Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh3dim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvh3dim2 39957
Description: There is a vector that is outside of 2 spans with a common vector. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvh3dim.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvh3dim.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
dvh3dim.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dvh3dim.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh3dim.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
dvh3dim2.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
dvh3dim2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ   𝑧,𝑍   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   π‘Š(𝑧)

Proof of Theorem dvh3dim2
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvh3dim.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dvh3dim.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 dvh3dim.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
5 dvh3dim.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 dvh3dim.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
7 dvh3dim2.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 39955 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
98adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
10 eqid 2733 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
111, 2, 5dvhlmod 39619 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
1211ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
133, 10, 4, 11, 6, 7lspprcl 20454 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
1413ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
153, 4, 11, 6, 7lspprid1 20473 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
1615ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
17 simplr 768 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
1810, 4, 12, 14, 16, 17lspprss 20468 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
1918ssneld 3947 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
2019ancrd 553 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
2120reximdva 3162 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
229, 21mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
23 dvh3dim.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 23dvh3dim 39955 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
2524adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
26 simpl1l 1225 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ πœ‘)
2726, 11syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
28 simpl2 1193 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
2926, 23syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
30 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
313, 30lmodvacl 20351 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉)
3227, 28, 29, 31syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉)
333, 10, 4, 11, 6, 23lspprcl 20454 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3426, 33syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
353, 4, 11, 6, 23lspprid2 20474 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
3626, 35syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
37 simpl3 1194 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
383, 30, 10, 27, 34, 36, 28, 37lssvancl2 20421 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
3926, 13syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
40 simpr 486 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
41 simpl1r 1226 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
423, 30, 10, 27, 39, 40, 29, 41lssvancl1 20420 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
43 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
4443notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
45 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
4645notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
4744, 46anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ↔ (Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
4847rspcev 3580 . . . . . 6 (((𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ (𝑀(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
4932, 38, 42, 48syl12anc 836 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
50 simpl2 1193 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
51 simpl3 1194 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
52 simpr 486 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))
53 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
5453notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
55 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
5655notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
5754, 56anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ↔ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
5857rspcev 3580 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
5950, 51, 52, 58syl12anc 836 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
6049, 59pm2.61dan 812 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
6160rexlimdv3a 3153 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍}))))
6225, 61mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
6322, 62pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  {cpr 4589  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  LSpanclspn 20447  HLchlt 37858  LHypclh 38493  DVecHcdvh 39587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-riotaBAD 37461
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-undef 8205  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-0g 17328  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-lsm 19423  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lvec 20579  df-lsatoms 37484  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-llines 38007  df-lplanes 38008  df-lvols 38009  df-lines 38010  df-psubsp 38012  df-pmap 38013  df-padd 38305  df-lhyp 38497  df-laut 38498  df-ldil 38613  df-ltrn 38614  df-trl 38668  df-tgrp 39252  df-tendo 39264  df-edring 39266  df-dveca 39512  df-disoa 39538  df-dvech 39588  df-dib 39648  df-dic 39682  df-dih 39738  df-doch 39857  df-djh 39904
This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  39958  mapdh8ad  40288
  Copyright terms: Public domain W3C validator