Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh3dim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvh3dim2 37516
Description: There is a vector that is outside of 2 spans with a common vector. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dvh3dim.x (𝜑𝑋𝑉)
dvh3dim.y (𝜑𝑌𝑉)
dvh3dim2.z (𝜑𝑍𝑉)
Assertion
Ref Expression
dvh3dim2 (𝜑 → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh3dim2
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvh3dim.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 dvh3dim.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 dvh3dim.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 dvh3dim.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 dvh3dim.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
7 dvh3dim2.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 37514 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
98adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
10 eqid 2825 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
111, 2, 5dvhlmod 37178 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
1211ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
133, 10, 4, 11, 6, 7lspprcl 19337 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
1413ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
153, 4, 11, 6, 7lspprid1 19356 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
1615ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
17 simplr 785 . . . . . . 7 (((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
1810, 4, 12, 14, 16, 17lspprss 19351 . . . . . 6 (((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
1918ssneld 3829 . . . . 5 (((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
2019ancrd 547 . . . 4 (((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
2120reximdva 3225 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
229, 21mpd 15 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
23 dvh3dim.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 23dvh3dim 37514 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑤𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
2524adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑤𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
26 simpl1l 1297 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝜑)
2726, 11syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑈 ∈ LMod)
28 simpl2 1248 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑤𝑉)
2926, 23syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑌𝑉)
30 eqid 2825 . . . . . . . 8 (+g𝑈) = (+g𝑈)
313, 30lmodvacl 19233 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉𝑌𝑉) → (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
3227, 28, 29, 31syl3anc 1494 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
333, 10, 4, 11, 6, 23lspprcl 19337 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3426, 33syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
353, 4, 11, 6, 23lspprid2 19357 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
3626, 35syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
37 simpl3 1250 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
383, 30, 10, 27, 34, 36, 28, 37lssvancl2 19302 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
3926, 13syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
40 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
41 simpl1r 1299 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
423, 30, 10, 27, 39, 40, 29, 41lssvancl1 19301 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
43 eleq1 2894 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑤(+g𝑈)𝑌) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
4443notbid 310 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑤(+g𝑈)𝑌) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
45 eleq1 2894 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑤(+g𝑈)𝑌) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
4645notbid 310 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑤(+g𝑈)𝑌) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
4744, 46anbi12d 624 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑤(+g𝑈)𝑌) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ↔ (¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
4847rspcev 3526 . . . . . 6 (((𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝑤(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
4932, 38, 42, 48syl12anc 870 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
50 simpl2 1248 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑤𝑉)
51 simpl3 1250 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
52 simpr 479 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
53 eleq1 2894 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5453notbid 310 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
55 eleq1 2894 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
5655notbid 310 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
5754, 56anbi12d 624 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ↔ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
5857rspcev 3526 . . . . . 6 ((𝑤𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
5950, 51, 52, 58syl12anc 870 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
6049, 59pm2.61dan 847 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
6160rexlimdv3a 3242 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (∃𝑤𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
6225, 61mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
6322, 62pm2.61dan 847 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wrex 3118  {cpr 4399  cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  +gcplusg 16305  LModclmod 19219  LSubSpclss 19288  LSpanclspn 19330  HLchlt 35418  LHypclh 36052  DVecHcdvh 37146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-riotaBAD 35021
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-tpos 7617  df-undef 7664  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-0g 16455  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-p1 17393  df-lat 17399  df-clat 17461  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-subg 17942  df-cntz 18100  df-lsm 18402  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-oppr 18977  df-dvdsr 18995  df-unit 18996  df-invr 19026  df-dvr 19037  df-drng 19105  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-lsp 19331  df-lvec 19462  df-lsatoms 35044  df-oposet 35244  df-ol 35246  df-oml 35247  df-covers 35334  df-ats 35335  df-atl 35366  df-cvlat 35390  df-hlat 35419  df-llines 35566  df-lplanes 35567  df-lvols 35568  df-lines 35569  df-psubsp 35571  df-pmap 35572  df-padd 35864  df-lhyp 36056  df-laut 36057  df-ldil 36172  df-ltrn 36173  df-trl 36227  df-tgrp 36811  df-tendo 36823  df-edring 36825  df-dveca 37071  df-disoa 37097  df-dvech 37147  df-dib 37207  df-dic 37241  df-dih 37297  df-doch 37416  df-djh 37463
This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  37517  mapdh8ad  37847
  Copyright terms: Public domain W3C validator