Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh3dim2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvh3dim2 40961
Description: There is a vector that is outside of 2 spans with a common vector. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvh3dim.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvh3dim.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
dvh3dim.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dvh3dim.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh3dim.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
dvh3dim2.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
dvh3dim2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ   𝑧,𝑍   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   π‘Š(𝑧)
Proof of Theorem dvh3dim2
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvh3dim.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dvh3dim.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 dvh3dim.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
5 dvh3dim.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 dvh3dim.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
7 dvh3dim2.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 40959 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
98adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
10 eqid 2728 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
111, 2, 5dvhlmod 40623 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
1211ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
133, 10, 4, 11, 6, 7lspprcl 20876 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
1413ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
153, 4, 11, 6, 7lspprid1 20895 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
1615ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
17 simplr 767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
1810, 4, 12, 14, 16, 17lspprss 20890 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
1918ssneld 3984 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
2019ancrd 550 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
2120reximdva 3165 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
229, 21mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
23 dvh3dim.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 23dvh3dim 40959 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2524adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
26 simpl1l 1221 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ πœ‘)
2726, 11syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
28 simpl2 1189 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
2926, 23syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
30 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
313, 30lmodvacl 20772 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉)
3227, 28, 29, 31syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉)
333, 10, 4, 11, 6, 23lspprcl 20876 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3426, 33syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
353, 4, 11, 6, 23lspprid2 20896 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
3626, 35syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
37 simpl3 1190 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
383, 30, 10, 27, 34, 36, 28, 37lssvancl2 20844 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
3926, 13syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
40 simpr 483 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
41 simpl1r 1222 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
423, 30, 10, 27, 39, 40, 29, 41lssvancl1 20843 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
43 eleq1 2817 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
4443notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
45 eleq1 2817 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
4645notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
4744, 46anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ↔ (Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
4847rspcev 3611 . . . . . 6 (((𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
4932, 38, 42, 48syl12anc 835 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
50 simpl2 1189 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
51 simpl3 1190 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
52 simpr 483 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
53 eleq1 2817 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
5453notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
55 eleq1 2817 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
5655notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
5754, 56anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ↔ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
5857rspcev 3611 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
5950, 51, 52, 58syl12anc 835 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
6049, 59pm2.61dan 811 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
6160rexlimdv3a 3156 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
6225, 61mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
6322, 62pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067  {cpr 4634  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  LModclmod 20757  LSubSpclss 20829  LSpanclspn 20869  HLchlt 38862  LHypclh 39497  DVecHcdvh 40591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-riotaBAD 38465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-undef 8287  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-0g 17432  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-cntz 19282  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lvec 21002  df-lsatoms 38488  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-llines 39011  df-lplanes 39012  df-lvols 39013  df-lines 39014  df-psubsp 39016  df-pmap 39017  df-padd 39309  df-lhyp 39501  df-laut 39502  df-ldil 39617  df-ltrn 39618  df-trl 39672  df-tgrp 40256  df-tendo 40268  df-edring 40270  df-dveca 40516  df-disoa 40542  df-dvech 40592  df-dib 40652  df-dic 40686  df-dih 40742  df-doch 40861  df-djh 40908
This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  40962  mapdh8ad  41292
  Copyright terms: Public domain W3C validator