Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcrecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcrecl 44643
Description: If 𝐹 is a real-valued function, 𝐡 is a limit point of its domain, and the limit of 𝐹 at 𝐡 exists, then this limit is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcrecl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
limcrecl.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
limcrecl.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΄))
limcrecl.4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
limcrecl (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ℝ)

Proof of Theorem limcrecl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrecl.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
21adantr 479 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
3 limccl 25624 . . . . . . . . . 10 (𝐹 limβ„‚ 𝐡) βŠ† β„‚
43, 1sselid 3979 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
54adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
6 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ)
75, 6eldifd 3958 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ 𝐿 ∈ (β„‚ βˆ– ℝ))
87dstregt0 44289 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)))
9 cnxmet 24509 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
11 limcrecl.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
1211ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
1312ssdifssd 4141 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 βˆ– {𝐡}) βŠ† β„‚)
14 limcrecl.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΄))
15 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1615cnfldtop 24520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top)
18 unicntop 24522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1911, 18sseqtrdi 4031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
20 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld) = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2120lpdifsn 22867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)) β†’ (𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΄) ↔ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))))
2217, 19, 21syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΄) ↔ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))))
2314, 22mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡})))
2423ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡})))
25 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
2615cnfldtopn 24518 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
2726lpbl 24232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ (𝐴 βˆ– {𝐡}) βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝐴 βˆ– {𝐡}))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡})𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))
2810, 13, 24, 25, 27syl31anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡})𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))
29 eldif 3957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡}))
3029anbi1i 622 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)))
31 anass 467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))))
3230, 31bitri 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))))
3332rexbii2 3088 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴 βˆ– {𝐡})𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)))
3428, 33sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)))
35 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡})
36 velsn 4643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {𝐡} ↔ 𝑧 = 𝐡)
3736necon3bbii 2986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ↔ 𝑧 β‰  𝐡)
3835, 37sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ 𝑧 β‰  𝐡)
39 simp-5l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ πœ‘)
40 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
41 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))
42 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))
439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
4418lpss 22866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΄) βŠ† β„‚)
4517, 11, 44syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π΄) βŠ† β„‚)
4645, 14sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
47463ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
48 rpxr 12987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
49483ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
50 elbl 24114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (𝐡(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑦)))
5143, 47, 49, 50syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ (𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (𝐡(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑦)))
5242, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ (𝐡(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑦))
5352simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
5453, 47abssubd 15404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝑧)))
55 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
5655cnmetdval 24507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝐡(abs ∘ βˆ’ )𝑧) = (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝑧)))
5747, 53, 56syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ (𝐡(abs ∘ βˆ’ )𝑧) = (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝑧)))
5852simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ (𝐡(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑦)
5957, 58eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ (absβ€˜(𝐡 βˆ’ 𝑧)) < 𝑦)
6054, 59eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦)
6139, 40, 41, 60syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦)
6238, 61jca 510 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦))
6362adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ (𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦))
6439adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ πœ‘)
65 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
6664, 65jca 510 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
67 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
68 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)))
69 rpre 12986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
7069ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
71 limcrecl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
7271ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
7372recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
7473ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
754ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
7674, 75subcld 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿) ∈ β„‚)
7776abscld 15387 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) ∈ ℝ)
7872adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
79 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘€πœ‘
80 nfra1 3279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘€βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))
8179, 80nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑀(πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)))
82 rspa 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)))
8382adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)))
844adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
85 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℝ βŠ† β„‚
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
8786sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
8884, 87abssubd 15404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)) = (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐿)))
8988adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)) = (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐿)))
9083, 89breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ π‘₯ < (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐿)))
9190ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ (𝑀 ∈ ℝ β†’ π‘₯ < (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐿))))
9281, 91ralrimi 3252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐿)))
9392adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐿)))
94 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐿)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)))
9594breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (π‘₯ < (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐿)) ↔ π‘₯ < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿))))
9695rspcv 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐿)) β†’ π‘₯ < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿))))
9778, 93, 96sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ π‘₯ < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)))
9897adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ π‘₯ < (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)))
9970, 77, 98ltnsymd 11367 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ Β¬ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
10066, 67, 68, 99syl21anc 834 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ Β¬ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)
10163, 100jcnd 163 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦))) β†’ Β¬ ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
102101ex 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ Β¬ ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)))
103102reximdva 3166 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ∈ {𝐡} ∧ 𝑧 ∈ (𝐡(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 Β¬ ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)))
10434, 103mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 Β¬ ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
105 rexnal 3098 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 Β¬ ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯) ↔ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
106104, 105sylib 217 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
107106nrexdv 3147 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀))) β†’ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
108107ex 411 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)) β†’ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)))
109108reximdva 3166 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ ℝ π‘₯ < (absβ€˜(𝐿 βˆ’ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)))
1108, 109mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
111 rexnal 3098 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
112110, 111sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))
113112intnand 487 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ Β¬ (𝐿 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯)))
11471, 86fssd 6734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
115114, 11, 46ellimc3 25628 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐿 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))))
116115adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ (𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐿 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 β‰  𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐿)) < π‘₯))))
117113, 116mtbird 324 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ Β¬ 𝐿 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
1182, 117condan 814 1 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  β„*cxr 11251   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  β„+crp 12978  abscabs 15185  TopOpenctopn 17371  βˆžMetcxmet 21129  ballcbl 21131  β„‚fldccnfld 21144  Topctop 22615  limPtclp 22858   limβ„‚ climc 25611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-topn 17373  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-cnp 22952  df-xms 24046  df-ms 24047  df-limc 25615
This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  44909  fourierdlem60  45180  fourierdlem61  45181  fourierdlem74  45194  fourierdlem75  45195  fourierdlem85  45205  fourierdlem88  45208  fourierdlem95  45215  fourierdlem103  45223  fourierdlem104  45224
  Copyright terms: Public domain W3C validator