limcrecl - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem limcrecl 46640

Description: If 𝐹 is a real-valued function, 𝐵 is a limit point of its domain, and the limit of 𝐹 at 𝐵 exists, then this limit is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
limcrecl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
limcrecl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcrecl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘𝐴))
limcrecl.4	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
limcrecl	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)

Proof of Theorem limcrecl Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrecl.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
3		limccl 26195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ⊆ ℂ
4	3, 1	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
5	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
6		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ 𝐿 ∈ ℝ)
7	5, 6	eldifd 3910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
8	7	dstregt0 46297	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)))
9		cnxmet 25091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
11		limcrecl.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
12	11	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13	12	ssdifssd 4094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
14		limcrecl.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘𝐴))
15		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
16	15	cnfldtop 25102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top)
18		unicntop 25104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
19	11, 18	sseqtrdi 3971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂ_fld))
20		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∪ (TopOpen‘ℂ_fld) = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
21	20	lpdifsn 23461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)) → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
22	17, 19, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
23	14, 22	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
24	23	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
25		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
26	15	cnfldtopn 25100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
27	26	lpbl 24822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
28	10, 13, 24, 25, 27	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
29		eldif 3909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}))
30	29	anbi1i 636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
31		anass 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))))
32	30, 31	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))))
33	32	rexbii2 3106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
34	28, 33	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
35		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ {𝐵})
36		velsn 4600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
37	36	necon3bbii 3003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 ≠ 𝐵)
38	35, 37	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧 ≠ 𝐵)
39		simp-5l 797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝜑)
40		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
41		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
42		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
43	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
44	18	lpss 23460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘𝐴) ⊆ ℂ)
45	17, 11, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘𝐴) ⊆ ℂ)
46	45, 14	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
47	46	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝐵 ∈ ℂ)
48		rpxr 13130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 𝑦 ∈ ℝ^*)
49	48	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ^*)
50		elbl 24707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) → (𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)))
51	43, 47, 49, 50	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)))
52	42, 51	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦))
53	52	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
54	53, 47	abssubd 15623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝑧)))
55		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
56	55	cnmetdval 25089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵 − 𝑧)))
57	47, 53, 56	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵 − 𝑧)))
58	52	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)
59	57, 58	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝐵 − 𝑧)) < 𝑦)
60	54, 59	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦)
61	39, 40, 41, 60	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦)
62	38, 61	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦))
63	62	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦))
64	39	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝜑)
65		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
66	64, 65	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
67		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
68		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)))
69		rpre 13129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℝ)
70	69	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → 𝑥 ∈ ℝ)
71		limcrecl.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
72	71	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
73	72	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
74	73	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
75	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → 𝐿 ∈ ℂ)
76	74, 75	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐿) ∈ ℂ)
77	76	abscld 15606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) ∈ ℝ)
78	72	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
79		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
80		nfra1 3287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))
81	79, 80	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)))
82		rspa 3252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)))
83	82	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)))
84	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
85		ax-resscn 11257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
87	86	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℂ)
88	84, 87	abssubd 15623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐿 − 𝑤)) = (abs‘(𝑤 − 𝐿)))
89	88	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐿 − 𝑤)) = (abs‘(𝑤 − 𝐿)))
90	83, 89	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝑤 − 𝐿)))
91	90	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑥 < (abs‘(𝑤 − 𝐿))))
92	81, 91	ralrimi 3261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤 − 𝐿)))
93	92	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤 − 𝐿)))
94		fvoveq1 7443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (abs‘(𝑤 − 𝐿)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)))
95	94	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (𝑥 < (abs‘(𝑤 − 𝐿)) ↔ 𝑥 < (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿))))
96	95	rspcv 3573	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ → (∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤 − 𝐿)) → 𝑥 < (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿))))
97	78, 93, 96	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → 𝑥 < (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)))
98	97	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → 𝑥 < (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)))
99	70, 77, 98	ltnsymd 11459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
100	66, 67, 68, 99	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
101	63, 100	jcnd 164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
102	101	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → ¬ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
103	102	reximdva 3176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
104	34, 103	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
105		rexnal 3115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
106	104, 105	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
107	106	nrexdv 3158	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
108	107	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
109	108	reximdva 3176	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
110	8, 109	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
111		rexnal 3115	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
112	110, 111	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
113	112	intnand 494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
114	71, 86	fssd 6727	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
115	114, 11, 46	ellimc3 26199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
116	115	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
117	113, 116	mtbird 328	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
118	2, 117	condan 830	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2956 ∀wral 3077 ∃wrex 3087 ∖ cdif 3896 ⊆ wss 3899 {csn 4584 ∪ cuni 4867 class class class wbr 5103 ∘ ccom 5655 ⟶wf 6534 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 ℂcc 11198 ℝcr 11199 ℝ^*cxr 11342 < clt 11343 − cmin 11541 ℝ⁺crp 13120 abscabs 15401 TopOpenctopn 17592 ∞Metcxmet 21663 ballcbl 21665 ℂ_fldccnfld 21678 Topctop 23211 limPtclp 23452 lim_ℂ climc 26182

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7751 ax-cnex 11256 ax-resscn 11257 ax-1cn 11258 ax-icn 11259 ax-addcl 11260 ax-addrcl 11261 ax-mulcl 11262 ax-mulrcl 11263 ax-mulcom 11264 ax-addass 11265 ax-mulass 11266 ax-distr 11267 ax-i2m1 11268 ax-1ne0 11269 ax-1rid 11270 ax-rnegex 11271 ax-rrecex 11272 ax-cnre 11273 ax-pre-lttri 11274 ax-pre-lttrn 11275 ax-pre-ltadd 11276 ax-pre-mulgt0 11277 ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-iin 4954 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8299 df-wrecs 8330 df-recs 8379 df-rdg 8418 df-1o 8476 df-er 8717 df-map 8849 df-pm 8850 df-en 8974 df-dom 8975 df-sdom 8976 df-fin 8977 df-fi 9403 df-sup 9434 df-inf 9435 df-pnf 11345 df-mnf 11346 df-xr 11347 df-ltxr 11348 df-le 11349 df-sub 11543 df-neg 11544 df-div 11974 df-nn 12336 df-2 12405 df-3 12406 df-4 12407 df-5 12408 df-6 12409 df-7 12410 df-8 12411 df-9 12412 df-n0 12607 df-z 12694 df-dec 12815 df-uz 12966 df-q 13076 df-rp 13121 df-xneg 13241 df-xadd 13242 df-xmul 13243 df-fz 13640 df-seq 14145 df-exp 14205 df-cj 15266 df-re 15267 df-im 15268 df-sqrt 15402 df-abs 15403 df-struct 17325 df-slot 17360 df-ndx 17372 df-base 17388 df-plusg 17441 df-mulr 17442 df-starv 17443 df-tset 17447 df-ple 17448 df-ds 17450 df-unif 17451 df-rest 17593 df-topn 17594 df-topgen 17614 df-psmet 21670 df-xmet 21671 df-met 21672 df-bl 21673 df-mopn 21674 df-cnfld 21679 df-top 23212 df-topon 23229 df-topsp 23251 df-bases 23264 df-cld 23337 df-ntr 23338 df-cls 23339 df-nei 23416 df-lp 23454 df-cnp 23546 df-xms 24639 df-ms 24640 df-limc 26186

This theorem is used by: cncfiooiccre 46904 fourierdlem60 47175 fourierdlem61 47176 fourierdlem74 47189 fourierdlem75 47190 fourierdlem85 47200 fourierdlem88 47203 fourierdlem95 47210 fourierdlem103 47218 fourierdlem104 47219

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