Theorem dvh3dim2 42072

Description: There is a vector that is outside of 2 spans with a common vector. (Contributed by NM, 13-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dvh3dim.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
dvh3dim2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dvh3dim2	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑍   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh3dim2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dvh3dim.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		dvh3dim.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		dvh3dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		dvh3dim2.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dvh3dim 42070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
9	8	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
10		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
11	1, 2, 5	dvhlmod 41734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12	11	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
13	3, 10, 4, 11, 6, 7	lspprcl 21045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
14	13	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15	3, 4, 11, 6, 7	lspprid1 21064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
16	15	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
17		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
18	10, 4, 12, 14, 16, 17	lspprss 21059	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
19	18	ssneld 3938	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
20	19	ancrd 559	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
21	20	reximdva 3175	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
22	9, 21	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
23		dvh3dim.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 23	dvh3dim 42070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
25	24	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑤 ∈ 𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
26		simpl1l 1238	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝜑)
27	26, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑈 ∈ LMod)
28		simpl2 1206	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑤 ∈ 𝑉)
29	26, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
30		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
31	3, 30	lmodvacl 20942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
32	27, 28, 29, 31	syl3anc 1390	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
33	3, 10, 4, 11, 6, 23	lspprcl 21045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34	26, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
35	3, 4, 11, 6, 23	lspprid2 21065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
36	26, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
37		simpl3 1207	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
38	3, 30, 10, 27, 34, 36, 28, 37	lssvancl2 21013	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
39	26, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
40		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
41		simpl1r 1239	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
42	3, 30, 10, 27, 39, 40, 29, 41	lssvancl1 21012	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
43		eleq1 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
44	43	notbid 320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
45		eleq1 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
46	45	notbid 320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
47	44, 46	anbi12d 641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ↔ (¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
48	47	rspcev 3581	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝑤(+g‘𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
49	32, 38, 42, 48	syl12anc 847	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
50		simpl2 1206	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → 𝑤 ∈ 𝑉)
51		simpl3 1207	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
52		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))
53		eleq1 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
54	53	notbid 320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
55		eleq1 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
56	55	notbid 320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
57	54, 56	anbi12d 641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ↔ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
58	57	rspcev 3581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑉 ∧ (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
59	50, 51, 52, 58	syl12anc 847	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
60	49, 59	pm2.61dan 822	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
61	60	rexlimdv3a 3167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → (∃𝑤 ∈ 𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍}))))
62	25, 61	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
63	22, 62	pm2.61dan 822	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3086  {cpr 4584  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  LModclmod 20927  LSubSpclss 20998  LSpanclspn 21038  HLchlt 39974  LHypclh 40608  DVecHcdvh 41702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-riotaBAD 39577

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-0g 17470  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-lub 18376  df-glb 18377  df-join 18378  df-meet 18379  df-p0 18455  df-p1 18456  df-lat 18464  df-clat 18531  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-cntz 19357  df-lsm 19676  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-dvr 20450  df-drng 20781  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-lsp 21039  df-lvec 21170  df-lsatoms 39600  df-oposet 39800  df-ol 39802  df-oml 39803  df-covers 39890  df-ats 39891  df-atl 39922  df-cvlat 39946  df-hlat 39975  df-llines 40122  df-lplanes 40123  df-lvols 40124  df-lines 40125  df-psubsp 40127  df-pmap 40128  df-padd 40420  df-lhyp 40612  df-laut 40613  df-ldil 40728  df-ltrn 40729  df-trl 40783  df-tgrp 41367  df-tendo 41379  df-edring 41381  df-dveca 41627  df-disoa 41653  df-dvech 41703  df-dib 41763  df-dic 41797  df-dih 41853  df-doch 41972  df-djh 42019

This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  42073  mapdh8ad  42403