Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh3dim2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvh3dim2 40832
Description: There is a vector that is outside of 2 spans with a common vector. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvh3dim.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvh3dim.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
dvh3dim.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dvh3dim.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh3dim.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
dvh3dim2.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
dvh3dim2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ   𝑧,𝑍   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   π‘Š(𝑧)
Proof of Theorem dvh3dim2
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvh3dim.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dvh3dim.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 dvh3dim.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
5 dvh3dim.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 dvh3dim.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
7 dvh3dim2.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 40830 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
98adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
10 eqid 2726 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
111, 2, 5dvhlmod 40494 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
1211ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
133, 10, 4, 11, 6, 7lspprcl 20825 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
1413ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
153, 4, 11, 6, 7lspprid1 20844 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
1615ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
17 simplr 766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
1810, 4, 12, 14, 16, 17lspprss 20839 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
1918ssneld 3979 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
2019ancrd 551 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
2120reximdva 3162 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
229, 21mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
23 dvh3dim.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 23dvh3dim 40830 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2524adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
26 simpl1l 1221 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ πœ‘)
2726, 11syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
28 simpl2 1189 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
2926, 23syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
30 eqid 2726 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
313, 30lmodvacl 20721 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉)
3227, 28, 29, 31syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉)
333, 10, 4, 11, 6, 23lspprcl 20825 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3426, 33syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
353, 4, 11, 6, 23lspprid2 20845 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
3626, 35syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
37 simpl3 1190 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
383, 30, 10, 27, 34, 36, 28, 37lssvancl2 20793 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
3926, 13syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
40 simpr 484 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
41 simpl1r 1222 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
423, 30, 10, 27, 39, 40, 29, 41lssvancl1 20792 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
43 eleq1 2815 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
4443notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
45 eleq1 2815 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
4645notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
4744, 46anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ↔ (Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
4847rspcev 3606 . . . . . 6 (((𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
4932, 38, 42, 48syl12anc 834 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
50 simpl2 1189 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
51 simpl3 1190 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
52 simpr 484 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
53 eleq1 2815 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
5453notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
55 eleq1 2815 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
5655notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
5754, 56anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ↔ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
5857rspcev 3606 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
5950, 51, 52, 58syl12anc 834 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
6049, 59pm2.61dan 810 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
6160rexlimdv3a 3153 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
6225, 61mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
6322, 62pm2.61dan 810 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064  {cpr 4625  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  HLchlt 38733  LHypclh 39368  DVecHcdvh 40462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lsatoms 38359  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tgrp 40127  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-dveca 40387  df-disoa 40413  df-dvech 40463  df-dib 40523  df-dic 40557  df-dih 40613  df-doch 40732  df-djh 40779
This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  40833  mapdh8ad  41163
  Copyright terms: Public domain W3C validator