Theorem dvh3dim2 38588

Description: There is a vector that is outside of 2 spans with a common vector. (Contributed by NM, 13-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh3dim.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dvh3dim2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dvh3dim2	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh3dim2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dvh3dim.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		dvh3dim.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh3dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		dvh3dim2.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dvh3dim 38586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
9	8	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
10		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
11	1, 2, 5	dvhlmod 38250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12	11	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
13	3, 10, 4, 11, 6, 7	lspprcl 19753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
14	13	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15	3, 4, 11, 6, 7	lspprid1 19772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
16	15	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
17		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
18	10, 4, 12, 14, 16, 17	lspprss 19767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
19	18	ssneld 3972	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
20	19	ancrd 554	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
21	20	reximdva 3277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
22	9, 21	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
23		dvh3dim.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 23	dvh3dim 38586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
25	24	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑤 ∈ 𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
26		simpl1l 1220	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝜑)
27	26, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑈 ∈ LMod)
28		simpl2 1188	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑤 ∈ 𝑉)
29	26, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
30		eqid 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
31	3, 30	lmodvacl 19651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
32	27, 28, 29, 31	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
33	3, 10, 4, 11, 6, 23	lspprcl 19753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34	26, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
35	3, 4, 11, 6, 23	lspprid2 19773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
36	26, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
37		simpl3 1189	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
38	3, 30, 10, 27, 34, 36, 28, 37	lssvancl2 19720	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
39	26, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
40		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
41		simpl1r 1221	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
42	3, 30, 10, 27, 39, 40, 29, 41	lssvancl1 19719	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
43		eleq1 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
44	43	notbid 320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
45		eleq1 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
46	45	notbid 320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
47	44, 46	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ↔ (¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
48	47	rspcev 3626	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
49	32, 38, 42, 48	syl12anc 834	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
50		simpl2 1188	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑤 ∈ 𝑉)
51		simpl3 1189	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
52		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
53		eleq1 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
54	53	notbid 320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
55		eleq1 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
56	55	notbid 320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
57	54, 56	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ↔ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
58	57	rspcev 3626	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
59	50, 51, 52, 58	syl12anc 834	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
60	49, 59	pm2.61dan 811	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
61	60	rexlimdv3a 3289	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (∃𝑤 ∈ 𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
62	25, 61	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
63	22, 62	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3142  {cpr 4572  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Basecbs 16486  +_gcplusg 16568  LModclmod 19637  LSubSpclss 19706  LSpanclspn 19746  HLchlt 36490  LHypclh 37124  DVecHcdvh 38218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-riotaBAD 36093

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-tpos 7895  df-undef 7942  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-0g 16718  df-proset 17541  df-poset 17559  df-plt 17571  df-lub 17587  df-glb 17588  df-join 17589  df-meet 17590  df-p0 17652  df-p1 17653  df-lat 17659  df-clat 17721  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-subg 18279  df-cntz 18450  df-lsm 18764  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19507  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-lvec 19878  df-lsatoms 36116  df-oposet 36316  df-ol 36318  df-oml 36319  df-covers 36406  df-ats 36407  df-atl 36438  df-cvlat 36462  df-hlat 36491  df-llines 36638  df-lplanes 36639  df-lvols 36640  df-lines 36641  df-psubsp 36643  df-pmap 36644  df-padd 36936  df-lhyp 37128  df-laut 37129  df-ldil 37244  df-ltrn 37245  df-trl 37299  df-tgrp 37883  df-tendo 37895  df-edring 37897  df-dveca 38143  df-disoa 38169  df-dvech 38219  df-dib 38279  df-dic 38313  df-dih 38369  df-doch 38488  df-djh 38535

This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  38589  mapdh8ad  38919