Theorem dvh3dim2 42280

Description: There is a vector that is outside of 2 spans with a common vector. (Contributed by NM, 13-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh3dim.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dvh3dim2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dvh3dim2	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh3dim2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dvh3dim.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		dvh3dim.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh3dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		dvh3dim2.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dvh3dim 42278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
10		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
11	1, 2, 5	dvhlmod 41942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12	11	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
13	3, 10, 4, 11, 6, 7	lspprcl 21149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
14	13	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15	3, 4, 11, 6, 7	lspprid1 21168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
17		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
18	10, 4, 12, 14, 16, 17	lspprss 21163	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
19	18	ssneld 3940	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
20	19	ancrd 561	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
21	20	reximdva 3180	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
22	9, 21	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
23		dvh3dim.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 23	dvh3dim 42278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
25	24	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑤 ∈ 𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
26		simpl1l 1243	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝜑)
27	26, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑈 ∈ LMod)
28		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑤 ∈ 𝑉)
29	26, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
30		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
31	3, 30	lmodvacl 21046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
32	27, 28, 29, 31	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
33	3, 10, 4, 11, 6, 23	lspprcl 21149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34	26, 33	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
35	3, 4, 11, 6, 23	lspprid2 21169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
36	26, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
37		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
38	3, 30, 10, 27, 34, 36, 28, 37	lssvancl2 21117	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
39	26, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
40		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
41		simpl1r 1244	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
42	3, 30, 10, 27, 39, 40, 29, 41	lssvancl1 21116	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
43		eleq1 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
44	43	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
45		eleq1 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
46	45	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
47	44, 46	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ↔ (¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
48	47	rspcev 3583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
49	32, 38, 42, 48	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
50		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑤 ∈ 𝑉)
51		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
52		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
53		eleq1 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
54	53	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
55		eleq1 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
56	55	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
57	54, 56	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ↔ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
58	57	rspcev 3583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
59	50, 51, 52, 58	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
60	49, 59	pm2.61dan 825	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
61	60	rexlimdv3a 3172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (∃𝑤 ∈ 𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
62	25, 61	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
63	22, 62	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  {cpr 4593  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  +_gcplusg 17332  LModclmod 21031  LSubSpclss 21102  LSpanclspn 21142  HLchlt 40182  LHypclh 40816  DVecHcdvh 41910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-riotaBAD 39785

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-0g 17516  df-proset 18372  df-poset 18391  df-plt 18406  df-lub 18422  df-glb 18423  df-join 18424  df-meet 18425  df-p0 18501  df-p1 18502  df-lat 18510  df-clat 18577  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-subg 19233  df-cntz 19431  df-lsm 19750  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-dvr 20529  df-drng 20879  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lsp 21143  df-lvec 21274  df-lsatoms 39808  df-oposet 40008  df-ol 40010  df-oml 40011  df-covers 40098  df-ats 40099  df-atl 40130  df-cvlat 40154  df-hlat 40183  df-llines 40330  df-lplanes 40331  df-lvols 40332  df-lines 40333  df-psubsp 40335  df-pmap 40336  df-padd 40628  df-lhyp 40820  df-laut 40821  df-ldil 40936  df-ltrn 40937  df-trl 40991  df-tgrp 41575  df-tendo 41587  df-edring 41589  df-dveca 41835  df-disoa 41861  df-dvech 41911  df-dib 41971  df-dic 42005  df-dih 42061  df-doch 42180  df-djh 42227

This theorem is used by:  dvh3dim3N  42281  mapdh8ad  42611