limcrecl - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem limcrecl 46237

Description: If 𝐹 is a real-valued function, 𝐵 is a limit point of its domain, and the limit of 𝐹 at 𝐵 exists, then this limit is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
limcrecl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
limcrecl.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcrecl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘𝐴))
limcrecl.4	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
limcrecl	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)

Proof of Theorem limcrecl Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrecl.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
2	1	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
3		limccl 26003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ⊆ ℂ
4	3, 1	sselid 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
5	4	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
6		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ 𝐿 ∈ ℝ)
7	5, 6	eldifd 3924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
8	7	dstregt0 45893	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)))
9		cnxmet 24898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
11		limcrecl.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
12	11	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13	12	ssdifssd 4109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
14		limcrecl.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘𝐴))
15		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
16	15	cnfldtop 24909	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top)
18		unicntop 24911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
19	11, 18	sseqtrdi 3985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂ_fld))
20		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∪ (TopOpen‘ℂ_fld) = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
21	20	lpdifsn 23269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)) → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
22	17, 19, 21	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
23	14, 22	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
24	23	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
25		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
26	15	cnfldtopn 24907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
27	26	lpbl 24629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
28	10, 13, 24, 25, 27	syl31anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
29		eldif 3923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}))
30	29	anbi1i 635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
31		anass 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))))
32	30, 31	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))))
33	32	rexbii2 3114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
34	28, 33	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
35		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ {𝐵})
36		velsn 4610	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
37	36	necon3bbii 3011	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 ≠ 𝐵)
38	35, 37	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧 ≠ 𝐵)
39		simp-5l 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝜑)
40		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
41		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
42		simp3 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
43	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
44	18	lpss 23268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘𝐴) ⊆ ℂ)
45	17, 11, 44	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘𝐴) ⊆ ℂ)
46	45, 14	sseldd 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
47	46	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝐵 ∈ ℂ)
48		rpxr 13026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 𝑦 ∈ ℝ^*)
49	48	3ad2ant2 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ^*)
50		elbl 24514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) → (𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)))
51	43, 47, 49, 50	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)))
52	42, 51	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦))
53	52	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
54	53, 47	abssubd 15507	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝑧)))
55		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
56	55	cnmetdval 24896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵 − 𝑧)))
57	47, 53, 56	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵 − 𝑧)))
58	52	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)
59	57, 58	eqbrtrrd 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝐵 − 𝑧)) < 𝑦)
60	54, 59	eqbrtrd 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦)
61	39, 40, 41, 60	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦)
62	38, 61	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦))
63	62	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦))
64	39	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝜑)
65		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
66	64, 65	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
67		simp-5r 797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
68		simp-4r 795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)))
69		rpre 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℝ)
70	69	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → 𝑥 ∈ ℝ)
71		limcrecl.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
72	71	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
73	72	recnd 11237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
74	73	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
75	4	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → 𝐿 ∈ ℂ)
76	74, 75	subcld 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → ((𝐹‘𝑧) − 𝐿) ∈ ℂ)
77	76	abscld 15490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) ∈ ℝ)
78	72	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
79		nfv 1941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
80		nfra1 3295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))
81	79, 80	nfan 1926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)))
82		rspa 3260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)))
83	82	adantll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)))
84	4	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
85		ax-resscn 11157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
87	86	sselda 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℂ)
88	84, 87	abssubd 15507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐿 − 𝑤)) = (abs‘(𝑤 − 𝐿)))
89	88	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐿 − 𝑤)) = (abs‘(𝑤 − 𝐿)))
90	83, 89	breqtrd 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝑤 − 𝐿)))
91	90	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑥 < (abs‘(𝑤 − 𝐿))))
92	81, 91	ralrimi 3269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤 − 𝐿)))
93	92	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤 − 𝐿)))
94		fvoveq1 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (abs‘(𝑤 − 𝐿)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)))
95	94	breq2d 5125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (𝑥 < (abs‘(𝑤 − 𝐿)) ↔ 𝑥 < (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿))))
96	95	rspcv 3586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ → (∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤 − 𝐿)) → 𝑥 < (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿))))
97	78, 93, 96	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → 𝑥 < (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)))
98	97	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → 𝑥 < (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)))
99	70, 77, 98	ltnsymd 11359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
100	66, 67, 68, 99	syl21anc 850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
101	63, 100	jcnd 164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
102	101	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → ¬ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
103	102	reximdva 3184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
104	34, 103	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
105		rexnal 3123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
106	104, 105	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → ¬ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
107	106	nrexdv 3166	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
108	107	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
109	108	reximdva 3184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿 − 𝑤)) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
110	8, 109	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
111		rexnal 3123	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ⁺ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
112	110, 111	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
113	112	intnand 493	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
114	71, 86	fssd 6724	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
115	114, 11, 46	ellimc3 26007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
116	115	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
117	113, 116	mtbird 328	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ 𝐿 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
118	2, 117	condan 829	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∧ w3a 1101 = wceq 1567 ∈ wcel 2149 ≠ wne 2964 ∀wral 3085 ∃wrex 3095 ∖ cdif 3910 ⊆ wss 3913 {csn 4594 ∪ cuni 4876 class class class wbr 5113 ∘ ccom 5666 ⟶wf 6533 ‘cfv 6537 (class class class)co 7411 ℂcc 11098 ℝcr 11099 ℝ^*cxr 11242 < clt 11243 − cmin 11441 ℝ⁺crp 13016 abscabs 15285 TopOpenctopn 17474 ∞Metcxmet 21476 ballcbl 21478 ℂ_fldccnfld 21491 Topctop 23019 limPtclp 23260 lim_ℂ climc 25990

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1822 ax-4 1836 ax-5 1937 ax-6 1994 ax-7 2035 ax-8 2151 ax-9 2159 ax-10 2182 ax-11 2198 ax-12 2219 ax-ext 2741 ax-rep 5242 ax-sep 5261 ax-nul 5271 ax-pow 5337 ax-pr 5405 ax-un 7733 ax-cnex 11156 ax-resscn 11157 ax-1cn 11158 ax-icn 11159 ax-addcl 11160 ax-addrcl 11161 ax-mulcl 11162 ax-mulrcl 11163 ax-mulcom 11164 ax-addass 11165 ax-mulass 11166 ax-distr 11167 ax-i2m1 11168 ax-1ne0 11169 ax-1rid 11170 ax-rnegex 11171 ax-rrecex 11172 ax-cnre 11173 ax-pre-lttri 11174 ax-pre-lttrn 11175 ax-pre-ltadd 11176 ax-pre-mulgt0 11177 ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1102 df-3an 1103 df-tru 1570 df-fal 1580 df-ex 1807 df-nf 1811 df-sb 2098 df-mo 2573 df-eu 2603 df-clab 2748 df-cleq 2761 df-clel 2844 df-nfc 2918 df-ne 2965 df-nel 3071 df-ral 3086 df-rex 3096 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3424 df-v 3465 df-sbc 3754 df-csb 3862 df-dif 3916 df-un 3918 df-in 3920 df-ss 3930 df-pss 3933 df-nul 4295 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-tp 4599 df-op 4601 df-uni 4877 df-int 4917 df-iun 4962 df-iin 4963 df-br 5114 df-opab 5178 df-mpt 5197 df-tr 5223 df-id 5557 df-eprel 5562 df-po 5570 df-so 5571 df-fr 5615 df-we 5617 df-xp 5668 df-rel 5669 df-cnv 5670 df-co 5671 df-dm 5672 df-rn 5673 df-res 5674 df-ima 5675 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7368 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7863 df-1st 7986 df-2nd 7987 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8358 df-rdg 8397 df-1o 8453 df-er 8694 df-map 8826 df-pm 8827 df-en 8944 df-dom 8945 df-sdom 8946 df-fin 8947 df-fi 9371 df-sup 9402 df-inf 9403 df-pnf 11245 df-mnf 11246 df-xr 11247 df-ltxr 11248 df-le 11249 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11872 df-nn 12234 df-2 12303 df-3 12304 df-4 12305 df-5 12306 df-6 12307 df-7 12308 df-8 12309 df-9 12310 df-n0 12505 df-z 12592 df-dec 12712 df-uz 12863 df-q 12973 df-rp 13017 df-xneg 13137 df-xadd 13138 df-xmul 13139 df-fz 13536 df-seq 14038 df-exp 14098 df-cj 15150 df-re 15151 df-im 15152 df-sqrt 15286 df-abs 15287 df-struct 17207 df-slot 17242 df-ndx 17254 df-base 17270 df-plusg 17323 df-mulr 17324 df-starv 17325 df-tset 17329 df-ple 17330 df-ds 17332 df-unif 17333 df-rest 17475 df-topn 17476 df-topgen 17496 df-psmet 21483 df-xmet 21484 df-met 21485 df-bl 21486 df-mopn 21487 df-cnfld 21492 df-top 23020 df-topon 23037 df-topsp 23059 df-bases 23072 df-cld 23145 df-ntr 23146 df-cls 23147 df-nei 23224 df-lp 23262 df-cnp 23354 df-xms 24446 df-ms 24447 df-limc 25994

This theorem is referenced by: cncfiooiccre 46501 fourierdlem60 46772 fourierdlem61 46773 fourierdlem74 46786 fourierdlem75 46787 fourierdlem85 46797 fourierdlem88 46800 fourierdlem95 46807 fourierdlem103 46815 fourierdlem104 46816

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