5r 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
68 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)))
69 rpre 12987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
7069ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
71 limcrecl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
7271ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
7372recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
7473ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
754ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
7674, 75subcld 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿) ∈ β„‚)
7776abscld 15388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) ∈ ℝ)
7872adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
79 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘€πœ‘
80 nfra1 3280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘€βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))
8179, 80nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑀(πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)))
82 rspa 3244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)))
8382adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)))
844adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
85 ax-resscn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℝ βŠ† β„‚
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
8786sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
8884, 87abssubd 15405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)) = (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐿)))
8988adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)) = (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐿)))
9083, 89breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ π‘₯ < (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐿)))
9190ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ (𝑀 ∈ ℝ β†’ π‘₯ < (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐿))))
9281, 91ralrimi 3253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐿)))
9392adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐿)))
94 fvoveq1 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐿)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)))
9594breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (π‘₯ < (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐿)) ↔ π‘₯ < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿))))
9695rspcv 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐿)) β†’ π‘₯ < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿))))
9778, 93, 96sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ π‘₯ < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)))
9897adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ π‘₯ < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)))
9970, 77, 98ltnsymd 11368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ Β¬ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
10066, 67, 68, 99syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ Β¬ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
10163, 100jcnd 163 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ Β¬ ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
102101ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ Β¬ ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)))
103102reximdva 3167 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 Β¬ ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)))
10434, 103mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 Β¬ ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
105 rexnal 3099 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 Β¬ ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯) ↔ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
106104, 105sylib 217 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
107106nrexdv 3148 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
108107ex 412 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)) β†’ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)))
109108reximdva 3167 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)))
1108, 109mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
111 rexnal 3099 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
112110, 111sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
113112intnand 488 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ Β¬ (𝐿 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)))
11471, 86fssd 6735 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
115114, 11, 46ellimc3 25629 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐿 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))))
116115adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ (𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐿 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))))
117113, 116mtbird 325 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ Β¬ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
1182, 117condan 815 1 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  β„*cxr 11252   < clt 11253   βˆ’ cmin 11449  β„+crp 12979  abscabs 15186  TopOpenctopn 17372  βˆžMetcxmet 21130  ballcbl 21132  β„‚fldccnfld 21145  Topctop 22616  limPtclp 22859   limβ„‚ climc 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-topn 17374  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-cnp 22953  df-xms 24047  df-ms 24048  df-limc 25616
This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  44910  fourierdlem60  45181  fourierdlem61  45182  fourierdlem74  45195  fourierdlem75  45196  fourierdlem85  45206  fourierdlem88  45209  fourierdlem95  45216  fourierdlem103  45224  fourierdlem104  45225
  Copyright terms: Public domain W3C validator