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Theorem limcrecl 41786
Description: If 𝐹 is a real-valued function, 𝐵 is a limit point of its domain, and the limit of 𝐹 at 𝐵 exists, then this limit is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcrecl.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
limcrecl.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcrecl.3 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴))
limcrecl.4 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Assertion
Ref Expression
limcrecl (𝜑𝐿 ∈ ℝ)

Proof of Theorem limcrecl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrecl.4 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
21adantr 481 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
3 limccl 24400 . . . . . . . . . 10 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ
43, 1sseldi 3962 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
54adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
6 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ 𝐿 ∈ ℝ)
75, 6eldifd 3944 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
87dstregt0 41423 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
9 cnxmet 23308 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
11 limcrecl.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1211ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℂ)
1312ssdifssd 4116 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
14 limcrecl.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴))
15 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1615cnfldtop 23319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
18 unicntop 23321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
1911, 18sseqtrdi 4014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 (TopOpen‘ℂfld))
20 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2120lpdifsn 21679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐴 (TopOpen‘ℂfld)) → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
2217, 19, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
2314, 22mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
2423ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
2615cnfldtopn 23317 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
2726lpbl 23040 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
2810, 13, 24, 25, 27syl31anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
29 eldif 3943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}))
3029anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
31 anass 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))))
3230, 31bitri 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))))
3332rexbii2 3242 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ ∃𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
3428, 33sylib 219 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
35 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ {𝐵})
36 velsn 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
3736necon3bbii 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧𝐵)
3835, 37sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧𝐵)
39 simp-5l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝜑)
40 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
41 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
42 simp3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
4418lpss 21678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ⊆ ℂ)
4517, 11, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ⊆ ℂ)
4645, 14sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
47463ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝐵 ∈ ℂ)
48 rpxr 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ*)
49483ad2ant2 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
50 elbl 22925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)))
5143, 47, 49, 50syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)))
5242, 51mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦))
5352simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
5453, 47abssubd 14801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝑧𝐵)) = (abs‘(𝐵𝑧)))
55 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5655cnmetdval 23306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
5747, 53, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
5852simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)
5957, 58eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝐵𝑧)) < 𝑦)
6054, 59eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦)
6139, 40, 41, 60syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦)
6238, 61jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦))
6362adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦))
6439adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝜑)
65 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧𝐴)
6664, 65jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝜑𝑧𝐴))
67 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
68 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
69 rpre 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
7069ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝑥 ∈ ℝ)
71 limcrecl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
7271ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
7372recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
7473ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
754ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝐿 ∈ ℂ)
7674, 75subcld 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ((𝐹𝑧) − 𝐿) ∈ ℂ)
7776abscld 14784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) ∈ ℝ)
7872adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
79 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤𝜑
80 nfra1 3216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))
8179, 80nfan 1891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
82 rspa 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
8382adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
844adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
85 ax-resscn 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℝ ⊆ ℂ
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
8786sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℂ)
8884, 87abssubd 14801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐿𝑤)) = (abs‘(𝑤𝐿)))
8988adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐿𝑤)) = (abs‘(𝑤𝐿)))
9083, 89breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)))
9190ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿))))
9281, 91ralrimi 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)))
9392adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)))
94 fvoveq1 7168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (abs‘(𝑤𝐿)) = (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)))
9594breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)) ↔ 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿))))
9695rspcv 3615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ ℝ → (∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)) → 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿))))
9778, 93, 96sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)))
9897adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)))
9970, 77, 98ltnsymd 10777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ¬ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
10066, 67, 68, 99syl21anc 833 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
10163, 100jcn 338 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
102101ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
103102reximdva 3271 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → ∃𝑧𝐴 ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
10434, 103mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
105 rexnal 3235 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝐴 ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
106104, 105sylib 219 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
107106nrexdv 3267 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
108107ex 413 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
109108reximdva 3271 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
1108, 109mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
111 rexnal 3235 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
112110, 111sylib 219 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
113112intnand 489 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
11471, 86fssd 6521 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
115114, 11, 46ellimc3 24404 . . . 4 (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
116115adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
117113, 116mtbird 326 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
1182, 117condan 814 1 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  cdif 3930  wss 3933  {csn 4557   cuni 4830   class class class wbr 5057  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  *cxr 10662   < clt 10663  cmin 10858  +crp 12377  abscabs 14581  TopOpenctopn 16683  ∞Metcxmet 20458  ballcbl 20460  fldccnfld 20473  Topctop 21429  limPtclp 21670   lim climc 24387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-rest 16684  df-topn 16685  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-cnp 21764  df-xms 22857  df-ms 22858  df-limc 24391
This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  42054  fourierdlem60  42328  fourierdlem61  42329  fourierdlem74  42342  fourierdlem75  42343  fourierdlem85  42353  fourierdlem88  42356  fourierdlem95  42363  fourierdlem103  42371  fourierdlem104  42372
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