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Theorem limcrecl 40431
Description: If 𝐹 is a real-valued function, 𝐵 is a limit point of its domain, and the limit of 𝐹 at 𝐵 exists, then this limit is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcrecl.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
limcrecl.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcrecl.3 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴))
limcrecl.4 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Assertion
Ref Expression
limcrecl (𝜑𝐿 ∈ ℝ)

Proof of Theorem limcrecl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrecl.4 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
21adantr 472 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
3 limccl 23929 . . . . . . . . . 10 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ
43, 1sseldi 3758 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
54adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
6 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ 𝐿 ∈ ℝ)
75, 6eldifd 3742 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
87dstregt0 40065 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
9 cnxmet 22854 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
11 limcrecl.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1211ad4antr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℂ)
1312ssdifssd 3909 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
14 limcrecl.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴))
15 eqid 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1615cnfldtop 22865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
18 unicntop 22867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
1911, 18syl6sseq 3810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 (TopOpen‘ℂfld))
20 eqid 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2120lpdifsn 21226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐴 (TopOpen‘ℂfld)) → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
2217, 19, 21syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
2314, 22mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
2423ad4antr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
25 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
2615cnfldtopn 22863 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
2726lpbl 22586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
2810, 13, 24, 25, 27syl31anc 1492 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
29 eldif 3741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}))
3029anbi1i 617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
31 anass 460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))))
3230, 31bitri 266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))))
3332rexbii2 3185 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ ∃𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
3428, 33sylib 209 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
35 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ {𝐵})
36 velsn 4349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
3736necon3bbii 2983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧𝐵)
3835, 37sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧𝐵)
39 simp-5l 805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝜑)
40 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
41 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
42 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
4418lpss 21225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ⊆ ℂ)
4517, 11, 44syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ⊆ ℂ)
4645, 14sseldd 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
47463ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝐵 ∈ ℂ)
48 rpxr 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ*)
49483ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
50 elbl 22471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)))
5143, 47, 49, 50syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)))
5242, 51mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦))
5352simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
5453, 47abssubd 14478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝑧𝐵)) = (abs‘(𝐵𝑧)))
55 eqid 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5655cnmetdval 22852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
5747, 53, 56syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
5852simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)
5957, 58eqbrtrrd 4832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝐵𝑧)) < 𝑦)
6054, 59eqbrtrd 4830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦)
6139, 40, 41, 60syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦)
6238, 61jca 507 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦))
6362adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦))
6439adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝜑)
65 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧𝐴)
6664, 65jca 507 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝜑𝑧𝐴))
67 simp-5r 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
68 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
69 rpre 12035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
7069ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝑥 ∈ ℝ)
71 limcrecl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
7271ffvelrnda 6548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
7372recnd 10321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
7473ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
754ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝐿 ∈ ℂ)
7674, 75subcld 10645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ((𝐹𝑧) − 𝐿) ∈ ℂ)
7776abscld 14461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) ∈ ℝ)
7872adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
79 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤𝜑
80 nfra1 3087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))
8179, 80nfan 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
82 rspa 3076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
8382adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
844adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
85 ax-resscn 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℝ ⊆ ℂ
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
8786sselda 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℂ)
8884, 87abssubd 14478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐿𝑤)) = (abs‘(𝑤𝐿)))
8988adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐿𝑤)) = (abs‘(𝑤𝐿)))
9083, 89breqtrd 4834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)))
9190ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿))))
9281, 91ralrimi 3103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)))
9392adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)))
94 fvoveq1 6864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (abs‘(𝑤𝐿)) = (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)))
9594breq2d 4820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)) ↔ 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿))))
9695rspcv 3456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ ℝ → (∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)) → 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿))))
9778, 93, 96sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)))
9897adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)))
9970, 77, 98ltnsymd 10439 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ¬ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
10066, 67, 68, 99syl21anc 866 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
10163, 100jcn 39789 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
102101ex 401 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
103102reximdva 3162 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → ∃𝑧𝐴 ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
10434, 103mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
105 rexnal 3140 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝐴 ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
106104, 105sylib 209 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
107106nrexdv 3146 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
108107ex 401 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
109108reximdva 3162 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
1108, 109mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
111 rexnal 3140 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
112110, 111sylib 209 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
113112intnand 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
11471, 86fssd 6236 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
115114, 11, 46ellimc3 23933 . . . 4 (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
116115adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
117113, 116mtbird 316 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
1182, 117condan 852 1 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  wral 3054  wrex 3055  cdif 3728  wss 3731  {csn 4333   cuni 4593   class class class wbr 4808  ccom 5280  wf 6063  cfv 6067  (class class class)co 6841  cc 10186  cr 10187  *cxr 10326   < clt 10327  cmin 10519  +crp 12027  abscabs 14260  TopOpenctopn 16349  ∞Metcxmet 20003  ballcbl 20005  fldccnfld 20018  Topctop 20976  limPtclp 21217   lim climc 23916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fi 8523  df-sup 8554  df-inf 8555  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-q 11989  df-rp 12028  df-xneg 12145  df-xadd 12146  df-xmul 12147  df-fz 12533  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-starv 16230  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-unif 16238  df-rest 16350  df-topn 16351  df-topgen 16371  df-psmet 20010  df-xmet 20011  df-met 20012  df-bl 20013  df-mopn 20014  df-cnfld 20019  df-top 20977  df-topon 20994  df-topsp 21016  df-bases 21029  df-cld 21102  df-ntr 21103  df-cls 21104  df-nei 21181  df-lp 21219  df-cnp 21311  df-xms 22403  df-ms 22404  df-limc 23920
This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  40678  fourierdlem60  40952  fourierdlem61  40953  fourierdlem74  40966  fourierdlem75  40967  fourierdlem85  40977  fourierdlem88  40980  fourierdlem95  40987  fourierdlem103  40995  fourierdlem104  40996
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