Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh3dim2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvh3dim2 40314
Description: There is a vector that is outside of 2 spans with a common vector. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvh3dim.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvh3dim.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
dvh3dim.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dvh3dim.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh3dim.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
dvh3dim2.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
dvh3dim2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ   𝑧,𝑍   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   π‘Š(𝑧)
Proof of Theorem dvh3dim2
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvh3dim.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dvh3dim.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 dvh3dim.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
5 dvh3dim.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 dvh3dim.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
7 dvh3dim2.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 40312 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
98adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
10 eqid 2732 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
111, 2, 5dvhlmod 39976 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
1211ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
133, 10, 4, 11, 6, 7lspprcl 20588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
1413ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
153, 4, 11, 6, 7lspprid1 20607 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
1615ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
17 simplr 767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
1810, 4, 12, 14, 16, 17lspprss 20602 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
1918ssneld 3984 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
2019ancrd 552 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
2120reximdva 3168 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
229, 21mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
23 dvh3dim.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 23dvh3dim 40312 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2524adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
26 simpl1l 1224 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ πœ‘)
2726, 11syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
28 simpl2 1192 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
2926, 23syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
30 eqid 2732 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
313, 30lmodvacl 20485 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉)
3227, 28, 29, 31syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉)
333, 10, 4, 11, 6, 23lspprcl 20588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3426, 33syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
353, 4, 11, 6, 23lspprid2 20608 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
3626, 35syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
37 simpl3 1193 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
383, 30, 10, 27, 34, 36, 28, 37lssvancl2 20555 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
3926, 13syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
40 simpr 485 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
41 simpl1r 1225 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
423, 30, 10, 27, 39, 40, 29, 41lssvancl1 20554 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
43 eleq1 2821 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
4443notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
45 eleq1 2821 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
4645notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
4744, 46anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ↔ (Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
4847rspcev 3612 . . . . . 6 (((𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
4932, 38, 42, 48syl12anc 835 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
50 simpl2 1192 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
51 simpl3 1193 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
52 simpr 485 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
53 eleq1 2821 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
5453notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
55 eleq1 2821 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
5655notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
5754, 56anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ↔ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
5857rspcev 3612 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
5950, 51, 52, 58syl12anc 835 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
6049, 59pm2.61dan 811 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
6160rexlimdv3a 3159 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
6225, 61mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
6322, 62pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  {cpr 4630  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541  LSpanclspn 20581  HLchlt 38215  LHypclh 38850  DVecHcdvh 39944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-lsatoms 37841  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tgrp 39609  df-tendo 39621  df-edring 39623  df-dveca 39869  df-disoa 39895  df-dvech 39945  df-dib 40005  df-dic 40039  df-dih 40095  df-doch 40214  df-djh 40261
This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  40315  mapdh8ad  40645
  Copyright terms: Public domain W3C validator